楊 寅， 孫文安， 裴炳南

大連大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧大連116622

切換系統(tǒng)是一類較為重要的混合系統(tǒng),它由多個子系統(tǒng)及其切換規(guī)則構(gòu)成[1-3].切換系統(tǒng)的控制器的設(shè)計大多基于狀態(tài)反饋，但在實際系統(tǒng)中的狀態(tài)往往不可直接觀測，于是本文嘗試設(shè)計相應(yīng)的狀態(tài)觀測器來解決該問題.

由于切換系統(tǒng)本身的復(fù)雜性，對其觀測器的設(shè)計也相對復(fù)雜.現(xiàn)有的研究成果大致分為兩類，一類是已知切換系統(tǒng)的切換規(guī)則，另一類是未知切換系統(tǒng)的切換規(guī)則.對于切換規(guī)則和觀測狀態(tài)都需要估計的觀測系統(tǒng)，研究成果還不多見.文獻(xiàn)[2]提出的模型包括連續(xù)觀測器和定位觀測器兩部分，前者可以估計切換系統(tǒng)的連續(xù)部分，即系統(tǒng)狀態(tài)；后者可以估計切換系統(tǒng)的離散動態(tài)事件，即切換規(guī)則，如圖1所示.

圖1 觀測器模型Figure 1 Model of the observer

在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[4]針對一類非線性切換系統(tǒng)設(shè)計了相應(yīng)的模型預(yù)測控制器，并給出了該系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)一致有界的充分條件；文獻(xiàn)[5-6]則利用有限狀態(tài)機(jī)(f inite state machine,FSM)設(shè)計了一類定位觀測器，可以由已知的參數(shù)在一定時間內(nèi)識別出切換系統(tǒng)的切換規(guī)則，同時借助于共同Lyapunov函數(shù)法研究了一類具有切換延遲的觀測器，給出了該系統(tǒng)的估計誤差是穩(wěn)定的結(jié)論.文獻(xiàn)[7]將切換延遲和L2增益分析相結(jié)合，根據(jù)平均駐留時間方法研究了一類具有切換時延的切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時也給出了相應(yīng)的L2性能.文獻(xiàn)[8]考慮了一類線性離散切換系統(tǒng)的濾波器設(shè)計問題，在候選子濾波器和對應(yīng)的子系統(tǒng)之間存在異步行為的條件下，利用平均駐留時間方法研究了相應(yīng)的切換律和穩(wěn)定的充分條件，并給出了系統(tǒng)的H∞性能.文獻(xiàn)[9]研究了一類存在不可觀測子系統(tǒng)的非線性切換系統(tǒng)，采用平均駐留時間法設(shè)計觀測器，隨后根據(jù)多Lyapunov函數(shù)法證明了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

本文同樣基于文獻(xiàn)[2]，重點研究連續(xù)觀測器部分的設(shè)計，不考慮定位觀測器的設(shè)計即假設(shè)已經(jīng)設(shè)計好了定位觀測器，它總是能在某一段時間內(nèi)正確地跟蹤到切換系統(tǒng)當(dāng)前的切換規(guī)則.同時本文假設(shè)切換系統(tǒng)經(jīng)過有限次切換后漸近穩(wěn)定以及定位觀測器的跟蹤時間小于被觀測系統(tǒng)的切換時間，利用共同Lyapunov函數(shù)法得到了觀測系統(tǒng)的狀態(tài)估計誤差指數(shù)衰減的結(jié)論.最后類似于卡爾曼對觀測器的改進(jìn)[10]，利用基于超平面概念的投影法對狀態(tài)進(jìn)行修正，進(jìn)一步加快了估計誤差的收斂速度.

1 系統(tǒng)的描述與準(zhǔn)備

如圖1所示的線性切換系統(tǒng)[2]，其連續(xù)部分?jǐn)?shù)學(xué)模型可以描述為

式中，x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，u(t)∈Rp為控制輸入，y(t)∈Rq為量測輸出，Ai∈Rn×n,B∈Rn×p,C∈Rq×n為常值矩陣.σ:[0,+∞)→M={1,2,···,m}是系統(tǒng)的切換信號，決定了在某一確定時刻ti時系統(tǒng)i的啟動依賴于時間t的分段常值函數(shù).定義切換系統(tǒng)的切換時間集合如下：

對于系統(tǒng)(1)，定義連續(xù)輸出觀測器系統(tǒng)

本文研究的切換系統(tǒng)在有限時間內(nèi)切換有限次，且滿足以下4條假設(shè)：

假設(shè)1 系統(tǒng)(1)存在某一切換律σ(t)，使得作用在該切換律下的系統(tǒng)(1)的狀態(tài)經(jīng)過有限次切換后漸近趨向于0.

假設(shè)3 矩陣對(Ai,C)是可觀測的.

