趙亞玲，沈小欣

?-混合樣本下似然比統(tǒng)計(jì)量的漸近分布

趙亞玲，沈小欣

（浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華321004）

利用泰勒展開(kāi)方法研究?-混合樣本下考慮一維參數(shù)空間似然比統(tǒng)計(jì)量的極限分布,在一定的正則條件下,證明了簡(jiǎn)單原假設(shè)下似然比統(tǒng)計(jì)量的極限分布為加權(quán)χ2-分布.

?-混合樣本;似然比統(tǒng)計(jì)量;漸近分布

在參數(shù)估計(jì)中,極大似然估計(jì)是被廣泛應(yīng)用的一種估計(jì)方法,極大似然方法最先由Guass提出,后又由Fisher［1］提出并研究了它的性質(zhì),極大似然估計(jì)被廣泛應(yīng)用到統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題的研究.似然方法除了在估計(jì)問(wèn)題中被廣泛應(yīng)用外,其亦被廣泛應(yīng)用到假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中,這就是著名的似然比檢驗(yàn).在獨(dú)立樣本下,似然比統(tǒng)計(jì)量的漸近分布是卡方分布的結(jié)果已被證明，見(jiàn)茆詩(shī)松等［2］.本文將研究-混合樣本下似然比統(tǒng)計(jì)量的極限分布,下面先介紹下?-混合序列的定義.

定義一：稱隨機(jī)變量序列{ηi,i≥1}為?-混合序列,如果當(dāng)n→∞時(shí),有

其中表示表示由生成的?-域,且稱?(n)為?-混合系數(shù).

1959年,Ibragimov［3］第一次提出了?-混合條件,與此同時(shí)Cogburn［4］進(jìn)行了相關(guān)研究.Bradley［5］給出了一個(gè)較好的?-混合條件以及其它常用混合條件的綜述.samour［6］又研究了混合隨機(jī)變量和的收斂性.由于?-混合序列應(yīng)用廣泛,劉京云［7］等都對(duì)?-混合隨機(jī)變量序列的相關(guān)理論進(jìn)行了深入研究.

本文研究?-混合樣本下似然比統(tǒng)計(jì)量的漸近分布，在第二節(jié)給出主要結(jié)果,第三節(jié)給出一些引理,主要結(jié)果的證明在第四節(jié)給出.

1 假設(shè)條件及主要結(jié)果

設(shè)X1,X2,…,Xn,…是一列?-混合隨機(jī)變量序列,混合系數(shù)為?,Θ是一維參數(shù)空間,且X1的概率密度函數(shù)為p(x;θ),θ∈Θ.令X=(X1,X2,…,Xn),似然函數(shù)為,若統(tǒng)計(jì)量θ?(X)使得L(θ?(X);X)=supθL(θ, X),則稱)為極大似然估計(jì),由于對(duì)數(shù)似然函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù),故滿足是極大似然估計(jì).尋找極極大似然估計(jì)一般用求導(dǎo)數(shù)的方法,若的內(nèi)點(diǎn),則θ?是似然方程的解.可以證明在一定的條件下似然方程以概率1有解,且此解是相合的.

考慮雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題:簡(jiǎn)單原假設(shè)H0∶θ≠θ0對(duì)備擇假設(shè)定義似然比統(tǒng)計(jì)量，

在λ(X)較大時(shí),原假設(shè)成立觀測(cè)到樣本點(diǎn)X的可能性比較小,因此在λ(X)較大時(shí)拒絕原假設(shè).故檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)閧X,λ(X)≥C},為了得到拒絕域需要知道似然比統(tǒng)計(jì)量的分布,但其精確分布很難得到,故尋求在樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)似然比統(tǒng)計(jì)量的漸近分布.

筆者研究在原假設(shè)H0成立時(shí)2lnλ(X)的漸近分布,需要以下正則條件:

(A1)(i)X1,X2,…,Xn,…是平穩(wěn)的隨機(jī)變量序列,X1的概率密度函數(shù)為p(x;θ),θ∈Θ,Θ為一維參數(shù)空間,θ0是參數(shù)真值.(ii){Xi,i≥1}是?-混合序列且

(A4)存在M(x),使得x∫M(x)·p(x,θ)dx＜K,?θ∈Θ,其中K為與θ無(wú)關(guān)的常數(shù),且在含有參數(shù)真值θ0的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)

(A5)不同的θ值,對(duì)應(yīng)不同的概率分布.

