王佳佳， 謝亞楠， 譚子苗

上海大學通信與信息工程學院，上海200072

MIMO雷達系統(tǒng)是一個多輸入多輸出的雷達系統(tǒng)裝置，其發(fā)射端和接收端均有多根天線，可用來發(fā)射和接收信號.發(fā)射信號的波形對整個雷達系統(tǒng)的性能尤為重要，好的發(fā)射信號能降低整個雷達系統(tǒng)的截獲性[1]，從而提高雷達的戰(zhàn)場生存能力.常用的離散形式正交發(fā)射信號有正交相位編碼信號[2-4]、離散頻率編碼信號[5-7]、多載頻信號等，連續(xù)形式的正交發(fā)射信號有連續(xù)的調(diào)頻信號[8]等.

文獻[9]首次將優(yōu)化計算方法用于信號的波形設(shè)計，并根據(jù)模擬退火算法設(shè)計了具有良好相關(guān)特性的離散頻率編碼信號.文獻[10]采用遺傳優(yōu)化算法設(shè)計相位編碼的MIMO雷達信號，得到了一些性能較好的信號波形，但算法效率低，耗時長，而且當天線數(shù)目和碼元長度改變時，算法復(fù)雜度有所增加.為了有效避免遺傳算法中存在的早熟問題，文獻[11]將模擬退火算法引入到遺傳算法中，從而構(gòu)成了新型的混合優(yōu)化算法，提高了算法的收斂速度，同時得到了令人滿意的波形.然而，當天線數(shù)目和碼元長度增加時，不易得到所需要的波形.

由于混沌序列的取值具有初值敏感性和類隨機性的特點，使用混沌序列在短時間內(nèi)可以產(chǎn)生數(shù)量眾多且干擾方無法掌握規(guī)律的編碼信號，說明將混沌序列運用到頻率和相位上是不錯的思路.文獻[2]把混沌序列映射到相位編碼上，設(shè)計出的混沌相位編碼信號具有良好的自相關(guān)和互相關(guān)特性，可用于MIMO雷達波形設(shè)計.文獻[12]以混沌調(diào)頻信號作為MIMO雷達的發(fā)射信號波形，利用混沌序列良好的統(tǒng)計特性得到了性能優(yōu)越的正交波形集.本文則利用Bernouli單映射進行頻率編碼，將Logistic和Tent混沌函數(shù)交叉混合得到的序列進行相位編碼，從而獲得了復(fù)合混沌調(diào)頻-調(diào)相編碼信號.與單一調(diào)制信號相比，復(fù)合調(diào)制信號保留了相位調(diào)制信號的寬頻譜特性和頻率調(diào)制信號的抗干擾性能，同時采用復(fù)合混沌映射增加了信號的復(fù)雜性，大大減小了發(fā)射信號被敵方截獲的概率.

1 調(diào)頻-調(diào)相M IM O雷達信號

1.1 信號的模型

調(diào)頻[8,12-13]-調(diào)相[2-4,10,14]MIMO雷達第l個波形第i個子脈沖信號的一般復(fù)數(shù)表達式為

式中，f0為載波頻率，K為調(diào)制系數(shù)，為單混沌調(diào)制函數(shù)，?符號為卷積.是第l個波形第i個子脈沖信號的偽隨機相位，其中M為相位編碼可用的相位數(shù)，={0,1,···,M-1}表示第l個波形第i個子脈沖的偽隨機相位指示.為了便于表示，在后面的分析中均去掉l和i，則調(diào)頻-調(diào)相MIMO雷達信號復(fù)包絡(luò)的表達式為

1.2 離散化的信號模型

為了便于處理和分析信號，對調(diào)頻-調(diào)相MIMO雷達信號進行離散化，分別記為

式(3)中的φ(t)可進一步表示為

式中，V1(t)=0＜t＜T，Ci為單混沌函數(shù)映射后得到的編碼序列，T為子脈沖寬度，N為編碼長度，即子脈沖數(shù)目.

