李 寧，王李管，賈明濤，陳建宏，譚正華

（1.中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083；2.中南大學(xué) 數(shù)字礦山研究中心，長(zhǎng)沙 410083；3.湘潭大學(xué) 信息工程學(xué)院，湖南 湘潭 411105）

1 引言

由于受到不同時(shí)期、不同程度地殼運(yùn)動(dòng)影響，造成巖體內(nèi)的結(jié)構(gòu)面異常發(fā)育。巖體的力學(xué)特性和水力行為都受到結(jié)構(gòu)面的控制，在巖體邊坡破壞模式分析、巖體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析以及巖體滲透參數(shù)計(jì)算中巖體結(jié)構(gòu)面的幾何特征屬性是必須考慮的參數(shù)[1]。因此，對(duì)巖體結(jié)構(gòu)面相互交切所形成的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬是極其重要的基礎(chǔ)工作[2－4]，而根據(jù)巖體結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀特征屬性進(jìn)行結(jié)構(gòu)面分組是進(jìn)行結(jié)構(gòu)面網(wǎng)絡(luò)計(jì)算機(jī)模擬的關(guān)鍵步驟。

根據(jù)巖體結(jié)構(gòu)面的大小和規(guī)模將結(jié)構(gòu)面分為5個(gè)等級(jí)，其中規(guī)模較大的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ級(jí)結(jié)構(gòu)面，對(duì)工程穩(wěn)定起著決定性作用，在實(shí)際工程中可通過地質(zhì)勘查直接查明其性狀和邊界條件。對(duì)于Ⅳ、Ⅴ級(jí)結(jié)構(gòu)面，由于其尺寸小、數(shù)量大，且具有隨機(jī)分布的特征，只能用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)面網(wǎng)絡(luò)模擬。本文的研究對(duì)象主要是Ⅳ、Ⅴ級(jí)結(jié)構(gòu)面，由于構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)多期次性和地質(zhì)材料本身的非均質(zhì)性和各向異性，形成非常復(fù)雜的巖體結(jié)構(gòu)面幾何特征，導(dǎo)致在實(shí)際工作中很難直接對(duì)結(jié)構(gòu)面進(jìn)行分組。傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)面分組方法是采用極點(diǎn)圖或等密度圖[5]，該類方法的特點(diǎn)是需根據(jù)工程人員的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分組，主觀性強(qiáng)，分組結(jié)果因各人的專業(yè)素養(yǎng)不同而存在較大差異。因此，應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)面幾何特征屬性借助數(shù)學(xué)方法對(duì)結(jié)構(gòu)面進(jìn)行客觀的劃分。

Shanley[6]提出了一種根據(jù)結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀進(jìn)行分組的聚類算法，缺點(diǎn)是在尋找密度點(diǎn)時(shí)需合理的確定小球的半徑。Hammah等[7]采用基于模糊理論的K-means算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)面組數(shù)的劃分。周玉新等[8]提出了把模糊等價(jià)聚類和模糊軟劃分聚類相結(jié)合的方法，將模糊等價(jià)聚類方法得到的較優(yōu)分類結(jié)果作為模糊軟劃分聚類方法的初始劃分，將模糊軟劃分聚類方法得到的聚類中心作為各類的中心產(chǎn)狀，以得到合理的分類結(jié)果。以上方法都屬于動(dòng)態(tài)聚類算法，從本質(zhì)上看是一種局部搜索尋優(yōu)方法，容易陷入局部極小點(diǎn)，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)面分類結(jié)果不準(zhǔn)確。針對(duì)動(dòng)態(tài)聚類算法的上述缺陷，本文提出一種融合遺傳算法（GA）和支持向量機(jī)（SVM）的綜合聚類算法，即遺傳-支持向量機(jī)聚類算法（G-SVM），首先給定初始分類組數(shù)，將初始聚類中心作為變量通過遺傳算法進(jìn)行求解，獲得每組結(jié)構(gòu)面的優(yōu)勢(shì)產(chǎn)狀，再以優(yōu)勢(shì)產(chǎn)狀為訓(xùn)練樣本，利用支持向量機(jī)方法對(duì)所有結(jié)構(gòu)面進(jìn)行分類，最后將遺傳-支持向量機(jī)聚類算法（G-SVM）應(yīng)用于錦屏水電站左岸邊坡結(jié)構(gòu)面的優(yōu)勢(shì)分組。

2 巖體結(jié)構(gòu)面分組的數(shù)學(xué)模型

2.1 結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀空間表達(dá)

