吳 昊， 蘇衛(wèi)民， 顧 紅

南京理工大學電子工程與光電技術學院，南京210094

無源雷達成像雖然存在諸多不利于目標成像的因素，如外輻射源的波長遠長于傳統(tǒng)雷達，且外輻射源信號的帶寬較窄，但具有良好的隱蔽性、抗干擾性和低成本等優(yōu)點[1]，故成為新的研究方向.

針對外輻射源成像,文獻[2]提出了直接傅里葉重構法(direct Fourier reconstruction,DFR)，首先將波束域中已經分離的來源于不同外輻射源的回波數(shù)據(jù)插值到標準網格，然后直接利用二維FFT算法獲得目標的圖像.文獻[3]提出了子孔徑綜合無源雷達成像算法，通過將多個外輻射源合成孔徑等效為大孔徑來對目標成像，具有較快的處理性能.文獻[4]探討了基于二元假設檢驗的成像方法，獲得了較好的成像效果.這些研究均要求獲得良好的方位覆蓋，如增大目標轉角，或增加外輻射源數(shù)目，然而在稀疏構造下會使目標重構失敗，于是需要尋求適用于站點數(shù)目較少環(huán)境下的成像方法.

壓縮感知理論[5-6]表明：如果信號在某個域中是可以稀疏表示的，那么只要利用少量數(shù)據(jù)，通過求解最優(yōu)化問題即可重構獲得原始數(shù)據(jù).文獻[7]將壓縮感知應用于無源雷達成像，在高信噪比環(huán)境下，即使外輻射源數(shù)較少，也可以獲得理想的成像效果.然而，該算法的前提是不存在相位誤差，而實際情況是不準確的參數(shù)將導致目標成像的退化，如電視站到成像場景的距離差、大氣因素的影響等，這就需要自聚焦算法對相位誤差進行校正[8].

經典的自聚焦算法為相位梯度自聚焦(phase gradient autofocus,PGA)算法[9]和最小熵(minimum entropy autofocus,MEA)算法[10].這些算法的前提是相位誤差僅在方位向可變，而在方向相同的情況下，不同距離維上的相位誤差仍然相等.對于多發(fā)單收無源雷達成像系統(tǒng)，發(fā)射站位于不同方向，且各站點的發(fā)射頻率不同，所以它是一個二維自聚焦問題.文獻[8]提出了一種無源雷達成像自聚焦算法，將相位誤差問題轉化為距離誤差問題，并選擇MEA對相位誤差進行校正，但該算法針對的是波束域充分覆蓋環(huán)境，并不適用于稀疏站點構造環(huán)境.文獻[11]將自聚焦算法應用于壓縮感知成像，先在孔徑稀疏化前進行自聚焦處理以完成相位校正（也就是預處理階段），再將孔徑稀疏化并完成壓縮感知成像.而無源雷達成像在層析重構中利用發(fā)射信號經過旋轉目標上一散射點反射至觀測站的信號，它在波束域上表現(xiàn)為分散的小弧度[3]，即孔徑本身就是稀疏的，故文獻[11]中的算法并不適用于本文所討論的問題.

本文將壓縮感知用于無源雷達成像，同時考慮相位誤差對成像性能的影響，提出了基于壓縮感知聯(lián)合稀疏孔徑自聚焦的無源雷達成像算法.為區(qū)別于文獻[7]，本文算法在重構圖像的過程中同時構造關于相位誤差增量的最優(yōu)化問題.該算法是一種迭代算法，在每次迭代中包含兩個步驟：

步驟1 應用壓縮感知理論，以lp范數(shù)法求解最優(yōu)化問題來重構本次迭代的圖像；

步驟2 構造關于相位誤差增量的最優(yōu)化問題，并結合步驟1求得圖像，利用準牛頓法獲得誤差增量估計，并更新稀疏傳感矩陣.

1 多基地無源雷達成像模型

以圖像中心為原點，x正半軸為零軸，逆時針方向為正方向，建立如圖1所示的坐標系.Si為電視臺i的位置，電視臺位置在極坐標下可表示為(r1,β1),···,(ri,βi),···,(rm,βm)，其載頻為f1,···,fi,···,fm,對應波長為λ1,···,λi,···,λm.觀測站位于x正半軸，它到原點的距離為r0.點P為圖像的某個散射點，它在極坐標下記為(r,φ).當目標旋轉θ時，x軸和y軸也跟著目標一起旋轉，如圖1虛線的對應坐標軸.則散射點P轉移到P′，它與旋轉后的坐標位置關系不變，而對于原坐標的位置用極坐標表示為(r,φ′)，其中φ′=φ+θ.