將式(5)代入式(3)，同時根據(jù)矩形函數(shù)的性質(zhì)可進一步化簡為

式(4)可進一步表示為

式中，V2(t)=0＜t＜T，Cm為雙混沌函數(shù)映射后的編碼序列，可從ejn2π/M,n∈{0,1,2,···,M-1}中選擇，在這里選擇的相位調(diào)制的子脈沖寬度和頻率調(diào)制的子脈沖寬度是一致的，均為T.這樣選擇是為了便于計算，當然也有不同的選擇方法.

將式(6)和(7)代入式(2)可得

進一步將式(8)進行離散化處理.令采樣間隔為T，那么有采樣頻率fs=1/T，即對每個子脈沖采樣1次，則式(6)可表示為

根據(jù)式(1)可以得到頻率調(diào)制函數(shù)的瞬時頻率

由式(10)可知頻率范圍如下：f0+Kφ(t)min≤f≤f0+Kφ(t)max.依據(jù)奈奎斯特采樣定理，采樣頻率大于等于調(diào)制信號的帶寬，以及得到的混沌序列在[-1,1]之間，即|φ(t)|≤1，故采樣頻率需滿足以下條件：

式中，取fs=1/T=2K，即K=1/2T，代入式(8)可得到調(diào)頻-調(diào)相的離散形式

2 頻譜特性

根據(jù)傅里葉變換特性，時域卷積相當于頻域積相乘，可得到頻譜為

Sf(f)的推導(dǎo)過程如下：

由歐拉公式可將式(14)進一步化簡為

同樣地，對Sθ(f)的推導(dǎo)過程為

把式(15)和(16)代入式(13)，并取絕對值得到調(diào)頻-相位信號波形頻譜表達式

3 模糊特性

式(1)可進一步表示為

式中，0＜t＜NT，此時進行四相編碼，即式中的d4(n)為ejn2π/M，n∈{0,1,2,3}.它的選擇順序與雙混沌映射交叉混合編碼得到的序列有關(guān).

混沌序列具有隨機性，各個子脈沖信號均不相同.因此，依據(jù)某個脈沖信號計算模糊函數(shù)具有一定的特殊性，不能準確反映復(fù)合混沌MIMO雷達信號的模糊特性.一種可能的方法是采用平均模糊函數(shù)來考察復(fù)合混沌MIMO雷達信號的模糊函數(shù)性能，本文選取在時間NT內(nèi)進行計算

將式(18)代入式(19)可得

然后分別對積分區(qū)域(a,b)和(c,d)進行化簡，得到的表達式如下：

當0＜τ＜T時，有n=m+1，此時a=n T+τ,b=(n+1)T，c=n T，d=n T+τ，則表達式為

當τ＞T時，為便于計算，采取qT＜τ＜(q+1)T,q=1,2,···,N-2，此時c=n T，d=(n-q)T+τ，n=1+m+q，則有

模糊函數(shù)是對稱的，即|A(τ,fd)|=|A(-τ,-fd)|，從而得到完整的模糊函數(shù)A(τ,fd)的表達式.由式(22)和(23)可以看出：混沌調(diào)頻-相位信號的模糊特性的表達式很復(fù)雜，那是因為混沌映射的表達式不確定.一旦確定混沌映射以及波形的設(shè)計方法，就可以得到比較確定的表達式.然后運用MATLAB軟件繪制其模糊函數(shù)的圖形.

