周躍寅 潘國榮 郭 巍

(同濟大學測繪與地理信息學院，上海 200092)

1 引言

測量數(shù)據(jù)處理中，要獲得最優(yōu)的參數(shù)估計，除需要建立正確的數(shù)學模型外，合理的隨機模型也是不可或缺的。方差分量估計理論出現(xiàn)之前，人們通常采用根據(jù)觀測值的先驗精度定權方法來確定觀測值的方差協(xié)方差陣，進而建立其隨機模型，但實踐證明這種方法在很多情況下不夠精確。20世紀70年代之后逐漸出現(xiàn)了各種用驗后的方法估計各類觀測值的方差，并由此定權［1－13］。

在實際應用中，由于采集的數(shù)據(jù)量有限，利用各種方差分量估計的算法來推算觀測值方差都只能是近似的逼近，但多余觀測數(shù)越少，近似效果越差，甚至出現(xiàn)估計出的方差或協(xié)方差為負的情況。為解決這類問題，文獻［12］提出了在極大似然VCE 模型中附加協(xié)方差陣的非負定約束條件，文獻［13］提出了在最小二乘VCE 模型中附加協(xié)方差陣的非負定約束條件。文獻［14］將方差分量估計引入正則化解法中，用于解決線性反演中觀測權陣未知的情況。

本文將方差分量估計應用到高精度工業(yè)測量中，用以解決通過自由設站求解測站三維坐標問題，通過大量實驗數(shù)據(jù)總結了方差分量估計在工業(yè)測量自由設站解算中的應用規(guī)律，研究了多余觀測數(shù)的多寡對于方差分量估計對空間自由設站的影響。

2 方差分量估計

以間接平差為例，設L 為觀測值向量，其權陣為P，X 為待定參數(shù)，A 為觀測系數(shù)陣，則誤差方程

若觀測值可分為m 類，且觀測值之間相互獨立，則:

法方程為:

對應m 類觀測值:

其中，a=N－1N

其中，n1，n2，…，nm為各類觀測值的個數(shù)，為求得的各類觀測值的單位權方差。在方差分量估計解算中，第一次解算的各觀測值單位權方差并不相同，需要迭代運算，不斷重新定權:

3 工業(yè)測量空間自由設站

工業(yè)測量空間自由設站是通過測量儀器測量出測站點到n 個已知點的斜距、水平角和豎直角，來反求出測站點在已知坐標系統(tǒng)中的三維坐標。設要求解的測站點坐標為，各觀測的已知點坐標為(XiYiZi)T，i=1，2，…，n。三類誤差模型

利用式(12)的改正數(shù)，加上此次運算的各參數(shù)初值作為下次迭代的初值，不斷迭代至上述改正數(shù)小于某一足夠小的常量為止，則認為解算結束，返回求解的測站坐標及初始零方向方位角，同時利用式(5)求得此次各類觀測值的單位權中誤差。

4 實驗數(shù)據(jù)

4.1 取7 個已知點進行方差分量估計定權

以空間自由設站定測站坐標為例，使用跟蹤儀觀測了已知坐標系中的7 個點，同時獲取了7 個斜距觀測值、水平角觀測值和豎直角觀測值(表1)。

表1 已知坐標系的7 個三維坐標點(單位:m)Tab.1 7 Coordinate points in 3-dimention(unit:m)

如果給定測站點的坐標，可以精確地模擬解算出測站點到各已知點的斜距、水平角和豎直角，再加上各類觀測值應有的服從正態(tài)分布的誤差，即可模擬現(xiàn)實中的觀測量，假定給定的該坐標系下測站點坐標如表2。

表2 假定測站點精確坐標(單位:m)Tab.2 Accurate coordinate of assumed station(unit:m)

已知某跟蹤儀在10 m 內標稱的測距精度為15 μm，測角精度為0.5″，那么可以模擬出測距誤差Δsid～N(0，(15 μm)2)，水平角和豎直角在半測回的觀測誤差Δdir～N(0，(0.7″)2)，通過解算出的觀測值加上上述的誤差得到一組模擬觀測值如表3。

表3 模擬觀測值Tab.3 Simulated observation values

如果將原始觀測值中的斜距作為一類觀測值，水平角和豎直角歸為另一類觀測值，由式(5)估計出這兩個單位權方差分別表示為和，并不斷迭代至各單位權方差近似相等為止，單位權方差的迭代過程計算如表4。

表4 單位權方差迭代過程(單位:s2)Tab.4 Interative process of unit weight variance(unit:s2)

圖1(a)為1 000 次實驗中估計的測距中誤差，圖1(b)為1 000 次實驗中估計的測角中誤差，圖2為以測距中誤差作為x軸，測角中誤差作為y軸的1 000次實驗的散點圖，具體的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表5。

