董書曉 甘 淑

(昆明理工大學(xué)國土資源工程學(xué)院，昆明 650093)

GPS 高程是以WGS-84 橢球面為基準(zhǔn)面的大地高H，而我國的測量高程系統(tǒng)采用的是以(似)大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的正常高Hr，兩者間的差距即為高程異常ζ［1］:

由于WGS-84 橢球面與(似)大地水準(zhǔn)面之間數(shù)學(xué)關(guān)系復(fù)雜，致使高程異常值既不是常數(shù)，也難以用合適的函數(shù)式完全無誤地表達(dá)，導(dǎo)致GPS 高程在實(shí)際應(yīng)用中受到限制，特別是在地形復(fù)雜的山區(qū)。

GPS 高程轉(zhuǎn)換方法有二次曲面擬合法、多面函數(shù)擬合法、Shepard 擬合法、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、支持向量機(jī)等。不同的擬合方法有不同的特點(diǎn)，適應(yīng)性也不一樣，使得同一種模型在不同地形條件下的擬合效果也不完全相同。本文通過對常用的二次曲面模型、多面函數(shù)模型、Shepard 模型進(jìn)行分析，并根據(jù)各自的優(yōu)勢和局限性建立組合模型，通過對幾種模型的擬合精度進(jìn)行對比，評價(jià)其對不同地形的適應(yīng)性。

1 GPS 高程異常擬合的數(shù)學(xué)模型

1.1 二次曲面擬合法

設(shè)GPS 控制點(diǎn)有n 個(gè)，控制點(diǎn)坐標(biāo)xi、yi與高程異常值ζi(i=1，2，…，n)之間存在以下關(guān)系［2］:

式中，f(x，y)為ζ 的擬合值，εi為擬合誤差。當(dāng)采用二次函數(shù)為擬合函數(shù)時(shí):

式中，ai(i=1，2，…，5)為待定系數(shù)。于是有:

式中，

根據(jù)每個(gè)已知點(diǎn)的x、y 及ξ 值，可組成式(4)，在最小二乘法條件下，求解出唯一的一組參數(shù)A，進(jìn)而對同一范圍內(nèi)的待求點(diǎn)進(jìn)行高程異常擬合。

1.2 多面函數(shù)擬合法

多面函數(shù)擬合法的核心思想是:任何數(shù)學(xué)表面和不規(guī)則圓滑表面，總可用一系列規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的總和以任意精度逼近。其一般形式為［3］:

式中，aj是待定系數(shù)，Q(x，y，xj，yj)是多面函數(shù)的核函數(shù)。核函數(shù)有多種類型，為便于計(jì)算，一般采用具有對稱性的距離型，即

式中，δ 為平滑因子，μ 一般取1/2 或－1/2。當(dāng)μ=1/2 時(shí)，核函數(shù)稱為正雙曲面函數(shù);當(dāng)μ=－1/2 時(shí)，核函數(shù)為倒雙曲面函數(shù)。

若有m 個(gè)已知GPS 水準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)據(jù)，將這m 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)中的n 個(gè)作為核函數(shù)的中心點(diǎn)。令Qij=Q(xi，yi，xj，yj)，則各數(shù)據(jù)點(diǎn)應(yīng)滿足:

式中，i 為中心點(diǎn)個(gè)數(shù)，i=1，2，…，n，j 為GPS 水準(zhǔn)點(diǎn)個(gè)數(shù)，j=1，2，…，m。由此可列出誤差方程:

根據(jù)最小二乘法可得:

將其代入式(8)，即可得到測區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)的高程異常擬合值［4］。

1.3 Shepard 曲面擬合法

對于大量的離散數(shù)據(jù)，Shepard 提出局部逼近模型［5－7］。設(shè)有m 個(gè)已知點(diǎn)，坐標(biāo)為(xi，yi)，fi為已知點(diǎn)(xi，yi)處的高程異常值，Shepard 曲面可寫為如下形式:

式中，μ 為一大于1 的常數(shù)，ri表示各點(diǎn)間的距離，ri為各點(diǎn)關(guān)于距離的權(quán)函數(shù)。在其模型結(jié)構(gòu)中，將對擬合點(diǎn)高程異常值有重要影響的范圍設(shè)定為一個(gè)以擬合點(diǎn)為圓心、半徑為R 的圓，在擬合區(qū)內(nèi)分為兩個(gè)環(huán)帶［8］，則權(quán)函數(shù)ρ(r)可定義為:

