夏 超，單希壯，楊志剛，李啟良

（同濟大學 上海地面交通風洞中心，上海201804）

列車外流場絕大部分是高度非線性的湍流流動，目前工程上廣泛采用Reynolds平均法對瞬時的湍流控制方程進行處理.但由于方程中多出了與脈動量有關的項-ρu-′iu-′j（Reynolds應力），研究者需通過對Reynolds應力作出某種假定，即引入新的湍流模型，來封閉方程組.目前常用的湍流模型有兩大類：Reynolds應力模型和渦粘模型.Reynolds應力模型直接構建表示Reynolds應力的方程.渦粘模型是基于Boussinesq提出的渦粘假定，該假定建立了Reynolds應力相對于平均平均速度梯度的關系.依據(jù)確定渦粘系數(shù)μt的微分方程數(shù)目多少，渦粘模型包括：零方程模型、一方程模型和兩方程模型，目前兩方程模型得到了廣泛應用.為書寫方便，本文分別以SPA、SKE、RNG、RKE、SKW、SST和 RSM 分別表示Spalart-Allmaras、Standard（標準）k-ε、RNG（重整化群）k-ε、Realizable（可實現(xiàn)）k-ε、Standard（標準）k-w、SST（剪切應力輸運）k-w和Reynolds stress（雷諾應力）湍流模型.

湍流模型的選取對于數(shù)值模擬的精度具有決定性的作用，在汽車和航空領域的外流場的數(shù)值模擬中，國內(nèi)外研究者對常用的湍流模型的適用性進行了許多研究比較，Jones等［1］在翼型繞流中比較了RNG、RSM、V2F、SPA和SST模型的不同；楊勝等［2］采用SPA、SKE、RNG、RKE和 RSM 對汽車外部復雜漩渦繞流進行了數(shù)值模擬.大量研究表明［1，3］沒有一種湍流模型能給出與試驗結果完全一致的預測結果，因為每種湍流模型基于的各種假設和包含的經(jīng)驗常數(shù)都具有一定局限性，可能只適用于某些特定的情況.

Hucho［4］指出對于汽車尾部的分離可分為兩類：準二維的分離和三維分離.而列車的外流場雖與汽車具有類似的特點，但由于列車尾部較細長，準二維的分離相對汽車來說會弱化，因此其外流場會與汽車外流場有一些不同.目前在列車外流場方面，研究者們通常是借鑒汽車和翼型外流場來選擇湍流模型，其中SKE、RKE和RNG是國內(nèi)外研究者常用的湍流模型，如 Cheli等［5］采用 RKE［6］進行列車外流場的計算.近年來研究者［7］開始將SST模型用于列車外流場的數(shù)值模擬，但是國內(nèi)外針對不同湍流模型在列車外流場的模擬中的適用性的相關研究則較少.馬靜［8］比較了 RSM、SKE、RNG、RKE、SKW、SST和SPA模型在列車外流場模擬中的氣動力的計算精度；張軍海等［9］對比了SKE、RKE和RNG湍流模型在某高速列車外流場模擬中，模型表面壓力和流場速度的不同.Christina等［10］對 SKE 和Quadratic（二次）k-ε模型在列車側風工況下的適用性進行了研究.其中前兩個研究評價湍流模型都沒有試驗結果的支撐，而且對于外流場中最重要的部分，即尾部的分離特征并沒有進行研究比較，所以不同湍流模型在列車外流場的適用性還有待進一步的研究.本文通過對某簡化縮比列車模型進行測力以及尾部的油流試驗，評估了SKE、RNG、RKE、SKW和SST這5種常用的兩方程湍流模型進行列車外流場數(shù)值模擬的精度，分析比較了5種湍流模型的優(yōu)劣，通過這些研究可以為列車外流場數(shù)值計算方法的選擇提供重要的指導.

1 湍流模型

1.1 兩方程湍流模型

本文采用的5種兩方程湍流模型中的這些常數(shù)或變量的具體取值可參考文獻［11-16］.

1.2 壁面函數(shù)法

第1.1節(jié)中的湍流模型都是針對充分發(fā)展的湍流，是高雷諾數(shù)的湍流模型，只能用于求解湍流核心區(qū)的流動.而在壁面區(qū)，流動情況變化很大，特別是在粘性底層，流動幾乎是層流，湍流應力幾乎不起作用.壁面函數(shù)法是一組半經(jīng)驗公式，用于將壁面上的物理量與湍流核心區(qū)的求解變量聯(lián)系起來.這樣，不需要對壁面區(qū)內(nèi)的流動進行求解，就可直接得到與壁面相鄰控制體積的節(jié)點變量值［13］.