4 信號波形相關(guān)性

本文假設(shè)MIMO雷達的信號波形數(shù)目為L，則信號離散形式的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)[15]可用式(24)和(25)進行計算

對于MIMO雷達正交信號，要求各信號之間互相關(guān)旁瓣峰值(CP)盡可能小，同時自相關(guān)旁瓣峰值(ASP)盡可能低，即應(yīng)滿足以下兩個條件：

根據(jù)信號的模糊函數(shù)的定義，同時運用卷積公式可推導(dǎo)得到

將Sl(t)=Sf(t)?Sθ(t)代入式(28)可得

令fd=0，則有MIMO雷達的第l波形的自相關(guān)函數(shù)表達式

式中，χf(τ,0)可由式(28)計算得到，同時χθ(τ,0)亦為也可由式(28)計算得到，于是式(30)可進一步表示為

由式(31)可知，調(diào)頻-調(diào)相的MIMO雷達的自相關(guān)特性是由調(diào)頻的自相關(guān)特性和調(diào)相的自相關(guān)特性卷積后得到的結(jié)果，一旦確定混沌映射函數(shù)，就可以計算并繪出調(diào)頻-調(diào)相的MIMO雷達信號波形集的相關(guān)特性圖形.

5 波形設(shè)計方法

5.1 Bernouli，Logistic和Tent映射

Bernoulli映射產(chǎn)生的混沌序列可定義為xn+1=f(xn)=rxn(mod1)，其中xn∈[0,1]，r為大于等于2的整數(shù).為實現(xiàn)一個抗干擾的高斯噪聲，信號的改進形式為式中，wgn(1,1,p)為高斯白噪聲，p為噪聲強度.改進形式產(chǎn)生的序列在一定范圍內(nèi)是不可預(yù)測的，從而使系統(tǒng)被當作一個真隨機比特源.離散時間混沌法不受其他噪聲源的影響.

Logistic映射定義表達式為xn+1=βxn(1+xn),β∈[0,4],x∈[0,1]，其改進形式為

Tent映射定義為xn+1=a-1-a|xn|，1≤a≤2，其改進形式為

5.2 設(shè)計方法

假設(shè)MIMO雷達的波形數(shù)目為L，每個波形的子脈沖編碼長度為L，相位數(shù)目為M，其具體步驟如下：

步驟1 在[0,1]之間隨機選取L個初值，首先針對L個不同的初值，用Bernouli映射分別產(chǎn)生Ld個序列；然后將每個初值長度為Ld的混沌序列劃分成Ld/N個長度為N的子序列；接著對這L個不同的初值，分別用Logistic序列和Tent序列產(chǎn)生長度為Ld/2個序列，同樣地對不同初值的Logistic序列和Tent序列交叉混合，構(gòu)成每個初值長度為Ld的混合混沌序列；同樣分別將每個初值長度為Ld的混合混沌序列劃分成Ld/N個長度為N的子序列.為了方便圖形繪制，對產(chǎn)生的[-1,1]之間的混沌序列進行如式(35)的處理，使得到的序列范圍在[0,1]之間，其中Ci為原始的序列，C′i為變換后得到的序列

步驟2 將L個不同初值的Logistic序列和Tent序列交叉混合得到的序列進行式(10)的變換后再進行四相均勻量化，然后映射到相位編碼信號波形上；同樣將L個不同初值的Bernouli映射產(chǎn)生的序列進行變換后映射到調(diào)頻信號上，從而得到了混沌映射的調(diào)頻-調(diào)相的MIMO雷達正交波形集的離散復(fù)包絡(luò)序列；

步驟3 對于L個不同初值，從每個初值得到的混沌調(diào)頻-調(diào)相MIMO雷達正交波形集的離散復(fù)包絡(luò)序列中選取一個自相關(guān)函數(shù)主旁瓣比最大的一個作為優(yōu)選波形，得到L組混沌映射序列作為MIMO雷達正交波形.