假設(shè)4 定義觀測誤差為~x=x-^x，系統(tǒng)的觀測誤差狀態(tài)~x存在某一邊界值

式中，ε＞0.同時存在某一時刻τ0＞0以及某一常數(shù)xmax＞0，使得

誤差系統(tǒng)的動力學(xué)描述為

式中，ti+1表示切換時刻ti的下一次切換時刻，j∈σ(t),i∈.顯然，當(dāng)系統(tǒng)(2)還未辨認(rèn)出系統(tǒng)(1)的運(yùn)行模式即t∈時，i/=j；隨后經(jīng)過時間fi，i=j，如圖2所示.

圖2 兩種切換時間的示意圖Figure 2 Illustrate of two kinds of switching time

定義1[5]如果存在正定矩陣P，常數(shù)θ＞0及分段常值的切換函數(shù)，使得正定函數(shù)V(~x)=沿系統(tǒng)(5)軌線的導(dǎo)數(shù)滿足

引理1[11]設(shè)Y、M、N為具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣，其中Y是對稱矩陣，則對任意滿足ΓTΓ≤I的矩陣Γ，有

當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)λ＞0，使得

2 主要結(jié)果

為了書寫簡潔，在下列矩陣中均以符號“*”表示矩陣的對稱結(jié)構(gòu).

2.1 線性切換系統(tǒng)的觀測器設(shè)計

定理1 若系統(tǒng)(1)滿足假設(shè)1～4，并且存在矩陣Di∈Rn×q，實正定對稱陣P∈Rn×n，以及常數(shù)ε、γ、α、β、λi均大于0，使得下列矩陣不等式可解，則誤差系統(tǒng)(5)是指數(shù)穩(wěn)定的.這里選取觀測增益矩陣為Li=P-1Di.

證明 對于誤差系統(tǒng)(5)，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(t)=,t∈，則Lyapunov函數(shù)沿著系統(tǒng)(5)的導(dǎo)數(shù)為

1)當(dāng)t∈[ti+1,)時，i/=j，

根據(jù)引理1可得

將其代入式(8)得

總之，在布雷頓森林協(xié)議基礎(chǔ)上建立的現(xiàn)行的國際經(jīng)濟(jì)秩序，盡管在制度設(shè)計上存在著自由主義因素，這些因素包括自由平衡貿(mào)易的思想、古典經(jīng)濟(jì)學(xué)貨幣數(shù)量論以及保留了大危機(jī)之前建立的主張金融自由的跨國金融組織，但是總體而言，它的運(yùn)行主要是為給西方國家的國內(nèi)政府干預(yù)政策提供良好的外部環(huán)境。因此，它的政策選擇次序是先國內(nèi)、后國際，先貿(mào)易、后金融。這一制度特征在1945～1958年間沒有發(fā)生本質(zhì)性的變化。

將上式化為二次型的形式

式中

下面將式(3)變換為二次型形式

改寫成

式中

根據(jù)Schur補(bǔ)引理可知條件(6)等價于

將式(9)進(jìn)行恒等變換，并結(jié)合式(10)和(11)可得

解得

類似于上面的證明，并利用(6)中的條件(Ai-LiC)TP+P(Ai-LiC)+γI＜0，可以得到如下不等式：

由假設(shè)1可知系統(tǒng)(1)經(jīng)過i+1次切換后漸近穩(wěn)定，即不再切換了，此時觀測系統(tǒng)(2)的切換律在跟蹤上系統(tǒng)(1)后不再改變.當(dāng)t→∞時，有

根據(jù)定義1取θ=γ，則此時的誤差系統(tǒng)(5)指數(shù)收斂，定理1得證.

注1 當(dāng)切換系統(tǒng)的運(yùn)行時間為無窮時，式(14)的后一項不會趨向于零，則誤差系統(tǒng)的能量函數(shù)存在某一上界.此時盡管存在觀測誤差，但通過設(shè)計合適的γ、β、ε等參數(shù)，可以獲得滿意的誤差范圍.

2.2 線性切換系統(tǒng)的觀測器優(yōu)化設(shè)計

接下來，通過加入狀態(tài)跳變來改進(jìn)觀測系統(tǒng)的估計誤差收斂速度.

定理2 若每次在系統(tǒng)(1)的切換時刻ti上，觀測器狀態(tài)存在跳變

式中，(?)+表示矩陣?的廣義逆矩陣.

證明 由上述討論可知P是實正定矩陣，故對其求逆矩陣是成立的.同時由定理2中的條件知y=Cx=，狀態(tài)x和處于同一超平面上，如圖3所示.

