徐永, 曹治清

(成都中醫(yī)藥大學(xué)管理學(xué)院, 四川 成都 611137)

SIR型傳染病的模糊控制研究

徐永, 曹治清

(成都中醫(yī)藥大學(xué)管理學(xué)院, 四川 成都 611137)

根據(jù)已有的SIR型傳染病的微分方程模型, 把具有模糊性的政府采取的控制措施, 信息的發(fā)布力度及隔離強度等轉(zhuǎn)化為傳染病微分方程中的參數(shù)λ, 設(shè)計了一個雙輸入單輸出的模糊控制器, 以我國的甲型H1N1數(shù)據(jù)為例對模型中的參數(shù)進行確定, 建立控制規(guī)則并進行了仿真分析, 仿真結(jié)果顯示所設(shè)計的模糊控制系統(tǒng)具有一定的可靠性, 驗證了本文方法的可行性, 最后對自愈率的靈敏度分析表明提高疾病治療的成功率, 可以有效控制疫情的擴大傳播和蔓延.

SIR模型; 模糊控制; 甲型H1N1; 靈敏度分析

1 引言

2009年甲型H1N1禽流感的傳播和蔓延以及近兩年H7N9在我國局部地區(qū)的爆發(fā)給經(jīng)濟的發(fā)展、公眾的健康和生活帶來了影響, 使人們認(rèn)識到掌握疫情的傳播動態(tài)、控制疫情的傳播和蔓延的是政府面臨的一項很急迫的任務(wù)[1].已知一系列的歷史數(shù)據(jù), 文獻[2]根據(jù)微分方程模型建立了SIR型傳染病的預(yù)測模型, 根據(jù)預(yù)測結(jié)果對疫情進行控制才是關(guān)鍵.已有的文獻對SIR型傳染病的控制很少涉及到模糊控制策略, 事實上控制傳染病的擴散與蔓延政府所采取的措施, 比如疫情信息發(fā)布力度, 防治知識公眾宣傳力度, 公共場所消毒程度以及隔離強度等都具有模糊性, 因此, 建立傳染病的模糊控制模型具有非常重要的理論和現(xiàn)實意義.

2 SIR型傳染病模型建立

SIR模型是Kermark和Mckendrick于1927年建立的, 它適用于治愈之后具有較強的免疫力, 不能再次被感染的傳染病模型.

模型的假設(shè)[3-5]:

1)假設(shè)研究地區(qū)總?cè)藬?shù)N不變, 不隨時間的變化而改變．不考慮死亡率及出生率.把研究人群分為三類: S類為易感染者, I類為已感染者, R類為病愈免疫的移出者.其在總?cè)藬?shù)N中占的比例分別為s(t), i(t), r(t), 即s(t)+i(t)+r(t)=1.

2)設(shè)易感染者人數(shù)隨時間而變化的變化率與當(dāng)時易感染者的人數(shù)和當(dāng)時染病者的人數(shù)之積成正比.

3)設(shè)易感染者類到病愈免疫的移出者類的變化速度與當(dāng)時已感染者類的人數(shù)成正比.

4)假設(shè)與患者有效接觸的易感染者均會被傳染.

5)假設(shè)已感染者治愈成功后獲得免疫能力, 不會被再次感染, 也不會成為傳染源.

其中β > 0為傳染率, γ > 0為也稱為移出率, 1/γ為傳染病的平均傳染期, ρ=γ/β為相對移出率.

引理[6-7]不論初始條件s0, i0如何, 病人終將消失, 即

3 甲型H1N1的SIR型模糊控制模型設(shè)計

甲型H1N1流感的爆發(fā)和蔓延以及近2年H7N9的傳播都給人們的生活帶來了很大影響, 在沒有較大程度影響人們的正常生活前提下, 政府面對疫情的傳播所采取的措施, 比如對已感染者及疑似感染者進行隔離的強度, 公共場所進行消毒的程度以及疫情信息的發(fā)布和防治知識公共宣傳力度等都具有一定的模糊性[8,9].而這些具有模糊性措施的實施反過來又會影響到傳染病傳播過程中一個重要的參數(shù)β的變化.因此本節(jié)設(shè)計一個雙輸入單輸出的模糊控制器來控制傳染病的傳播和蔓延.