2 試驗研究和數(shù)值模擬

2.1 試驗方法

試驗模型是利用Matlab和Catia采用參數(shù)化建模方法得到簡化列車模型的幾何外形，模型長550 mm，寬77mm，高90mm，阻塞度為5.6%，材質(zhì)為工程塑料，噴亞光黑漆處理，如圖1所示.

圖1 簡化列車模型Fig.1 Simplified train model

本次試驗是在上海地面交通風洞中心1∶15的模型風洞中進行，該模型風洞為3/4開口式風洞，噴口面積為0.123m2，駐室長1.57m，寬1.185m，高0.818m，最高風速49m·s-1，模型區(qū)軸向靜壓梯度小于0.005m-1，噴口湍流度為0.6%.試驗主要包括測力和油流試驗.其中測力試驗采用盒式六分力天平進行測量，分別進行20、30、40和45m·s-1四種工況測量.油流試驗采用的配方為：二甲基硅油、二氧化鈦和煤油的量分別為50、5和15mL.因為油流法是顯示復雜流動的有效的手段，通過對表面油流譜的分析可以了解流體在表面發(fā)生轉捩的位置、分離的位置、分離方式和特點、旋渦的形成等.所以本文采用油流法來研究模型尾部的分離特征.本次油流試驗的工況為：45m·s-1風速，工程塑料材質(zhì)的模型，持續(xù)吹風15min.

2.2 數(shù)值計算方法

本次數(shù)值仿真的工況及計算相關設置如下：

（1）模型風洞取主要部分作為計算域，其計算域及主要的邊界條件的設置如圖2所示，其中擴散段后邊加了一段延長段，是防止出口有回流，延長段的四周壁面都設置為對稱邊界條件.采用六面體網(wǎng)格，邊界層第一層網(wǎng)格厚度為0.5mm，增長率為1.05，對模型尾部進行加密，模型網(wǎng)格如圖3所示.

圖2 計算域及邊界條件Fig.2 Computational domain and boundary conditions

圖3 模型周圍網(wǎng)格Fig.3 Mesh around the model

（2）采用SKE、RNG、RKE、SKW 和SST這5種不同湍流模型分別進行求解，為了對5種湍流模型在相同網(wǎng)格數(shù)量下進行比較，本文保證第一層網(wǎng)格厚度一致，都采用非平衡壁面函數(shù)，y+（第一層網(wǎng)格尺寸的量綱一化量）滿足30～80.其中需要特別說明的是SKW和SST模型的近壁面處理方法，文獻［15］指出SKW和SST模型可以根據(jù)第一層網(wǎng)格厚度自動在壁面函數(shù)和低雷諾數(shù)處理近壁面之間進行轉換.對流項和擴散項都采用二階離散格式，壓力速度耦合方式采用Simple算法.

2.3 網(wǎng)格無關性

數(shù)值計算的結果的準確性很大程度上取決于網(wǎng)格的數(shù)量和質(zhì)量，所以本文首先針對網(wǎng)格數(shù)量無關性進行了研究，并保證網(wǎng)格質(zhì)量都在同一水平，通過改變模型表面和周圍網(wǎng)格的大小來確定最優(yōu)的網(wǎng)格數(shù).因為本文比較的湍流模型都采用非平衡壁面函數(shù)，所以保持邊界層網(wǎng)格不變.定義網(wǎng)格無關性標準差：

式中：Xi為阻力系數(shù)Cd；σ為第i次之后所有Xi的標準差；n為次數(shù).

表1給出了網(wǎng)格無關性的研究結果，當網(wǎng)格數(shù)超過677萬后，無關性標準差σ≤0.002，可知對于解決工程問題，數(shù)值計算結果已滿足要求，所以可以確定選取677萬作為數(shù)值計算的網(wǎng)格數(shù).

表1 網(wǎng)格無關性研究結果Tab.1 Results of grid independence

3 試驗與數(shù)值計算結果的分析

3.1 氣動力系數(shù)的比較

表2顯示了5種湍流模型計算的列車模型不同風速V下的阻力系數(shù)Cd和升力系數(shù)Cl與試驗值的比較.從表中結果可以看出，阻力系數(shù)Cd都隨著速度增加而逐漸減小，升力系數(shù)Cl變化較小.這是因為隨著雷諾數(shù)的增加，湍流邊界層能夠抵抗較高的逆壓梯度，模型尾部分離點的位置向下移動，使得尾跡區(qū)域的寬度變窄，壓差阻力逐漸減小，因而阻力系數(shù)逐漸減小，而對升力方向的影響不大.對于阻力系數(shù)Cd來說，與試驗值相比，RKE、RNG和SST的計算結果較為精確，誤差都在10%以內(nèi).其中RKE的計算結果最為精確，不同風速下的誤差都在5%以下，最小為2.5%；而計算精度較差的是SKE和SKW.對于升力系數(shù)Cl來說，與試驗值相比，RKE和SST的計算結果較為精確，誤差基本都在10%以內(nèi).其中SST的計算結果最為精確，不同風速下的誤差都在3%以下，最小為0.5%；而SKE和RNG的計算精度較差.