圖3 狀態(tài)^x投影到超平面y=上的示意圖Figure 3 Projection of^x onto the plane y=

從圖3中可以看出，當(dāng)^x+和^x處于同一個正交于y=C^x+的超平面h上時，利用勾股定理可以得到

式中，廣義逆矩陣(CP-1)+的存在性由假設(shè)3即矩陣C∈Rq×n是行滿秩這一條件保證，由此證明完成.

注2 在觀測器中加入狀態(tài)跳變后，在每次的切換時刻估計誤差的值總小于原先未加入跳變時的值，于是加快了估計誤差的衰減速度，使誤差系統(tǒng)(5)更快地收斂到平衡點，從而改善了觀測器的性能.

3 仿真算例

以兩個子系統(tǒng)綜合仿真上面所提出的結(jié)論，定義系統(tǒng)(1)模型如下：

定義系統(tǒng)(1)的切換面為

選擇α=1，ε=3.67，λ1=1.3，λ2=0.5，由定理1解LMI得，同時得到β =46.16，γ=12.83.仿真結(jié)果如圖4和5所示，其中系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x(0)=[10,6]T，觀測器的初始狀態(tài)為^x(0)=[12,7.5]T.

圖4 未改進(jìn)的觀測系統(tǒng)(2)與切換系統(tǒng)(1)的狀態(tài)軌跡線Figur e 4 State trajectories of system(2)and(1)without using projection

圖5 改進(jìn)后的觀測系統(tǒng)(2)和切換系統(tǒng)(1)的狀態(tài)軌跡線Figur e 5 State trajectories of system(2)and(1)using projection

圖6切換系統(tǒng)(1)和觀測系統(tǒng)(2)的切換信號Figure 6 Switching signal of the system(1)and(2)

圖4 ～6中的X(t)、X′(t)分別表示切換系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)=[x1,x2]T及觀測系統(tǒng)的狀態(tài)由圖4可以看出，跟蹤狀態(tài)和原狀態(tài)之間的誤差越來越小，且由假設(shè)1知這兩種狀態(tài)都收斂至平衡點.圖5中狀態(tài)之間的誤差明顯小于圖4，這與定理2所證結(jié)果一致.

4 結(jié)語

本文考慮了一類未知切換規(guī)則的線性切換系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的設(shè)計問題，利用共同Lyapunov函數(shù)法給出了觀測器誤差系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，并通過仿真實例驗證了本文結(jié)論的有效性，從而為切換系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的設(shè)計提供了一種有效的方法.

[1]XIEG,WANGL.Stabilization of switched linear systems with time-delay in detection of switching signal[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2005,305(1):277-290.

[2]PETTERSSON S.Switched state jump observers for switched systems[C]//Proceedings of the 16th IFAC Word Congress,2005,Prague.Tu—E12—TO/5.

[3]ZHANG Lixian, GAO Huijun.Asynchronously switched control of switched linear systems with average dwell time[J].Automatica,2010,46(5):953-958.

[4]LIU Jinfeng,MU?OZD,PE?AB D L,CHRISTOFIDES P D.Distributed model predictive control of nonlinear systems subject to asynchronousnext term and delayed measurements[J].Automatica,2010,46(1):52-61.

[5]PETTERSSON S.Observer design for switched systems using multiple quadratic Lyapunov functions[C]//2nd IFAC Conference:Analysis and Design of Hybrid Systems,2006,Alghero:18-23.

[6]De SANTIS E,DI BENEDETTO M D.Observer design for discrete-time linear switching systems[C]//Proceedings IFAC Workshop on Dependable Control of Discrete Systems,2007,ENS Cachan,France:311-316.

[7]XIE D,WANG Q,WU Y.Average dwell-time approach to L2gain control synthesis of switched linear systems with time delay in detection of switching signal[J].Control Theory&Applications,2009,3(6):763-771.

[8]ZHANG Lixian,CUI Naigang,LIU Ming,ZHAO Ye.Asynchronous f iltering of discrete-time switched linear systems with average dwell time[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems,2011,58(5):1109-1118.

[9]向崢嶸，向偉銘.一類非線性切換系統(tǒng)觀測器設(shè)計的新方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009,31(2):416-419.

XIANGZhengrong,XIANGWeiming.A new approach to observer design for a class of switched nonlinear systems[J].Systems Engineering and Electronics,2009,31(2):416-419.(in Chinese)

[10]KALMANR E.A new approach to linear f iltering and prediction problems[J].ASME Journal of Basic Engineering,1960,82(4):35-45.

[11]顧則全，劉賀平，廖福成，王允建.基于LMI的不確定時滯切換廣義系統(tǒng)的保成本控制[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2010,32(1):147-151.

GUZequan,LIUHeping,LIAOFucheng,WANGYunjian.Guaranteed cost control for uncertain timedelay switched singular systems based on LMI[J].Systems Engineering and Electronics,2010,32(1):147-151.(in Chinese)