6 計算機仿真實驗

仿真參數(shù)設(shè)定如下：假設(shè)波形數(shù)目L=4，編碼長度N=1 024，相位編碼數(shù)目M=4，即采用四相編碼，調(diào)制系數(shù)K=32 MHz/s，脈沖寬度T=4μs，采樣頻率fs=5 MHz.選取的初值分別為0.1,0.2,0.3,0.4，每個初值生成的初始序列長度Ld=10 240，Bernouli映射中噪聲功率強度參數(shù)p=20d BW.本文采用Bernouli映射的改進形式xn+1=2(xn+wgn(1,1,p))(mod1)、Logistic映射的改進形式xn+1=1-2x2n、Tent映射xn+1=0.99-1.99|xn|來產(chǎn)生混沌序列.

實驗1 頻譜特性

圖1為雙混沌映射四相編碼信號的頻譜圖，圖2為單混沌加噪聲Bernouli映射的調(diào)頻編碼信號的頻譜圖，圖3為兩者結(jié)合的混沌調(diào)頻-調(diào)相編碼信號的頻譜圖.從圖1～3中可以看出，圖3的頻譜圖更接近類噪聲的頻譜分布圖，更具有隨機性，不容易被敵方偵查到，而圖1和2的頻譜變化規(guī)律容易被識別，表明了兩者結(jié)合的頻譜圖效果優(yōu)于單個調(diào)制的效果.

實驗2 模糊特性

模糊函數(shù)描述了目標的距離/多普勒頻移產(chǎn)生的影響.由圖4和5的等高線可以看出，模糊函數(shù)呈現(xiàn)理想的圖釘狀，且僅僅呈現(xiàn)單個峰值，即主要峰值區(qū)域在一個很窄的范圍，因此能夠獲得很高的距離向和多普勒向的分辨率.圖6為距離向的切片圖，從圖中可以看出分辨率類似一個沖擊函數(shù)，亦表明其具有很高的分辨率.

圖1 四相編碼信號的功率譜Figure 1 Power spectrum of four phase coded signal

圖2 調(diào)頻編碼信號的功率譜Figure 2 Power spectrum of frequency modulation coded signal

圖3 調(diào)頻-調(diào)相信號的功率譜Figure 3 Power spectrum of FM-phase modulation signal

圖4 模糊函數(shù)Figure 4 Ambiguity function

圖5 模糊函數(shù)的等高線圖形Figure 5 Contour map of ambiguity function

圖6 模糊函數(shù)距離向切片F(xiàn)igur e 6 Distance slice of ambiguity function

實驗3 正交性(相關(guān)性分析)

從圖7和8中可以看出，自相關(guān)函數(shù)類似于沖擊函數(shù)，互相關(guān)函數(shù)接近于零，表明混沌調(diào)頻-調(diào)相編碼波形集具有良好的正交性.由表1可以看出，在同樣的波形數(shù)目和編碼長度條件下，本文正交波形集的相關(guān)性優(yōu)于文獻[12]中的正交波形集，這主要得益于搜索空間的加大以及混沌映射方式的不同.

圖7 自相關(guān)函數(shù)圖形Figure 7 Autocorrelation function graph

圖8 互相關(guān)函數(shù)圖形Figure 8 Cross-correlation function graph

表1 計算值(L=4,N=1 024)Table 1 Calculation(L=4,N=1 024) d B

7 結(jié)語

本文提出了一種單雙結(jié)合的混沌調(diào)頻-調(diào)相MIMO雷達信號波形集.首先比較詳細地分析并推導(dǎo)了離散化的表達式，然后對信號波形的頻譜特性、模糊特性以及相關(guān)特性進行細致的推導(dǎo)和分析，最后進行數(shù)值仿真實驗.仿真結(jié)果表明，相對于混沌調(diào)頻以及混沌調(diào)相的MIMO雷達信號，單雙結(jié)合的混沌調(diào)頻-調(diào)相MIMO雷達的信號功率譜更具有隨機性，更不易被敵方截獲，其模糊函數(shù)的三維圖形接近理想的圖釘狀，且比文獻[12]具有更好的正交特性，從而說明單雙結(jié)合的混沌調(diào)頻-調(diào)相信號可以作為MIMO雷達信號波形集的一種很好的選擇.

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