野外進(jìn)行結(jié)構(gòu)面調(diào)查時(shí)結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀一般采用傾向α 和傾角β 表示，即Θ=(α，β)，α為結(jié)構(gòu)面的傾向，從正北開始順時(shí)針轉(zhuǎn)至結(jié)構(gòu)面的單位法向量在水平面中的投影，0°≤α ＜360°；β為結(jié)構(gòu)面的傾角，是結(jié)構(gòu)面單位法向量與z 軸的夾角，0°≤β≤90°。為便于分析計(jì)算，假設(shè)結(jié)構(gòu)面為一空間平面[9]，其產(chǎn)狀可用其對(duì)應(yīng)的單位法向量F 表示，構(gòu)造如下空間直角坐標(biāo)系：x 軸正向指向正北，y 軸正向指向正東，z 軸正向指向下，如圖1所示，本文采用下半球Schmidt投影。

圖1 結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀示意圖Fig.1 Sketch of the orientation of structural plane

對(duì)于任意結(jié)構(gòu)面的單位法向量即可表示為 Fi=(xi，yi，zi)，其中：

式中： αi、 βi為第i(i=1，2，…，n)個(gè)結(jié)構(gòu)面的傾向和傾角。

2.2 結(jié)構(gòu)面分組的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

通過分析野外測(cè)量所獲得的巖體結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀數(shù)據(jù)可知，自然狀態(tài)下的巖體結(jié)構(gòu)面都具有成組的特性，所以首先需確定結(jié)構(gòu)面之間的相似性度量。在對(duì)結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀的相似性進(jìn)行度量過程中，結(jié)構(gòu)面傾角較陡且傾向相差180°時(shí)，應(yīng)該歸為同一組，若采用歐式距離進(jìn)行度量，易導(dǎo)致聚類結(jié)果不正確。本文通過采用結(jié)構(gòu)面的單位法向量間所夾銳角正弦值平方的方法來解決上述問題。設(shè)任意兩結(jié)構(gòu)面的單位法向量為F1=(x1，y1，z1)，F(xiàn)2=(x2，y2，z2)，它們之間所夾銳角為

從而可知單位法向量F1、F2間的距離為

假設(shè)有n 個(gè)結(jié)構(gòu)面Ej(j=1，2，…，n)，對(duì)應(yīng)的單位法向量為Fj(j=1，2，…，n)，且可劃分為m 組，每組聚類中心為Wi(I=1，2，…，m)，定義vij為第j個(gè)結(jié)構(gòu)面屬于第i 個(gè)分組的隸屬度，由式(4)可得到Fj與Wi間距離為d(Fj，Wi)，則所有結(jié)構(gòu)面與聚類中心的距離之和為

由式(5)可知，E 取得極小值時(shí)為聚類目標(biāo)。當(dāng)每個(gè)結(jié)構(gòu)面各自成為一組時(shí)，此時(shí)式(5)取得全局最小值0，此時(shí)的分組結(jié)果是沒有任何意義的，因此，傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)聚類算法都必須較準(zhǔn)確的給出初始聚類中心，若初始聚類中心在整個(gè)樣本空間不平衡時(shí)，算法很可能陷入局部極小點(diǎn)[1]。本文運(yùn)用改進(jìn)的遺傳算法來解決此問題。

3 算法描述

3.1 改進(jìn)的遺傳算法

遺傳算法是一種基于生物進(jìn)化原理發(fā)展而來的搜索最優(yōu)解的仿生算法，它模擬基因重組和進(jìn)化的自然過程，把待優(yōu)化的問題參數(shù)根據(jù)精度的需要編制成二進(jìn)制碼或其他進(jìn)制碼（基因），若干基因形成一個(gè)染色體（個(gè)體），在可行域范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生一定數(shù)量的染色體，按照類似自然進(jìn)化理論進(jìn)行選擇、交叉、變異等運(yùn)算，經(jīng)過反復(fù)迭代直到獲得最優(yōu)的結(jié)果。實(shí)踐和理論都證明了在一定條件下遺傳算法總是以概率1收斂于問題的最優(yōu)解[10]。

3.1.1 編碼及初始種群產(chǎn)生

編碼是應(yīng)用遺傳算法進(jìn)行尋優(yōu)基礎(chǔ)，由于二進(jìn)制編碼不能反映所求問題的結(jié)構(gòu)特征，且受遺傳運(yùn)算隨機(jī)性的影響導(dǎo)致其局部搜索能力較差，所以本文采用格雷編碼（Gray code）方式來對(duì)個(gè)體進(jìn)行編碼。根據(jù)聚類中心的各維坐標(biāo)值的取值范圍，將其編碼成二進(jìn)制基因串，再利用二進(jìn)制碼與格雷碼的轉(zhuǎn)換法則，將二進(jìn)制碼全部轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的格雷碼。