3.1 參數(shù)的確定

以2009年我國爆發(fā)的甲型H1N1為例, 根據(jù)2009年7月1日～2009年8月14日政府公布的甲型H1N1統(tǒng)計數(shù)據(jù)[2], 基準(zhǔn)日7月1日已累計感染人數(shù)866人, 累計治愈人數(shù)554人.設(shè)社會人口總數(shù)為N, Ni(t)=t日累計感染人數(shù)- t日累計治愈人數(shù), Nr(t)= t日累計治愈人數(shù), 故初始條件i0=(866-554)/N=312/N, r0=554/N, s0=1-i0-r0.

在疫情的傳播和蔓延期間, 政府一直沒有找到一種有效的方法治療甲型H1N1, 故治愈率在短期內(nèi)不會有多大變化.

作最小平方誤差估計即可得到治愈率的估計值γ=0.1760.

根據(jù)模型假設(shè), 每個病人每天可使β(t)s(t)個健康者被感染[2], 因此,

2009年7月到9月, 我國甲流感的傳播處于爆發(fā)階段, 確診人數(shù)是呈指數(shù)增長的, 政府采取的控制措施較強,定期對公共場所進行消毒處理, 加強交通檢疫；在媒體上廣泛宣傳甲型H1N1的預(yù)防及防治知識；在有條件的醫(yī)院設(shè)立發(fā)熱門診, 對病人進行鑒別, 并確定定點醫(yī)院集中收治患者, 防止醫(yī)院內(nèi)感染；對發(fā)現(xiàn)確診病例的住所附近進行封鎖消毒以減少病毒的傳播范圍；對已確診患者與疑似病人進行隔離處理以減少交叉感染等.利用表1的數(shù)據(jù),采用上述公式可以計算出的一系列離散值.

3.2 模糊控制器的輸入、輸出變量

在傳染病傳播和蔓延的初期, 每天新增感染人數(shù)和累計感染人數(shù)都比較少, 則政府采取的控制措施就比較弱；在傳染病傳播的爆發(fā)階段, 每天新增的感染人數(shù)和已感染人數(shù)逐步增多, 則政府采取的控制措施也會逐步加強；在傳染病傳播的高潮階段, 每天新增的感染者人數(shù)和已感染者人數(shù)都很大, 政府采取的控制措施也最強[10,11].因此設(shè)模糊控制器的輸入為新增感染人數(shù)Δi(t)和已感染人數(shù)i(t).

政府采取的控制措施都是模糊變量, 他們決定了SIR型傳染病傳播動力學(xué)模型中的參數(shù)λ(其中λ=βs), 因此設(shè)參數(shù)λ為模糊控制器的輸出.

3.3 輸入、輸出的模糊化

圖1 輸入1隸屬度函數(shù)Fig.1 Input 1 membership function

圖2 輸入2隸屬度函數(shù)Fig.2 Input 2 membership function

圖3 輸出隸屬度函數(shù)Fig.3 Output membership function

3.4 模糊規(guī)則

模糊控制器的輸出取決于政府采取的控制措施, 而模糊控制器的輸入又決定了政府所采取的控制措施.根據(jù)實際經(jīng)驗, 建立如下規(guī)則庫:

表1 模糊控制器的規(guī)則庫Table 1 The rules of fuzzy controller

3.5 系統(tǒng)仿真

為驗證所設(shè)計的甲型H1N1模糊控制系統(tǒng)的有效性, 我們以7月1日為基準(zhǔn)的數(shù)據(jù)作為模糊控制系統(tǒng)的輸入,利用傳染病模型的動力學(xué)系統(tǒng)進行求解, 進而仿真出傳染病的傳播蔓延情況.

模糊控制系統(tǒng)的初始輸入Δi(t)=56, i(t)=866-554=312, 仿真步長為0.05s, 仿真結(jié)果如下圖, 其中, 圖4中的圓圈及圖5中的折線代表的是實際公布數(shù)據(jù).