圖1 多站無源雷達成像幾何配置Figur e 1 Geometry of multistic passive radar imaging

系統(tǒng)中觀測站有兩路通道，參考天線通道接收直達波，主天線回波信號接收回波信號.假設參考通道能夠理想地分辨不同方向的外輻射源信號.由于不同外輻射源信號之間的載頻之差大于信號的帶寬，于是可用帶通濾波器將來自不同外輻射源經目標反射的回波分辨出來.設第i個發(fā)射站發(fā)射信號的載波分量為

式中，fi為載波頻率，φi為初相，A為幅度，則外輻射源Si信號經點P反射至觀測站的回波為

由于r?r0，r?ri，可以進行如下近似：r0,P=r0-r cos(φ+θk)，ri,P=ri-r cos(φ+θk-βi).將ri,P和r0,P代入式(2)，則接收到來自第i個外輻射源信號在目標旋轉θk時經散射點P的反射回波為

將式(3)變形，即提取出與r0、ri以及初始相位角φi有關的固定項可得

將式(4)去除載波，即去除式(4)中與r0、ri有關的固定項得

對于整個圖像的回波數(shù)據(jù)是圖1所示灰色部分第i個電視臺發(fā)射信號經過所有散射點反射到觀測站的去載波數(shù)據(jù)總和

式中，Z表示成像場景范圍，F(xiàn)為場景的散射函數(shù)，可以記為N×M維的矩陣.利用極坐標與直角坐標系的轉換關系x=r cosφ，y=r sinφ，并令θik=θk-βi/2，γi=λisec(βi/2)，可將式(6)修改為

令fx=2，fy=2sinθik/γi，則式(7)可寫為

式中

定義(fx,fy)為波束域直角坐標系，對應于二維目標場景坐標系(x,y).式(8)表明觀測站接收到的未受相位誤差干擾的觀測數(shù)據(jù)與散射強度是傅里葉對的關系.式(9)是一個以(0,0)為圓心，2/γi為半徑的圓，不同的外輻射源在波束域形成不同的半徑譜環(huán)，且回波數(shù)據(jù)僅投影在第i個外輻射源所對應的從βi/2到(βi/2)+θmax的圓弧上[3]，而圓周上其他位置未知.當目標不能以大轉角觀測或者外輻射源數(shù)目較少時，對應每個外輻射源的子孔徑是斷開的，如目標的轉角θmax小于相鄰站點的角度差.圖2為多電視站信號在波束域上的分布示意圖.

圖2 波束域數(shù)據(jù)投影示意圖Figure 2 Beam space coverage of the data

式中，ψik表示在第k次采樣中對應于第i個外輻射源Si的信號畸變所帶來的方位向偏差.

2 壓縮感知聯(lián)合稀疏孔徑自聚焦成像算法

2.1 壓縮感知理論

雷達目標成像過程可看作目標場景與點擴散函數(shù)的卷積過程，其離散化模型可表征為

式中，g為實測圖像向量，包含了相位誤差引起的偏移.f為目標場景向量，w為附加的雷達系統(tǒng)噪聲，T為傳感矩陣.分別將G和F展開為列向量

為了描述如式(12)所給的觀測模型，定義相位誤差向量

并構造對角矩陣

式中，diag{·}代表對角陣，其中對角元素上的值由括號內的向量構成.因此，式(12)中的參數(shù)與理想狀態(tài)（無相位誤差）的關系為

式中，~g表示理想觀測數(shù)據(jù)~G構成的向量.記~T為理想稀疏傳感矩陣，則受相位干擾觀測數(shù)據(jù)的稀疏傳感矩陣

Donoho提出，如果長度為L的信號f是k稀疏(k?L)的，則利用一個Q×L傳感矩陣T得到的量測向量g中就包含了f的全部信息(Q=ml，L=MN)[5].由于強散射點的幅度大，而背景散射幅度小，且幅度大的散射點在場景中占的比例較小，因此圖像本身具有稀疏特性.同時由于圖像對應的不同場景無規(guī)律，則對應的稀疏基f也沒有規(guī)律，這就保證了它與傳感矩陣無相關性，即滿足有限等距條件(restricted isometry property,RIP)

應用壓縮感知理論，利用量測g和目標先驗信息賦予約束項來估計f，可描述為

2.2 算法描述

壓縮感知理論的核心是構造合理的傳感矩陣，并選擇合適的重構算法快速重構稀疏信號.分析式(18)中理想稀疏傳感矩陣~T的物理意義：通過傅里葉變換可將回波數(shù)據(jù)投影到波束域(fx,fy)，并指定這些投影數(shù)據(jù)為算法輸入量g.本文選擇式(21)的目標旋轉不同角度的點擴散函數(shù)建立理想傳感矩陣~T的列向量

式中，i為第i個外輻射源，θmax為目標的最大旋轉角.

