何建興

摘要：本文結(jié)合例題介紹了解二元一次方程組的兩種解法，即直接求解和構(gòu)造求解，旨在給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；二元一次方程組；直接求解；構(gòu)造求解

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）01-0124

利用設(shè)參消元法來解二元一次方程組，很少有人注意到，其實(shí)，它是一個(gè)妙招。結(jié)合靈活運(yùn)用代入消元法和加減消元法，妙上加妙。

解題之關(guān)鍵，在方程組中，選定一個(gè)二元一次方程ax+bx+c=0，將常數(shù)項(xiàng)c化整為零。構(gòu)造成形如：a（x+m）=b（y+n） （m、n可為0），然后設(shè)參求解。

解法另辟蹊徑，避繁就簡(jiǎn)，新穎獨(dú)特，廣開解題思路。不僅如此，而且更可貴的是利于開發(fā)智力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，大有裨益，值得提倡。

為了使同學(xué)們有規(guī)可循，易于掌握此法。本文所舉范例，重過程，少空話。以大家熟悉的九年義務(wù)教育三年制初中《代數(shù)》第一冊(cè)（下）2001年審定版教科書的例（習(xí)）題為例，用本法給予一題幾個(gè)優(yōu)解。供大家品嘗回味，各有所得。

一、直接求解

例1解方程組（第24頁(yè)）

5（m-1）=2（n+3） ①2（m+1）=3（n-3） ②

解法1：由①設(shè)5（m -1）=2（m+3）=10k，則

m=2k+1， n=5k-3 ③

③代入②， 得2（2k+2）3（5k-6）.

解得k=2，代入③，得

m=5n=7

解法2： 方程①兩邊加上10，從而可設(shè)5（m+1）=2（n+8）=10k，則

m=2k-1，n=5k-8 ③

③代入②，得4k=3（5k-11），解得 k=3，代入③，得

m=5n=7

解法3：方程①兩邊減去20，從而可設(shè)5（m-5）=2（n-7）=10k，則m=2k+5，n=5k+7 ③

③代入②，得2（2k+6）=3（5k+4），顯見k=0，代入③，又顯見

m=5n=7

點(diǎn)評(píng)：由解法2與3，已經(jīng)給我們一個(gè)啟示，由方程①還可以找到更多的解法。上述三種解法是優(yōu)解。在求解中，找到k=0的解法是妙解。

二、構(gòu)造求解

例2解方程組（第20頁(yè)例2）

3x+4y=16 ①5x-6y=33 ②

解法1：由①可設(shè) 3x=4（1-y）=12k，則

x=4k，y=4-3k， ③

③代入②，得20k-6（4-3k）=33

解得k=■，代入③，得

x=6 y=-■

解法2：因?yàn)?6=12+4，由①可設(shè)3（x-4）=4（1-y）=12k，則

x=4k+4，y=1-3k ③

③代入②，得5（4k+4）-6（1-3k）=33，解得k=■，代入③，得

x=6 y=-■

解法3：由①兩邊減去18，可設(shè)3（x-6）=4（-■-y）=12k，則

x=4k+6，y=-■-3k， ③

③代入②，得5（4k+6）-6（-■-3k）=33，解得k=0，代入③，得

x=6 y=-■

解法4：由②易想到33=30+3，可設(shè)5（x-6）=6（y+■）=30，則

x=6k+6，y=5k-■ ③

③代入①，得3（6k+6）+4（5k-■）=16，解得k=0，代入③，得

x=6 y=-■

點(diǎn)評(píng)：此例所給方程組是一般形式，先構(gòu)造后求解，是重點(diǎn)掌握。上述四種解法都是優(yōu)解，特別是解法4更值得一提。

例3解方程組（第24頁(yè)）

■-■=0 ①■-■=■ ②

分析：一般地，結(jié)構(gòu)復(fù)雜的方程組，先化簡(jiǎn)，再求解。但是，化簡(jiǎn)時(shí)要注意分寸。下面給予兩種巧妙解法。

解法1：把方程①的第二項(xiàng)移到右邊，然后兩邊減去1，得

■=■，設(shè)4（x-2）=3（y-2）=12k，則

x=3k+2， y=4k+2 ③

②化簡(jiǎn)為3（x-3）-4（y-1）=1，將③代入，得

3（3k-1）-4（4k-1）=1解得k=0，代入③，得

x=2 y=2

解法2：因?yàn)椤?■-■，②化簡(jiǎn)為■=■，設(shè)3（x-2）=4（y-2）=12k，則

x=4k+2，y=3k+2 ③

①化簡(jiǎn)為4（x+1）=3（y+2），將③代入，得

4（4k+3）=3（3k+4），解得k=0，代入③，得

x=2 y=2

點(diǎn)評(píng)：把方程組化簡(jiǎn)為一般式，然后求解。留給讀者試一試。

例4. 解方程組（第34頁(yè)）

4x+7y=222 ①5x+6y=217 ②

解法1：因?yàn)?22=12+210，由①設(shè)4（x-3）=7（30 -y）=28k，則

x=7k+3，y=30 -4k ③

③代入②，得5（7k+3）+6（30-4k）=217，解得k=2，代入③，得

x=17y=22

解法2：①-②，得-x+y=5，可設(shè) x+5=y=k，則

x=k-5，y=k ③

③代入①，得4（k-5）+7k=222，解得k=22，代入③，得

x=17y=22

點(diǎn)評(píng)：此例未知數(shù)項(xiàng)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的數(shù)字都比較大，且相關(guān)項(xiàng)的系數(shù)也沒有倍數(shù)關(guān)系。顯然用兩種常規(guī)解法是瑣碎的。上述兩種解法都是優(yōu)解。特別是解法2，簡(jiǎn)明精巧。

（作者單位：廣西崇左市扶綏縣龍頭中學(xué) 532101）