初始群體的特性影響計(jì)算的效率和結(jié)果，需確保其在解空間中盡可能的分散，才能實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu)解。標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法是按照隨機(jī)方法產(chǎn)生一組初始種群，使得初始種群在解空間中分布不均勻，影響遺傳算法的性能。本文使用正交設(shè)計(jì)與遺傳算法相結(jié)合的方法，首先根據(jù)所給出的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造正交數(shù)組，再根據(jù)以下步驟產(chǎn)生初始種群：

①將解空間劃分為R 個(gè)子空間（R≥3）。

②量化每個(gè)子空間，運(yùn)用正交數(shù)組選擇S 個(gè)染色體（個(gè)體）。

③在R×S 個(gè)染色體中，按照適應(yīng)度值由大到小選擇T 個(gè)作為初始種群。

3.1.2 適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計(jì)

在遺傳算法中，以適應(yīng)度函數(shù)值的大小來度量個(gè)體接近最優(yōu)解的優(yōu)良程度，適應(yīng)度值較高的個(gè)體遺傳到下一代的概率就較大。為了減少由于目標(biāo)函數(shù)在函數(shù)值分布上相差較大對(duì)尋優(yōu)結(jié)果的影響，本文運(yùn)用界限構(gòu)造法將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為適應(yīng)度函數(shù)G：

式中：cmax為目標(biāo)函數(shù)E 的最大估計(jì)值。

3.1.3 遺傳算子

遺傳算子包括選擇算子、交叉算子和變異算子。選擇操作建立在對(duì)個(gè)體適應(yīng)度進(jìn)行評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)之上，主要是為了避免有用遺傳信息的丟失，提高全局收斂性和計(jì)算效率。交叉是按照一定的概率pc從種群中選擇2個(gè)個(gè)體，交換2個(gè)個(gè)體的某個(gè)或某些位，形成2個(gè)新的個(gè)體，并繼承了父代的基本特征[11]。變異是根據(jù)變異概率 pm將個(gè)體染色體編碼串中的某些基因座上的基因值用該基因座的其他等位基因來替換，從而形成一個(gè)新的個(gè)體。變異本身是一種隨機(jī)算法，與選擇和交叉算子結(jié)合后，避免了由于選擇和交叉運(yùn)算而造成某些信息的丟失，保證遺傳算法的有效性。

3.1.4 算法實(shí)現(xiàn)步驟

①初始化分類組數(shù)m，子空間數(shù)R，子空間中被選擇的染色體數(shù)S，交叉概率 pc，變異概率 pm和終止代數(shù) Qmax；

②令Q=1，初始化m 個(gè)聚類中心Wi(i=1，2，…，m)，并對(duì)其按照3.1.1節(jié)的方法進(jìn)行編碼，形成初始種群；

③對(duì)每個(gè)聚類中心分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的隸屬度vij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，目標(biāo)函數(shù)值E，根據(jù)式（7）即可求得適應(yīng)度值G；

④依次執(zhí)行選擇、重組和變異，產(chǎn)生子代種群；

⑤令Q=Q+1，直至設(shè)置的最大終止代數(shù)（為了確保算法的收斂性，終止條件采用最大進(jìn)化代數(shù)與設(shè)定收斂條件相結(jié)合的方式），即可得到最佳的遺傳算法運(yùn)算結(jié)果。

3.2 支持向量機(jī)算法

支持向量機(jī)（SVM）[12－13]是20世紀(jì)90年代中期發(fā)展起來的基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的一種機(jī)器學(xué)習(xí)方法，通過尋求結(jié)構(gòu)化風(fēng)險(xiǎn)最小來提高學(xué)習(xí)機(jī)泛化能力，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)和置信范圍的最小化，從而達(dá)到在統(tǒng)計(jì)樣本量較少的情況下，同樣能獲得良好統(tǒng)計(jì)規(guī)律的目的。

3.2.1 線性可分情況

假設(shè)存在訓(xùn)練樣本{Fi， Gi}（i=1，2，…， l），F(xiàn)i∈RD，Gi∈{-1，+1}；l為樣本數(shù)，D為樣本維數(shù)。線性判別函數(shù)一般形式為