圖3給出了點擴散函數(shù)（point spread function,PSF）三維圖.理想的點擴散函數(shù)為單頻輻射對點目標做360度全角度聚焦，這時會形成一個理想的主峰(見圖3(a)).當旋轉角逐漸變小時，距離向分辨和方位向分辨將逐漸區(qū)分(見圖3(b))，這也是雷達成像需要大寬帶信號的原因，因此對于外輻射源成像，需要不同發(fā)射頻率的外輻射源來獲得更好的波束域覆蓋，換取壓低旁瓣的效果(見圖3(c)).當站點數(shù)較少時，即如圖2子孔徑無法構成一個連續(xù)的合成大孔徑一樣，利用傳統(tǒng)途徑無法獲得理想的成像分辨率（見圖3(d))，因此需要尋求超分辨成像方法.

圖3 點擴散函數(shù)三維圖Figure 3 Point spread function

重構方法主要有兩種.一種為貪婪方法,具有相對較小的計算量.由于不同外輻射源信號的發(fā)射頻率不同，不同外輻射源下的PSF構成~T的列向量相關性較弱，而對應同個外輻射源的PSF構成列向量~T的相關性較強,這與貪婪算法要求傳感矩陣~T中各個列相關性的條件不吻合.另一種為凸優(yōu)化方法，如lp范數(shù)法，雖然計算復雜度較高，但能避免上述限制.

傳統(tǒng)的壓縮感知理論并沒有考慮相位誤差問題.多發(fā)單收無源雷達成像系統(tǒng)的發(fā)射站位于不同方向，且各站點的發(fā)射頻率不同，故相位誤差校正是一個二維自聚焦問題.考慮目標轉角較小，單個輻射源信號在波束域中僅分布在很小弧度的圓弧上，因此在傳統(tǒng)的壓縮感知基礎上要考慮相位誤差對成像性能的影響.

文獻[8]提出了一種基于MEA的無源雷達成像自聚焦算法，首先將波束域中非均勻分布的數(shù)據(jù)插值到均勻網格中，然后根據(jù)MEA算法進行預處理獲得對應于已插值均勻網格數(shù)據(jù)的等效相位誤差，并由式(8)及二維FFT獲得場景成像.該算法要求波束域中數(shù)據(jù)較多，當目標不能以大轉角觀測且發(fā)射站較少時，波束域中的有效數(shù)據(jù)相對散開，若僅選擇密集數(shù)據(jù)插值，則無法獲得理想的成像結果.同時選用壓縮感知算法時，目標場景向量f的長度大于波束域中數(shù)據(jù)構成向量g的長度，因此單純利用缺失數(shù)據(jù)預處理無法滿足圖像能量守恒.

文獻[10]中的算法是在預處理階段構造關于相位誤差最優(yōu)化問題，進而完成相位校正.區(qū)別于該算法，本文算法是在重構圖像的過程中估計相位誤差增量.首先利用lp范數(shù)法重構圖像，然后在這個重構圖像基礎上構造關于相位誤差的最優(yōu)化問題，進而求得相位誤差增量估計.

將式(20)表示的帶約束優(yōu)化問題轉換為無約束優(yōu)化問題可得[12-13]

式中，λ為正則化參數(shù).式(22)中的第1項反映了數(shù)據(jù)的擬合度，第2項記錄了散射強度構成列向量和重構區(qū)域的先驗信息，并利用這些先驗信息來壓低旁瓣，從而保留了強散射點.實際上，取0＜p≤1有助于保護更小數(shù)目的主要散射點及其幅度，本文算法選擇p=1.

步驟1 利用lp范數(shù)法求解關于式(22)的最優(yōu)化問題：為保證約束項在|fi|=0處的可導性，根據(jù)式(23)進行平滑近似

式中，ε為較小正整數(shù)，則式(22)可寫為

對式(24)關于f(n)求偏導，得到梯度函數(shù)

其中

最后在式(25)的基礎上，利用準牛頓法建立迭代算法

式中，n代表迭代的次數(shù).

步驟2 估計相位誤差增量.由步聚1獲得的估計圖像f(n+1)建立關于相位誤差增量?a的目標函數(shù)

式中

結合準牛頓迭代法得

由式(33)求得第a個相位誤差的增量估計，直到每個觀測值的相位誤差增量都計算完畢.稀疏傳感矩陣T可以由式(34)獲得更新，然后在下次迭代時返回算法的步驟1

式中

當滿足

時，停止迭代，其中δ為門限.實驗結果表明，初值f(0)的選取對算法的性能影響較小.

綜上所述，本文算法的具體流程如下：

步驟1 根據(jù)式(28)更新f(n).

end

步驟3 根據(jù)式(35)將相位誤差增量轉換為對角矩陣D.