搜索半徑R 的選取應(yīng)根據(jù)已知點(diǎn)密度及實(shí)際地形情況靈活調(diào)整。

2 基于“移去-恢復(fù)法”的組合模型

2.1 “移去-恢復(fù)法”原理

根據(jù)物理大地測量學(xué)，高程異常值可表示為［9］:

式中，ξGM為通過地球重力場模型計(jì)算出的長波分量;ξΔg為用斯托克斯積分公式得到的中波分量;ξT為地形起伏的影響，表示大地水準(zhǔn)面短波分量。在小區(qū)域GPS 網(wǎng)中，高程異常值的中長波分量基本不變，引起其變化的主要是地形起伏引起的短波分量。這一現(xiàn)象在地形起伏較大的高原山區(qū)尤為明顯。

“移去-恢復(fù)法”的原理實(shí)質(zhì)上是先擬合出高程異常值中長波分量部分并將其移去，再對其短波分量進(jìn)行擬合，然后將待定點(diǎn)上的長波分量進(jìn)行恢復(fù)，得到最終的擬合結(jié)果。

2.2 兩種組合模型的選擇

根據(jù)實(shí)驗(yàn)，二次曲面模型能對中長波項(xiàng)進(jìn)行較好擬合，而對短波項(xiàng)擬合效果不佳;多面函數(shù)模型雖對整體擬合效果不好，但對局部變化反應(yīng)敏感;Shepard 曲面擬合法只能對噪聲趨勢性信號擬合較好，而無法對整體變化平緩的中長波項(xiàng)進(jìn)行很好的擬合［10］。

根據(jù)以上分析，構(gòu)建兩種不同的組合模型。

1)在測區(qū)內(nèi)選取m 個(gè)GPS 水準(zhǔn)點(diǎn)作為二次曲面函數(shù)的已知點(diǎn)，并選擇n 個(gè)作為檢測點(diǎn)(待求點(diǎn))進(jìn)行擬合，求出各已知點(diǎn)的高程異常擬合值ξ0和待求點(diǎn)的擬合值ξ擬。

2)求出m 個(gè)GPS 水準(zhǔn)點(diǎn)上的擬合殘差:

3)將各點(diǎn)的殘差值ε0作為已知量，利用多面函數(shù)模型，求出各待求點(diǎn)殘差的擬合值，組成第一種組合模型，即“二次曲面+多面函數(shù)組合模型”。擬合的待求點(diǎn)高程異常值為:

4)將各點(diǎn)的殘差值ε0作為已知量，利用Shepard 模型求出各待求點(diǎn)殘差的擬合值ε2擬，組成第二種組合模型，即“二次曲面+ Shepard 曲面模型”。擬合的待求點(diǎn)高程異常值為:

3 實(shí)例分析

3.1 實(shí)例選取及數(shù)據(jù)處理方法

設(shè)計(jì)兩個(gè)具有代表性的工程實(shí)例，模擬基于平原地形和山區(qū)地形條件下最佳高程異常擬合模型的選取。

實(shí)例1:某市D級GPS 網(wǎng)，面積約為250 km2，區(qū)域內(nèi)地勢平坦，高程異常值變化很小，屬于平原地形。測區(qū)共布設(shè)40 個(gè)觀測點(diǎn)，并進(jìn)行三等水準(zhǔn)聯(lián)測。選用均勻分布于整個(gè)測區(qū)的10 個(gè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)，其余30 個(gè)點(diǎn)作為檢測點(diǎn)(待求點(diǎn))，用來檢驗(yàn)各種方法的擬合效果，如圖1。

實(shí)例2:云南某地區(qū)C級GPS 網(wǎng)共布設(shè)24 個(gè)GPS 水準(zhǔn)點(diǎn)，并進(jìn)行三等水準(zhǔn)測量。測區(qū)總面積約2 000 km2，地形起伏較大，高程異常值變化很大，屬于典型的高原山區(qū)地形。選擇均勻分布在測區(qū)內(nèi)的16 個(gè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)，其余8 個(gè)點(diǎn)作為檢測點(diǎn)(待求點(diǎn))，用來檢驗(yàn)各種方法的擬合效果，如圖2。

對上述兩組數(shù)據(jù)分別采用5 種模型進(jìn)行計(jì)算，并采用待求點(diǎn)的外符合精度m 對擬合方法進(jìn)行評價(jià):