圖4 累計感染人數(shù)與實際值對比圖Fig.4 Cumulative compared with the actual

圖5 每天新增感染人數(shù)與實際值對比圖 Fig.5 New infections compared with actual

從以上圖中可以看出, 隨著時間的增加, 累計感染人數(shù)及每天新增人數(shù)都比實際值偏小, 這說明所設(shè)計的模糊控制器的控制措施確實可以限制疫情的傳播和蔓延, 同時, 仿真結(jié)果與實際數(shù)據(jù)也具有較好的吻合性, 這表明本文所采用的參數(shù)和模糊控制模型都是正確可靠的.

3.6 治愈率的靈敏度分析

由傳染病的微分方程模型可知, 治愈率越高, 政府越能控制疫情的傳播和蔓延.在MATLAB中畫出治愈率分別為0.1760, 0.2, 0.3情況下, 累計確診人數(shù)對比圖, 仿真結(jié)果如下:

圖6 不同治愈率下累計感染者人數(shù)對比圖Fig.6 Contrast figure of different cure rate

分析圖6可知, 從7月1日到8月14日這段時間, 我國甲型H1N1的累計確診人數(shù)在逐步增長, 但不同的治愈率, 累計感染者人數(shù)的增長速度是不同的.治愈率越大, 累計感染者人數(shù)增長的越小.圖中, 治愈率為0.25時的增長比較平緩, 最緩慢, 治愈率為0.176時的增長最快.由此分析, 在傳染病的傳播和蔓延過程中, 一定要增加科研攻關(guān)上的投入, 以提高疾病治療的成功率, 進而控制疫情的擴大傳播和蔓延, 這也是政府需要采取的控制措施之一.

4 結(jié)論

近年來, 隨著環(huán)境的惡化, 人類一直在同傳染病做斗爭.通過建立傳染病的動力學(xué)模型及設(shè)計相應(yīng)的控制傳染病蔓延的系統(tǒng)一直是傳染病理論研究的熱點和重點[14,15].本文的特點是把模糊控制應(yīng)用到傳染病模型上,把具有模糊性的政府采取的控制措施, 比如對已感染者及疑似感染者進行隔離的強度, 公共場所的消毒程度以及疫情信息的發(fā)布力度等轉(zhuǎn)化為傳染病微分方程中的參數(shù)λ, 利用最小二乘法擬合出參數(shù)λ的一系列離散值, 建立了一個雙輸入單輸出的模糊控制器, 根據(jù)經(jīng)驗建立控制規(guī)則, 并對模型進行求解及仿真分析, 結(jié)果表明本文的工作具有一定的可行性.最后對自愈率進行靈敏度分析, 結(jié)果表明提高自愈率可以有效的控制感染者的增長速度, 進而有效控制傳染病的傳播和蔓延, 因此在傳染病傳播和蔓延的過程中, 政府一定要增加對科研上的投入力度.需要強調(diào)的是本文也只是對SIR型傳染病模型進行了初步的理論研究, 還有很多問題需要進一步的工作來完善.

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Fuzzy control research of SIR epidemic model

XU Yong, CAO Zhi-qing
(Department of Management, Chengdu University of Traditional Chinese Medicine, Chengdu 611137, P.R.C.)

First, based on SIR differential model for the spread of epidemic, this paper tries to convert the fuzziness of the government's control measures such as the strength of the information release and isolation to the value of parameter λ.It also designs a dual input and single output fuzzy controller, using data of H1N1 as an example to determine the parameters in the model, and at the same time carries on the simulation analysis. The simulation results show that the design of fuzzy control system has a certain reliability.The feasibility of the method is verified. Finally, the healing rate sensitivity analysis shows that to improve the success rate of treatment of disease can effectively control the spread of the epidemic and the spread of the expansion.

SIR epidemic model; fuzzy control; H1N1; sensitivity analysis

O159

A

1003-4271(2014)06-0916-05

10.3969/j.issn.1003-4271.2014.06.20

2014-07-04

徐永(1981-), 男, 漢族, 安徽懷遠人, 講師, 碩士.