韋慶陽(yáng)， 樊春霞， 顧 瑜

南京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京210003

近年來(lái)，復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)成為各個(gè)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[1-6]，其控制與同步問(wèn)題也得到了很多關(guān)注.由于網(wǎng)絡(luò)本身的很多元素，如網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化、時(shí)間延遲、通信噪聲等，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步控制面臨諸多具體問(wèn)題[7-8].

復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間進(jìn)行信息傳輸，不可避免地受到信道噪聲干擾，且隨機(jī)發(fā)生傳輸時(shí)延.文獻(xiàn)[9]考慮存在依賴于系統(tǒng)狀態(tài)且滿足伯努利分布的白噪聲干擾情況下，時(shí)滯離散復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[10]針對(duì)傳感器存在隨機(jī)時(shí)延和隨機(jī)飽和的情況，研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題.文獻(xiàn)[11]針對(duì)非線性節(jié)點(diǎn)和有隨機(jī)干擾的延遲復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，采用混合自適應(yīng)方法和脈沖控制方法實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)同步.文獻(xiàn)[12]實(shí)現(xiàn)了針對(duì)帶有隨機(jī)耦合強(qiáng)度變化和不確定性節(jié)點(diǎn)延遲的馬爾科夫耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步控制.文獻(xiàn)[13]研究了隨機(jī)切換耦合結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題.文獻(xiàn)[14]提出了一種節(jié)點(diǎn)狀態(tài)信息通信時(shí)隨機(jī)發(fā)生延遲的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型，并給出了同步控制器存在準(zhǔn)則，由此可見(jiàn)，隨機(jī)因素作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中不可忽略的因素，逐步成為該領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題.

文獻(xiàn)[14]不但提出了隨機(jī)時(shí)延復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的模型，而且給出了該網(wǎng)絡(luò)模型同步控制器的存在準(zhǔn)則，但沒(méi)有考慮節(jié)點(diǎn)間在傳輸狀態(tài)信息時(shí)存在的信道噪聲.文獻(xiàn)[5]利用牽制控制的方法，以最少數(shù)量的控制器獲得了節(jié)點(diǎn)受到噪聲干擾的線性耦合隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步.該網(wǎng)絡(luò)中的噪聲由布朗運(yùn)動(dòng)描述，且依賴于系統(tǒng)狀態(tài).每個(gè)節(jié)點(diǎn)噪聲的強(qiáng)度與該節(jié)點(diǎn)狀態(tài)量呈現(xiàn)出某種函數(shù)關(guān)系.對(duì)于這種噪聲，文獻(xiàn)[5]采用伊藤積分的方法來(lái)處理.

本文研究具有隨機(jī)時(shí)延和信道噪聲的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，所考慮的信道噪聲不依賴于系統(tǒng)狀態(tài)，采用H∞控制方法來(lái)抑制噪聲對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響.利用Lyapunov穩(wěn)定性理論、隨機(jī)分析方法與H∞控制方法，實(shí)現(xiàn)了一個(gè)帶有信道噪聲的隨機(jī)時(shí)延復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的控制.將復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)信息在傳輸過(guò)程中的時(shí)延描述成Markov鏈形式，建立了隨機(jī)時(shí)延耦合的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)H∞控制器設(shè)計(jì)準(zhǔn)則.最后，以Lorenz混沌系統(tǒng)作為節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)，構(gòu)造了復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)并進(jìn)行數(shù)值仿真.仿真結(jié)果表明，本文所提出的控制器能夠?qū)⒕哂须S機(jī)時(shí)延的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)漸近穩(wěn)定在平衡點(diǎn)，且滿足一定的H∞性能指標(biāo).