綜上可知：RKE和SST對阻力和升力的預測都比較精確，而SKE和SKW則對阻力和升力的預測精度較差.分析原因如下：

（1）SKE假定渦粘系數(shù)μt是各向同性的標量，所以其用于彎曲壁面流動、渦旋流動的流動時，會產(chǎn)生一定的失真.通常SKE會高估滯止區(qū)的湍流度而造成滯止區(qū)范圍較大，預測阻力偏大，本文研究中SKE計算的Cd值比試驗值高了16.7%～26%.RKE彌補了 k-ε 中存在的兩大缺陷［6，12-13］：一個是對應變率特別大的情形，k-ε方程可能導致負的正應力，所以對正應力進行了某種數(shù)學約束；另一個是在渦粘系數(shù)的計算公式中，系數(shù)Cμ不應是常數(shù)而應該是與旋轉應變率有關的量.所以RKE在用于列車外流場這種帶有邊界層流動以及漩渦大分離的流動中計算精度較高.本文RKE模型計算的Cd值與試驗的誤差都在5%以內(nèi).

（2）SKW模型雖然計及了近壁面處剪切流動的傳播，提高了對壓力梯度的靈敏度，但其求解結果對來流條件的k和w非常敏感.而從表2可以看到不同風速下，SKW預測的阻力系數(shù)Cd與試驗的誤差最小為22.1%，最大為36.6%；升力系數(shù)Cl與試驗的誤差最小為-4.3%，最大為-17.4%.而SST則是通過一個混合函數(shù)將SKE和SKW相結合而成的模型［11，15］，它在近壁面處使用SKW，而在邊界層外和自由流區(qū)使用SKE模型，在混合區(qū)內(nèi)則通過混合函數(shù)F混合使用兩個模型，這樣使得SST在模擬一些分離流動方面都比SKW精度更高更可靠.在本文研究的列車外流場計算中，SST對升力系數(shù)Cl的計算精度較好，與試驗結果的誤差都在3%以內(nèi)，對阻力系數(shù)Cd的計算精度不如RKE模型，但誤差都在10%以內(nèi).

表2 氣動力系數(shù)的數(shù)值模擬與試驗結果對比Tab.2 Comparison between numerical simulation and test result on aerodynamic coefficients

3.2 尾部油流譜的比較

圖4給出了試驗得到的尾部油流譜，包括分離線，分離螺旋點和再附線.其中分離線特點為周圍質(zhì)點都向此處運動，這樣示蹤粒子都在此堆積，形成白線；分離螺旋點特點就是周圍質(zhì)點都向螺旋點運動，旋成渦旋狀，造成示蹤粒子堆積；再附線特點是周圍質(zhì)點運動方向都背離該線，所以沒有示蹤粒子的堆積.

具體分析其油流譜可以看到：在圖4a中，模型頂部出現(xiàn)了少量示蹤粒子堆積，說明此處氣流出現(xiàn)了微弱的分離，而這種分離是由于逆壓梯度作用而形成，類似于熟悉的翼型尾部的分離，這里稱為分離一；從圖4a和4b可以看到：在模型的背部和側部有明顯的“人”字形分離線和一對分離螺旋點，此處的分離是因為背部的氣流和側部、底部翻轉上來的氣流在此處匯聚，繼而發(fā)生旋轉形成一對對稱的拖曳渦脫離模型而造成的，這里稱為分離二；從圖4c可以看到模型最尾端同時出現(xiàn)有分離線和再附線，這里的分離同分離二類似，由于逆壓梯度作用，使氣流分離形成漩渦，隨后漩渦再附到模型上而形成的，模型尾端的上部和下部分別有一個漩渦形成，這里稱為分離三.分離一和分離三就是前言中提到的準二維分離，而分離二就是指三維的分離.

圖5和圖6顯示數(shù)值模擬的5種湍流模型的尾部油流譜，圖例表示表面剪切應力的大小，剪切應力為零的地方就是出現(xiàn)分離的部位.從圖6中可以看到：SKW和SST預測到了因逆壓梯度造成的分離一，但和試驗相比，其預測的分離區(qū)過大，這與Wilcox［16］指出k-w模型有對分離區(qū)預測過大的特點相一致.分析原因為SST和SKW模型都計及了近壁面處的低雷諾數(shù)效應和剪切流動的傳播，提高了對壓力梯度的靈敏度.而其余模型均沒有預測到此處的分離，但可以看到RKE在此處附近的剪切應力相對SKE和RNG要小，說明RKE預測相對較準確.