式中，v 為檢測點(diǎn)的已知高程異常其擬合值之差，n為待求點(diǎn)個(gè)數(shù)。

圖1 平坦地區(qū)控制點(diǎn)位分布圖Fig.1 Distribution of control points in flat area

圖2 山區(qū)地形控制點(diǎn)位分布圖Fig.2 Distribution of control points in mountainous area

表1 平坦地區(qū)5 種擬合方法計(jì)算結(jié)果(單位:cm)Tab.1 The results calculated with five fitting methods in flat area(unit:cm)

3.2 平坦地形區(qū)域案例分析

表1 為平坦地形條件下5 種高程異常擬合方法得到的結(jié)果，圖3 為5 種模型的高程異常擬合殘差值曲線?？梢钥闯觯谠摐y區(qū)內(nèi)，就單一擬合模型來說，無論是擬合殘差分布的均勻性還是檢測點(diǎn)的中誤差，二次曲面法擬合精度最高，多面函數(shù)次之，Shepard 擬合法在R=10 km 時(shí)精度達(dá)到最好，但遠(yuǎn)低于前二者。而對于組合模型，兩種組合模型的擬合精度都略高于任何一種單一模型，但優(yōu)勢都不十分明顯。這是因?yàn)?，兩種組合模型都充分利用了二次曲面模型善于擬合高程異常中長波分量以及多面函數(shù)與Shepard 擬合法善于擬合高程異常中短波分量的特點(diǎn)，所以擬合效果稍好于單一模型。但因?yàn)槠皆貐^(qū)地形起伏變化較小，高程異常中短波分量變化量也較小，因此運(yùn)用組合模型的優(yōu)勢不是很明顯。

圖3 5 種模型對平坦地區(qū)擬合殘差圖Fig.3 Fitting residual plot with five models in flat area

3.3 復(fù)雜山地地形區(qū)域案例分析

表2 為山區(qū)地形條件下5 種擬合模型得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，圖4 為5 種高程異常擬合模型的高程異常擬合殘差值曲線?？梢钥闯?，就單一模型而言，3 種擬合模型的擬合精度都不是很好。其中，二次曲面擬合精度最差，多面函數(shù)次之，而Shepard 擬合法在R=30 km 時(shí)達(dá)到最好。和二次曲面模型及多面函數(shù)模型相比，Shepard 擬合法精度略好于二者。對于組合模型來說，兩種組合模型的擬合精度都要好于各自的單一模型，而且二次曲面+Shepard 組合法比二次曲面+多面函數(shù)組合法效果要好。這說明，在高程異常短波分量變化較大的山區(qū)，各種單一模型的局限性反映得愈加明顯。具體而言，對高程異常長波分量有較好擬合效果的二次曲面模型由于不能較好地反映短波分量的變化趨勢，所以擬合效果最差;對短波分量有明顯反映的多面函數(shù)和Shepard 擬合法有較好的擬合效果，但二者都無法較好地顧及高程異常的長波分量和短波分量，所以沒有組合模型的擬合效果好。

表2 山區(qū)地形中5 種擬合方法計(jì)算結(jié)果(單位:cm)Tab.2 The results calculated with five fitting methods in mountainous area(unit:cm)

圖4 5 種模型對山區(qū)地形擬合殘差圖Fig.4 Fitting residual plot with five kinds of models in mountainous area

4 結(jié) 論

1)二次曲面模型在平坦地區(qū)即便已知點(diǎn)較少也能達(dá)到很好的擬合精度，而多面函數(shù)模型及Shepard 模型雖然在平坦地區(qū)擬合精度不佳，但在山區(qū)地形中有較好的擬合效果。

2)在Shepard 模型中，其影響范圍R 不是一成不變的，在實(shí)際中應(yīng)根據(jù)測區(qū)地形和已知點(diǎn)密度而定。在平坦地區(qū)影響范圍稍小，而在山區(qū)地形中影響范圍要大。

3)兩種組合模型在兩種地形條件下都有較好的擬合效果，在山區(qū)地形中優(yōu)勢更明顯，二次曲面+Shepard 組合模型尤其適應(yīng)起伏變化的山區(qū)地形。

4)5 種擬合模型中，沒有一種能適用于所有地形條件，在應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)具體環(huán)境加以選擇。

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