1 建立網(wǎng)絡(luò)模型和設(shè)計(jì)控制器

考慮包含N個(gè)節(jié)點(diǎn)的隨機(jī)時(shí)延耦合的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)

式中，xi(t)=(xi1(t),xi2(t),···,xin(t))T∈Rn是節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)向量；f:Rn→Rn為非線性平滑向量值函數(shù)，˙xi(t)=f(xi(t))為節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)方程，A為任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的內(nèi)部耦合矩陣，ui(t)為控制輸入，τ(t)為網(wǎng)絡(luò)耦合的延遲時(shí)間，C=(cij)N×N為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的耦合拓?fù)渚仃?，wj(t)∈L2[t0,∞)是節(jié)點(diǎn)j的狀態(tài)xj傳輸?shù)焦?jié)點(diǎn)i時(shí)受到的信道噪聲干擾，B∈Rn×n為一個(gè)常數(shù)矩陣，決定了通信噪聲wj(t)的強(qiáng)度，δ(t)∈[0,1]表示是否發(fā)生時(shí)延的隨機(jī)變量.如果第i個(gè)節(jié)點(diǎn)與第j(i/=j)個(gè)節(jié)點(diǎn)有連接，則cij＞0；否則，cij=0(i/=j)，且cii=0(i=1,2,···,N).若復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中沒(méi)有孤立的簇，則C對(duì)稱不可約[17].δ(t)=1表示一個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)狀態(tài)向量xj(t)在傳輸?shù)皆摴?jié)點(diǎn)的過(guò)程中沒(méi)有發(fā)生時(shí)間延遲，δ(t)=0表示一個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)狀態(tài)向量xj(t)傳輸?shù)皆摴?jié)點(diǎn)的過(guò)程中會(huì)發(fā)生時(shí)間延遲.δ(t)是一個(gè)Markov鏈，且滿足如下的指數(shù)分布變換[18-19]：

注1 在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)中，節(jié)點(diǎn)i的信息不通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳遞到該節(jié)點(diǎn)，因此不用考慮信息傳輸時(shí)延以及信道噪聲；在文獻(xiàn)[14]提出的隨機(jī)時(shí)延耦合復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型中，節(jié)點(diǎn)i的信息通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳遞到該節(jié)點(diǎn)，因而節(jié)點(diǎn)自身信息耦合時(shí)也發(fā)生了時(shí)延.從工程實(shí)現(xiàn)角度來(lái)講，節(jié)點(diǎn)i的信息可以直接傳遞該節(jié)點(diǎn)，而沒(méi)有必要通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳遞，故不增加網(wǎng)絡(luò)的通信負(fù)載.從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)比文獻(xiàn)[14]中提出的網(wǎng)絡(luò)模型更符合工程實(shí)際.

注2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)考慮的是信息在節(jié)點(diǎn)之間的傳輸時(shí)延以及信道噪聲對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響，文獻(xiàn)[5,10-12]中的節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)是時(shí)延系統(tǒng)，而對(duì)于信息在網(wǎng)絡(luò)上的傳輸過(guò)程沒(méi)有給予更多的關(guān)注.

假設(shè)1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)中的時(shí)延τ(t)滿足

式中，τ1、τ2、h均為正數(shù)，h為延遲時(shí)間變化率的界.假設(shè)2 非線性函數(shù)f(·)滿足Lipschitz條件

式中，x和y表示任意時(shí)變n維向量，Li是一個(gè)正數(shù)，且i=1,2,···,n，記作L=diag{L1,L2,···,Ln}.

采用反饋控制的原理設(shè)計(jì)控制器

式中，控制器增益ki是待確定的.將式(6)代入式(1)，則得到被控網(wǎng)絡(luò)為

由假設(shè)2可得

定義1 若wi(t)=0，且滿足E(˙V(t))≤0，則被控復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(6)在均方意義下漸進(jìn)穩(wěn)定.

本文旨在給出控制器(5)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，使得復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(6)滿足以下2個(gè)條件：

1)當(dāng)wi(t)=0時(shí)，復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(6)是均方意義下的漸近穩(wěn)定.

2)當(dāng)wi(t)/=0(i=1,2,···,N)時(shí)，在零初始條件下，被控動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(6)的狀態(tài)滿足

式中，r為給定的標(biāo)量，且r＞0.本文需要引入引理1和2.

引理1[20]對(duì)于任意兩個(gè)向量x,y∈Rn和標(biāo)量ε＞0，不等式2xTy≤εxTx+ε-1yTy成立.

引理2[21]矩陣Schur補(bǔ)引理.線性矩陣不等式

式中，Q(x)=QT(x)、R(x)=RT(x)和S(x)映射于x，等價(jià)于

2 復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的H∞控制

下面研究復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(6)的H∞控制問(wèn)題.