從圖5和圖6中可以得到：對于分離二，SKE和RKE預測較為準確，其中以RKE預測的分離線和分離螺旋點的位置與試驗最為接近.因為SKE通常高估湍流剪切應力，這樣就會導致分離推遲，從圖6可看到SKE預測的分離區(qū)小于RKE和試驗結果.RNG模型對分離螺旋點的預測較差，而SKW和SST對分離二的預測和試驗相差較大.分析原因為RKE中渦粘系數(shù)μt的計算公式中系數(shù)Cμ考慮了與旋轉應變率有關的量，所以對渦旋流動模擬較準確.而RNG、KWS和SST在模擬復雜流線和帶有強烈旋渦，旋轉應變的流場時，精度不高.這是因為RNG和KWS中的渦粘系數(shù)μt中的系數(shù)Cμ是個經(jīng)驗常數(shù)，可能只適應某些流場.而第3.1節(jié)中已提到SST是通過一個混合函數(shù)將SKE和SKW相結合而成的模型，它在近壁面處使用SKW，而在邊界層外和自由流區(qū)使用SKE模型，所以其在模擬復雜流線和帶有強烈旋渦時也會存在與SKW和SKE類似的特點.同時為克服SST模型中的渦粘系數(shù)μt會存在奇異解這一缺陷，模型對渦粘系數(shù)μt作了一定的限制，而限制中的常數(shù)因采用了一些經(jīng)驗和試驗的數(shù)據(jù)，可能在某些特定流場計算下有效.

從圖5可以看到：對于分離三，5種模型都較準確地捕捉到了.

圖4 尾部試驗油流譜Fig.4 Oil streamline on tail by test

圖5 尾部數(shù)值模擬的剪切應力油流譜（后視圖）Fig.5 Oil streamline of wall shear on tail by numerical simulation（rear view）

圖6 尾部數(shù)值模擬的剪切應力油流譜（側視圖）Fig.6 Oil streamline of wall shear on tail by numerical simulation （lateral view）

4 結論

通過對簡化列車模型進行外流場的數(shù)值模擬和風洞試驗，比較了5種湍流模型的計算精度，結果表明：

（1）RKE和SST模型對阻力和升力的預測都相對準確，其中RKE在阻力的計算上精度最高，誤差都在5%以內(nèi)；SST在升力的計算上最為精確，誤差在3%以內(nèi).而SKE和SKW則在阻力的計算上表現(xiàn)較差，誤差在15%以上；SKE和RNG則在升力的計算上精度較差，誤差基本都在10%以上.RKE通過對正應力進行了某種數(shù)學約束，并在渦粘系數(shù)中引入與旋轉應變率有關的量，提高了k-ε對列車阻力的數(shù)值模擬精度.

（2）SKW和SST模型都考慮了近壁面處的低雷諾數(shù)效應和剪切流動的傳播，所以對因逆壓梯度造成的分離一預測較準確，但預測的分離區(qū)通常過大；而SKE和RNG這兩種k-ε模型對于逆壓梯度造成的分離一都預測較差，RKE預測相對準確.而SKW、SST以及RNG對于因氣流交匯形成拖曳渦而造成的分離二預測準度較差，主要是因為其渦粘系數(shù)μt的計算公式中系數(shù)Cμ是經(jīng)驗常數(shù)或是根據(jù)經(jīng)驗和試驗的數(shù)據(jù)作了一定的限制，可能在某些特定流場計算下有效，而對于列車的尾部復雜漩渦流場模擬精度不高.RKE模型中的渦粘系數(shù)μt因為引入了與旋轉和曲率相關的內(nèi)容，所以對分離二預測較準確.SKE也基本預測到了分離二，但是因為SKE通常高估湍流剪切應力，這樣就會導致分離推遲，分離區(qū)小于真實值或不發(fā)生分離.綜上可知，SKW和SST對準二維分離捕捉相對準確；RKE則對三維分離捕捉得更準確.

（3）通過以上氣動力和分離特征的分析，RKE和SST湍流模型對于列車外流場的計算各有優(yōu)劣，所以可以考慮將RKE和SST湍流模型結合起來，通過考慮旋轉和曲率影響對SST模型中的SKE模型進行改進，以用來列車外流場的計算，期望可以取得更好的模擬精度，當然這還有待進一步的研究和驗證.

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