式中：ω、b為待確定的變量。對(duì)于線性可分問題，存在超平面ω · F+b=0使得兩類樣本完全分開。將判別函數(shù)進(jìn)行歸一化，使兩類中所有樣本都滿足f (F) ≥1，即

運(yùn)用Lagrange法求解，函數(shù)為

式中：θi≥0為L(zhǎng)agrange乘子。將式（11）分別對(duì)ω、b、θi求偏微分，可得

根據(jù)式（9）、（12）以及Karush-Kuhn-Tucker條件[14－15]，可得到凸二次規(guī)劃尋優(yōu)的對(duì)偶問題：

通過求解，可得到最優(yōu)分類面判別函數(shù)：

3.2.2 線性不可分情況

對(duì)于線性不可分問題，用非線性變換Φ將D 維矢量空間中矢量F 映射到高維特征空間，然后在高維特征空間進(jìn)行線性分類。由式（14）可知，最優(yōu)分類平面判別函數(shù)與點(diǎn)積運(yùn)算(Fi·Fj)有關(guān)，從而得到線性不可分條件下最優(yōu)分類判別函數(shù)為

根據(jù)泛函理論，只要存在一種核函數(shù) K(Fi·Fj)滿足Mercer條件，它就對(duì)應(yīng)某一變換空間中的內(nèi)積，使得 K(Fi·Fj)=Φ (Fi) ·Φ(Fj)，實(shí)現(xiàn)非線性變換后的線性分類。根據(jù)向量間的不同算法可將核函數(shù)分為4類：線性核函數(shù)、多項(xiàng)式核函數(shù)、徑向基函數(shù)和sigmoid函數(shù)，其中徑向基函數(shù)是最常用的核函數(shù)。

3.3 聚類的有效性檢驗(yàn)

聚類的有效性檢驗(yàn)是為了確定結(jié)構(gòu)面數(shù)據(jù)的最優(yōu)分類組數(shù)。Xie-Beni指標(biāo)[16]UXB采用緊致性來評(píng)價(jià)類內(nèi)的內(nèi)聚程度，同時(shí)采用分離性來評(píng)價(jià)不同類之間的隔離程度。本文采用基于核函數(shù)的G-SVM聚類算法對(duì)結(jié)構(gòu)面進(jìn)行聚類，同樣需將UXB變換到Hilbert空間，形成核空間的Xie-Beni指標(biāo)UKXB[17]，則相應(yīng)的計(jì)算公式為

4 算法驗(yàn)證

為了檢驗(yàn)分類算法的有效性，本文通過計(jì)算機(jī)模擬生成5組結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀數(shù)據(jù)，共1 250個(gè)結(jié)構(gòu)面，傾角和傾向都服從正態(tài)分布。分別采用模糊C 均值聚類算法和G-SVM聚類算法進(jìn)行分類，通過比較分組結(jié)果和模擬參數(shù)之間的差異來檢測(cè)本文提出算法的可靠性。結(jié)構(gòu)面模擬的詳細(xì)參數(shù)見表1。

表1 結(jié)構(gòu)面模擬參數(shù)Table 1 Simulation parameters of structural plane

模擬生成結(jié)構(gòu)面的等密度圖如圖2所示。模糊聚類算法和G-SVM聚類算法對(duì)結(jié)構(gòu)面分組后的極點(diǎn)圖如3、4所示。

圖2 結(jié)構(gòu)面等密度圖（模擬）Fig.2 Isopycnal map of structural plane(simulation)

圖3 模糊聚類結(jié)果極點(diǎn)圖Fig.3 Pole plot of FCM results

圖4 G-SVM聚類結(jié)果極點(diǎn)圖Fig.4 Pole plot of G-SVM cluster results

由圖3、4可知，模糊聚類算法和G-SVM聚類算法對(duì)結(jié)構(gòu)面聚類得到的組數(shù)一致，為5組，與結(jié)構(gòu)面模擬參數(shù)相同，但每組中結(jié)構(gòu)面數(shù)與模擬參數(shù)存在誤差。模糊聚類算法和G-SVM聚類算法所得分組結(jié)果與模擬參數(shù)對(duì)比見表2。

表2 模擬參數(shù)與聚類結(jié)果對(duì)比Table 2 Contrast of clustering results and simulation parameters