定理1 如果存在標(biāo)量ε＞0，對(duì)稱正定矩陣P和Q，滿足矩陣不等式

證明 取Lyapunov-Krasovskii泛函為

式中，P和Q均為對(duì)稱正定矩陣.對(duì)V(t)求導(dǎo)，可得

根據(jù)引理1和假設(shè)2可得

令Z(t)=(x1(t)T,···,xN(t)T)T，可得式(16)～(24)

因此可得

式中，U=I3N+(˙τ(t)-1)(IN?Q)對(duì)式(25)的兩邊求期望值，因?yàn)?/p>

所以

式中，U1=I3N+(H-1)(IN?Q)

利用引理2對(duì)式(27)進(jìn)行變換，可得式(11)和(12).當(dāng)且僅當(dāng)M1＜0，式(12)成立.

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，當(dāng)wi(t)=0時(shí)，在控制器(5)作用下，被控網(wǎng)絡(luò)(6)是均方意義下的漸近穩(wěn)定.

定理2 給定H∞性能指標(biāo)r＞0.如果存在標(biāo)量ε＞0和對(duì)稱正定矩陣P、Q，滿足矩陣不等式

式中，M2=(C?(PAB))

則帶有通信噪聲的隨機(jī)時(shí)延復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(6)是均方漸近穩(wěn)定的，且對(duì)于所有非零點(diǎn)，wi(t)(i=1,2,···,N)能滿足H∞性能指標(biāo)(8).

那么，考慮式(16)～(24)和式(29)可得

考慮時(shí)間t服從時(shí)間[t0,∞)，將式(30)兩邊積分可得

在零初始條件下，可得V(t0)=0和V(∞)≤0，

注3可以用MATLAB軟件的YALMIP工具箱求解控制器設(shè)計(jì)的準(zhǔn)則線性矩陣不等式(11)和(12).

3 數(shù)值仿真

在仿真中，建立一個(gè)包含10個(gè)節(jié)點(diǎn)的隨機(jī)時(shí)延耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)采用Lorenz系統(tǒng).Lorenz系統(tǒng)的表達(dá)式為

式中，a、b、c均為參數(shù).當(dāng)a=10，b=8/3，c=28時(shí)，該系統(tǒng)出現(xiàn)混沌特性.在被控網(wǎng)絡(luò)式(6)中，選定性能指標(biāo)r=0.5，δ(t)是滿足式(2)的馬爾科夫鏈

外部耦合矩陣為

在仿真中，耦合延遲時(shí)間設(shè)定為函數(shù)τ(t)=0.3+0.1sin t，且延遲時(shí)間函數(shù)導(dǎo)數(shù)的界h=0.1.本文選擇高斯噪聲作為通信噪聲，則網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的初始狀態(tài)為

當(dāng)控制器的增益ki=50,i=1,···,10,=0.5時(shí)，求解線性矩陣不等式=0.5可得

仿真結(jié)果如圖1所示.由圖1可以看出，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)在控制器(5)的作用下所有節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)漸近穩(wěn)定，滿足r=0.5的性能指標(biāo).

圖1 當(dāng)=0.5時(shí)，受控復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)xi1、x i2、x i3Figure 1 State x i1、x i2、x i3 of controlled complex networks whenδ=0.5

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究了信道噪聲環(huán)境下隨機(jī)時(shí)延復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的控制問(wèn)題.考慮到節(jié)點(diǎn)之間信息傳輸時(shí)不可避免地受到信道噪聲的干擾以及傳輸時(shí)延的隨機(jī)發(fā)生，設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器.利用Lyapunov穩(wěn)定性理論、隨機(jī)分析方法和H∞控制方法，得到了信道噪聲環(huán)境下的隨機(jī)時(shí)延耦合復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)控制器設(shè)計(jì)準(zhǔn)則.最后，以Lorenz混沌系統(tǒng)作為節(jié)點(diǎn)，構(gòu)建了復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)值仿真.仿真結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器能夠使帶有信道噪聲的隨機(jī)時(shí)延復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)漸近穩(wěn)定，并且滿足給定的H∞性能指標(biāo).

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