注1條件(A2)～(A6)在研究獨(dú)立樣本情形似然比統(tǒng)計(jì)量的極限分布時(shí)也被用到(見(jiàn)文［2］).基于以上假設(shè)，有定理結(jié)果如下：

定理設(shè)條件(A1)～(A6)滿足,則在H0成立時(shí),當(dāng)n→∞時(shí),2ln λ(X)依分布收斂到,其中

2 引理

為了證明主要結(jié)果,需要以下引理.

引理1假設(shè){Xj,j≥1}是?-混合序列,混合系數(shù)為?(n),表示由{Xi,s≤i≤t}(s≤t)序列生成的σ-域.若{fi(·)∶j≥1}都為可測(cè)函數(shù),則{fi(Xj)∶j≥1}是?-混合序列,且混合系數(shù)?1(n)滿足?1(n)≤?(n).

證通過(guò)?-混合隨機(jī)變量序列的定義可直接證明.

引理2［7］設(shè){Xk;k≥1}為實(shí)值?-混合序列且混合速度滿足若對(duì)某個(gè)r≥2,有則

引理3假設(shè){Xj;j≥1}是滿足(A1)的?-混合序列,則有

引理4設(shè)條件(A1)～(A6)滿足,若ln p(x,θ)在Θ上可微,則似然方程在n→∞時(shí)以概率1有解,且為θ0的相合估計(jì).

證?θ′≠θ,因p(x;θ)是可識(shí)別的,由Jensen不等式及引理3得,對(duì)充分小的δ＞0,(θ0-δ,θ0+δ)?Θ,當(dāng)n→∞時(shí),

則l(θ;x)在［θ0-δ,θ0+δ］上必有一局部最大點(diǎn),記為θ?,且|θ?-θ|＜δ,故由的δ任意性引理得證.

引理5設(shè){Xj;j≥1}是滿足條件(A1)的?-混合序列,則由文［6］知收斂且有

引理6設(shè)條件(A1)滿足,且X1的概率密度函數(shù)p(x,θ)滿足條件(A2)-(A5),記θ?n為n→∞時(shí)似然方程的相合解,則

其中θ1介于θ0與之間.

又由引理3知：

又當(dāng)n→∞時(shí),θ1在θ0的領(lǐng)域內(nèi),故結(jié)合引理3知：

由(3)式和(4)式知：

再由(1)、(2)、(5)式引理6得證.

3 定理的證明

下面的證明都是在原假設(shè)H0成立的條件下進(jìn)行的.將處泰勒展開(kāi)，則由文［2］得：

由此定理得證.

［1］Fisher R A.On the mathematical foundations of theoretical statistics［J］.Philosophical Transactions of the Royal Society of London.Series A,Containing Papers of a Mathematical or Physical Character,1922,222:309-368.

［2］茆詩(shī)松,王靜龍,濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.2版.北京:高等教育出版社,2006.

［3］Ibragimov I A.Some limit theorems for stochastic processes stationary in the strict sense［J］.Dokl Akad Nauk SSSR,1959,125 (2):711-714.

［4］Cogburn R.Asymptotic properties of stationary sequences［J］.Univ Calif Publ Statist,1960(3):99-146.

［5］Bradley R C.Basic properties of strong mixing conditions:a survey and some open questions［J］.Probab Surveys,2005(2):107-144.

［6］Samour J D.Convergence of sums of mixing triangular arrays of random vectors with stationary rows［J］.Ann Probability,1984,12(4): 390-426.

［7］劉京云,陳平炎,甘師信.?-混合序列的大數(shù)定律［J］.數(shù)學(xué)雜志,1998,18(2):91-95.

The asymptotic distribution of likelihood ratio statistic under ?-mixing samples

ZHAO Ya-ling,SHEN Xiao-xin
（College of Mathematics,Physics and Information Engineering,Zhejiang Normal University, Jinhua 321004,Zhejiang,China）

Under ?-mixing samples the paper discusses one dimensional parameter space,and the asymptotic distribution of likelihood ratio statistic is established in the case of simple null hypotheses via the Taylor expansion method.Under certain regularity conditions,the asymptotic distribution is proved to be weighted chisquare distribution.

?-mixing sample;likelihood ratio statistic;asymptotic distribution

O152.1

A

1007-5348（2014）12-0005-05

（責(zé)任編輯：李婉）

2014-09-10

趙亞玲（1990-），女，安徽合肥人，浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，碩士研究生，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的研究.