由表2可見，與模擬數(shù)據(jù)生成的1 250個(gè)結(jié)構(gòu)面對(duì)比，模糊聚類方法使得84個(gè)結(jié)構(gòu)面產(chǎn)生誤差，而G-SVM聚類方法產(chǎn)生的誤差結(jié)構(gòu)面只有2個(gè)，誤差率為0.2%。分析原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生誤差的結(jié)構(gòu)面傾角與第5組結(jié)構(gòu)面的平均傾角幾乎一致，導(dǎo)致被分到了第5組，同時(shí)聚類中心與模擬參數(shù)基本吻合，驗(yàn)證了本文G-SVM聚類方法的可靠性。

5 工程應(yīng)用

某水利工程壩基左岸邊坡反向坡，主要由大理巖和砂板巖組成，呈山梁與淺溝相間的微地貌特征。由于受到強(qiáng)風(fēng)化的作用，節(jié)理裂隙較為發(fā)育，邊坡穩(wěn)定性的研究和評(píng)價(jià)工作顯得越來越重要。本次采用測(cè)線法，共布置3條側(cè)線，獲得231個(gè)結(jié)構(gòu)面樣本產(chǎn)狀數(shù)據(jù)，其等密度圖如圖5所示，不同結(jié)構(gòu)面分組數(shù)對(duì)應(yīng)的聚類有效性檢驗(yàn)結(jié)果見表3。

由圖5較為直觀地發(fā)現(xiàn)存在3組優(yōu)勢(shì)結(jié)構(gòu)面面，同時(shí)從表3可知，當(dāng)分組數(shù)為3組時(shí)，核空間Xie-Beni指標(biāo)最小，所以結(jié)構(gòu)面最優(yōu)分組數(shù)為3。通過改進(jìn)遺傳算法獲得每組結(jié)構(gòu)面的優(yōu)勢(shì)產(chǎn)狀見表4，遺傳算法中相關(guān)參數(shù)：m=3，T=1 500，pc=0.8，pm=0.02，Qmax=500。再根據(jù)支持向量機(jī)分類方法，得到的結(jié)構(gòu)面聚類結(jié)果極點(diǎn)圖如圖6所示。

圖5 結(jié)構(gòu)面等密度圖（231個(gè)）Fig.5 Isopycnal map of structural plane(231 samples)

表3 聚類有效性檢驗(yàn)結(jié)果Table 3 Validity measure for clusters

表4 3組結(jié)構(gòu)面優(yōu)勢(shì)產(chǎn)狀Table 4 Advantage occurrence of structural planes

圖6 結(jié)構(gòu)面聚類結(jié)果極點(diǎn)圖Fig.6 Pole plot of structural plane cluster results

由圖6可知，G-SVM聚類算法將231個(gè)結(jié)構(gòu)面清晰的分為3組，各組結(jié)構(gòu)面數(shù)分別為86、75、70個(gè)。本文聚類算法所得結(jié)果與工程實(shí)際情況相符，為邊坡裂隙網(wǎng)絡(luò)模擬以及邊坡穩(wěn)定性分析提供了基礎(chǔ)。

6 結(jié)論

（1）遺傳算法是一種基于生物進(jìn)化原理發(fā)展而來的搜索最優(yōu)解的智能仿生算法，建立結(jié)構(gòu)面分組的數(shù)學(xué)模型后，通過利用改進(jìn)的遺傳算法，獲得樣本全局最優(yōu)聚類中心（每組結(jié)構(gòu)面的優(yōu)勢(shì)產(chǎn)狀），避免了傳統(tǒng)聚類方法需根據(jù)個(gè)人經(jīng)驗(yàn)的主觀性。

（2）支持向量機(jī)（SVM）可以解決小樣本、非線性和高維模式識(shí)別問題。將改進(jìn)遺傳算法計(jì)算獲得的結(jié)構(gòu)面聚類中心作為訓(xùn)練樣本，對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)面樣本空間進(jìn)行精確分類，解決了結(jié)構(gòu)面聚類邊界不易劃分的問題。

（3）通過比較模糊聚類算法和本文G-SVM聚類算法可知，G-SVM算法不需要首先隨機(jī)給出結(jié)構(gòu)面的聚類中心，避免聚類結(jié)果陷入局部最優(yōu)，提高了聚類結(jié)果的準(zhǔn)確性。通過隨機(jī)樣本和工程實(shí)際樣本驗(yàn)證以及核Xie-Beni指標(biāo)對(duì)聚類結(jié)果的有效性檢測(cè)，證明了該算法可靠實(shí)用，對(duì)后續(xù)裂隙巖體網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算機(jī)模擬，具有重要的意義。

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