圖1 單位權中誤差統(tǒng)計圖Fig.1 Statistical graph of calculating unit weight mean error

這1 000 次解算出的測站坐標與平均值的偏差如圖3。

從圖3 可以看出各向偏差基本都在15 μm 以內。三個方向上的測站坐標標準中誤差如表6。

圖2 單位權中誤差散點圖Fig.2 Scatter diagram of calculating unit weight mean error

表5 1 000 次方差估計解算結果Tab.5 Calculated results of variance for 1000 experiments

表6 1 000 次解算測站坐標各向標準中誤差(單位:μm)Tab.6 Standard error of each direction in calculating station coordinate for 1 000 experiments(unit:μm)

4.2 選取4 個點進行方差分量估計定權

為了進一步驗證多余觀測量對于方差估計的影響，模擬僅僅觀測其中4 個點，以同樣的步驟進行1 000次實驗，得到的結果如圖4、圖5。

可以看到估計出的測距中誤差和測角中誤差的范圍都比7 個點的數(shù)據(jù)要大，對比圖5 和圖2，可以看出測距中誤差比測角中誤差更加離散，具體統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表7。

對比表5 和表6 可以看到方差分量估計出的測距中誤差和測角中誤差在多余觀測數(shù)少的情況下越發(fā)不穩(wěn)定，而且測距中誤差的不穩(wěn)定性更明顯，造成這個結果的主要原因是因為在工業(yè)測量自由設站中，測角的觀測值是測距觀測值的兩倍，相同觀測點的情況下測角的多余觀測值始終比測距的多余觀測值多，但是平均的測距中誤差和測角中誤差變化不是很大，比較接近設定的原始數(shù)據(jù)，而且平均的測站坐標都與原始給定的設計坐標在μm級上相同。同樣可以得到這1 000 次解算的測站坐標與平均值的偏差如圖6。

圖3 測站坐標偏差Fig.3 Deviation of station coordinate

表7 1 000 次方差估計解算結果Tab.7 Calculated results of variance with 1 000 experiments

由圖6 可知，測站坐標與平均值的各向偏差最大可達到90 μm，遠大于圖3 中7 個點解算的結果，此時三個方向上的測站坐標標準中誤差如表8。

圖4 單位權中誤差統(tǒng)計Fig.4 Statistical graph of calculating unit weight mean error

圖5 單位權中誤差散點圖Fig.5 Scatter diagram of calculating unit weight mean error

表8 測站坐標各向標準中誤差(單位:μm)Tab.8 Standard error of each direction in calculating station coordinate(unit:μm)

4.3 采用傳統(tǒng)先驗精度定權解算

在傳統(tǒng)解算中，一般使用的儀器先驗精度進行定權，但是如果儀器實際的測量精度與標稱精度并不吻合，就會造成在平差時的隨機模型不準確，為了對比研究其差異性，仍然使用含有相同誤差精度的原始觀測值，即Δsid～N(0，(15 μm)2)，Δdir～N(0，(0.7″)2)，使用同樣觀測的4 個已知點，而在定權時采取不同的先驗精度定權，比如以測距中誤差3 μm測角中誤差3.5″來進行定權，得到1 000 次解算的測站坐標與平均值的偏差如圖7。三個方向上的測站坐標標準中誤差如表9。

圖6 測站坐標偏差Fig.6 Deviation of station coordinate

表9 不準確先驗權解算測站坐標各向標準中誤差(單位:μm)Tab.9 Standard error of each direction station coordinate calculated with inaccurate prior weight(unit:μm)

雖然與之前的實驗數(shù)據(jù)對比，在1 000 次解算的測站坐標均值仍然在μm級別上同原始設計坐標相同，但顯然較表8 中解算的測站標準中誤差要大，即在特定的一次解算中測站坐標的可靠性要低。

圖7 不準確先驗權解算結果偏差Fig.7 Deviation of calculated station coordinate with inaccurate prior weight

5 結論

1)方差分量估計的結果在一次解算中會受到有限觀測數(shù)據(jù)的影響而具有隨機性，多余觀測數(shù)越少則估計的結果越離散，但估計的各類中誤差的期望一般比較穩(wěn)定;

2)在高精度工業(yè)測量自由設站中，將原始觀測值分成兩類的情況下，減少觀測的已知點個數(shù)，測邊中誤差受其影響的離散程度比測角中誤差大，由于測角的多余觀測比測邊的多，更進一步證實了多余觀測數(shù)越多，方差分量估計的結果越穩(wěn)定;

3)在高精度工業(yè)測量自由設站解算中，各類觀測值定權的準確與否嚴重影響著最終參數(shù)評定的可靠性;

4)采用方差分量估計定權在處理含有多類觀測值的平差問題時，估計的各觀測值精度與實際測量精度是吻合的，因而相比傳統(tǒng)的方法所采用的儀器標稱精度定權更合理。

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