步驟4 根據(jù)式(34)對傳感矩陣T(n)進行迭代.

步驟5 如果滿足式(36)，則將最后迭代獲得的估計向量^f轉化成N×M維矩陣^F，算法終止；否則返回步驟1，重復進行迭代.

3 算法仿真和性能分析

本文對基于多個外輻射源和單個觀測站條件下的無源雷達成像系統(tǒng)進行仿真實驗.圖4給出了成像場景，接收數(shù)據(jù)被投影到圖2所示的圓弧上，

圖4 成像場景Figure 4 Distribution of the target

假設有45個電視臺，分布在-216°～16°范圍內，每個電視臺發(fā)射信號的載波頻率范圍為450～550 MHz，目標每旋轉1°采樣一次數(shù)據(jù).目標轉角為12°，并采用子孔徑綜合無源雷達成像算法，其成像效果如圖5(a)所示.為了獲得更理想的效果，應在圖5(a)基礎上加個門限，本文將門限取為0.7，得到加門限后的成像結果見圖5(b).

圖5 利用文獻[3]算法的成像結果(假設無相位誤差)Figur e 5 Simulated using subapertures synthesis method in reference[3]without phase error

將電視臺數(shù)降為10個，旋轉角度降到6°，應用壓縮感知成像算法，可得到接收數(shù)據(jù)經過相應處理后重建的目標散射強度圖，如圖6所示，這說明在旋轉角度較小的情況下利用壓縮感知成像算法可以比采用子孔徑綜合無源雷達成像算法得到更好的恢復目標上的強散射點.

考慮相位誤差，由于無法獲得與受干擾觀測數(shù)據(jù)所對應稀疏傳感矩陣，且在小轉角情況下表現(xiàn)為稀疏孔徑，因此直接應用壓縮感知理論重建目標散射強度圖無法獲得理想強散射點.假設相位誤差均勻分布在(–π/2,π/2)區(qū)間，采用壓縮感知算法的成像結果見圖7.

圖6 利用文獻[7]算法的成像結果(假設無相位誤差)Figure 6 Simulated using compressed sensing method in reference[7]without phase error

圖7 利用文獻[7]算法的成像結果(假設存在相位誤差)Figure 7 Simulated using compressed sensing method in reference[7]with phase error

本文方法能夠有效估計觀測數(shù)據(jù)中的相位誤差，并獲得與受到相位干擾觀測數(shù)據(jù)對應的稀疏傳感矩陣.圖8為本文算法的成像結果，可見各強散射點在受到相位誤差干擾的情況下也能分辨出來.

圖8 利用本文算法的成像結果(假設存在相位誤差)Figure 8 Simulated using compressed sensing joint sparse aperture autofocus method with phase error

圖9給出了不同站點下相位誤差均勻分布在(-ψmax,ψmax)時的圖像估計誤差隨ψmax的變化曲線，其中ψmax為相位誤差上限.可見站點數(shù)目越多，算法對相位誤差的校正越有效,這是因為在站點數(shù)目稀少且目標轉角較小的情況下，波束域上的有效數(shù)據(jù)越少.如果相位誤差過大，在算法迭代過程中會搜索到錯誤的強散射點.隨著站點數(shù)的增多或者目標旋轉角的增大，波束域中的有效數(shù)據(jù)就越多，即使在較大的相位誤差下也可以獲得較正確的場景圖像估計.圖10給出了圖像估計誤差有效收斂情況下本文算法的迭代次數(shù)，可以看出：在相同發(fā)射站數(shù)情況下，相位誤差越小，算法越快收斂，即迭代次數(shù)越少；在相同相位誤差干擾環(huán)境下，站點數(shù)越多，迭代次數(shù)越少.

圖9 圖像估計誤差隨相位誤差上限的變化曲線Figure 9 Convergence curve of the image estimate error with the phase error bound

圖10 算法迭代次數(shù)隨相位誤差上限的變換曲線Figure 10 Convergence curve of the iterations number with the phase error bound

4 結語

基于壓縮感知聯(lián)合稀疏孔徑自聚焦的無源雷達成像算法是在圖像可稀疏表示下通過建立關于相位誤差增量的最優(yōu)化問題，利用準牛頓法估計誤差增量更新實際稀疏傳感矩陣.同時根據(jù)壓縮感知理論，選擇不同方位的發(fā)射信號目標累積轉角對應點擴散函數(shù)構造理想傳感矩陣，并利用lp范數(shù)法得到場景中各散射點的散射強度.與子孔徑綜合成像方法相比，基于壓縮感知聯(lián)合稀疏孔徑自聚焦的無源雷達成像算法能夠有效的校正相位誤差，同時在電視臺數(shù)目較少時能對小轉角目標進行成像，且其可行性得到了仿真證明.

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