宋駿琛，歐陽(yáng)慧珉，張廣明

（南京工業(yè)大學(xué)，江蘇南京 211816）

基于傳遞矩陣法的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)分析*

宋駿琛，歐陽(yáng)慧珉，張廣明

（南京工業(yè)大學(xué)，江蘇南京 211816）

轉(zhuǎn)子是磁懸浮軸承系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的核心部件，其性能與系統(tǒng)穩(wěn)定性及各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)緊密相連。提升轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)性能已成為當(dāng)務(wù)之急。以磁懸浮開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的磁軸承轉(zhuǎn)子為例，通過(guò)普勞爾傳遞矩陣法和MATLAB強(qiáng)大的繪圖功能分別就柔性、剛性兩種不同狀態(tài)下的支承，計(jì)算出了該軸系的固有頻率及臨界轉(zhuǎn)速，并得到了相應(yīng)的主振型圖。

磁懸浮軸承；傳遞矩陣；動(dòng)態(tài)性能；固有頻率；臨界轉(zhuǎn)速

0 引言

隨著工業(yè)技術(shù)的不斷飛躍，磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子技術(shù)以其無(wú)磨損、無(wú)接觸、轉(zhuǎn)速高等特點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于能源、航空等領(lǐng)域。轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)性能的分析與設(shè)計(jì)是直接決定整個(gè)系統(tǒng)性能的重要內(nèi)容之一，而磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)性能的好壞更直接關(guān)系到系統(tǒng)運(yùn)作的安全性能與工作效率。在磁軸承轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)的過(guò)程中，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速甚至超過(guò)了本身的臨界轉(zhuǎn)速而發(fā)生了共振的危險(xiǎn)，因此有效抑制其工作轉(zhuǎn)速超過(guò)臨界轉(zhuǎn)速的動(dòng)力學(xué)分析研究刻不容緩。

磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子的動(dòng)態(tài)特性通常包括臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算，振型圖的分析及如何動(dòng)平衡。傳遞矩陣法占據(jù)內(nèi)存少，編程通俗易懂，矩陣的階數(shù)不隨系統(tǒng)自由度的增大而增大，特別適用于轉(zhuǎn)子系列的鏈?zhǔn)较到y(tǒng)。本文使用普勞爾傳遞矩陣法對(duì)磁懸浮軸承開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，利用磁懸浮軸承剛度可調(diào)節(jié)的特點(diǎn)分別針對(duì)柔性支承，剛性支承的臨界轉(zhuǎn)速做出了分析，以達(dá)到最優(yōu)動(dòng)態(tài)特性的穩(wěn)定懸浮。

1 動(dòng)力學(xué)分析

1.1 模型的建立

磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)因其工作狀態(tài)下的高速運(yùn)轉(zhuǎn)而被視為質(zhì)量連續(xù)分布的彈性系統(tǒng)，具有無(wú)窮多個(gè)自由度，其支撐方式也視為彈性支撐。傳遞矩陣法通常將磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)離散為N個(gè)軸段，簡(jiǎn)化為具有若干集中質(zhì)量的多自由度系統(tǒng)[1]。該系統(tǒng)由帶彈性支承的多剛性薄圓盤(pán)和無(wú)質(zhì)量等截面的彈性軸段組成。以該磁懸浮軸承系統(tǒng)為例，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要包括飛輪、兩徑向磁懸浮軸承、主軸變頻電機(jī)及主軸本體。磁懸浮轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速通常狀態(tài)比一般轉(zhuǎn)軸快很多，應(yīng)對(duì)固有頻率進(jìn)行精細(xì)的計(jì)算，考慮到簡(jiǎn)化模型質(zhì)量塊越多結(jié)果越精細(xì)，故不妨簡(jiǎn)化為圖1所示多圓盤(pán)等截面軸段結(jié)構(gòu)示意圖。

圖1 多圓盤(pán)等截面軸段結(jié)構(gòu)示意圖

根據(jù)圖1所示結(jié)構(gòu)示意圖，再考慮到由于軸系的固有頻率（臨界轉(zhuǎn)速）和振型與磁軸承系統(tǒng)質(zhì)量分布有關(guān)，所以簡(jiǎn)化后的模型質(zhì)量，也就是圓盤(pán)的集質(zhì)量應(yīng)盡量與磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)量接近。圖2為磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡(jiǎn)化離散模型。本方法為沿著軸線將轉(zhuǎn)子離散為27個(gè)軸段，即有28個(gè)質(zhì)量單元。按質(zhì)心不變?cè)瓌t分配到軸段兩端截面上。

圖2 磁懸浮轉(zhuǎn)子簡(jiǎn)化模型

1.2 單元傳遞矩陣的建立

建立單元矩陣之前，需先對(duì)圓盤(pán)與軸段分別作受力分析，最后再通過(guò)兩者結(jié)合的組合構(gòu)件做出分析。

對(duì)于磁軸承轉(zhuǎn)子的第i個(gè)截面，設(shè)狀態(tài)向量為Zi，由徑向位移Yi，撓角αi，彎矩Mi及剪力Qi所組成[2]，滿足關(guān)系式Z=[Y,α,M,Q]T。任一軸段左右節(jié)點(diǎn)之間的狀態(tài)向量都存在一定的關(guān)系，即Zi+1=TiZi。為了便于分析計(jì)算，圓盤(pán)與軸段通常組合成一個(gè)統(tǒng)一構(gòu)件。由達(dá)朗貝爾原理可分別得出圓盤(pán)與軸段的傳遞矩陣。

圖3 圓盤(pán)軸段的組合件分析

帶彈性支撐有質(zhì)量的圓盤(pán)單元傳遞矩陣為：

無(wú)質(zhì)量等截面的彈性軸段傳遞矩陣為：

上兩者組合公式為T(mén)i=BiDi即為：

m為單元薄圓盤(pán)的集質(zhì)量，l為單元軸段的長(zhǎng)度，Jp、Jd分別為單元直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，單元極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，w為轉(zhuǎn)子角速度，K為支撐處剛度，這里v為考慮剪切影響的系數(shù)，a為截面系數(shù)，考慮到該磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為實(shí)心圓軸，故取a=0.886；A為截面積，EI為材料彈性模量與軸段截面矩之積。

1.3 固有頻率的計(jì)算

基于本文所建立的模型，加上磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)軸兩端均為自由端，可知狀態(tài)向量符合邊界條件：由軸段與圓盤(pán)組合建立的矩陣可知任一截面有Zn=Tn-1Tn-2...Z1，將Z1、Zn帶入上表達(dá)式可得出：

綜合（4）（5）可知任一截面均需要滿足邊界條件Mn=0，Qn=0，那么磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)同步正進(jìn)動(dòng)時(shí)的頻率方程式即為

此頻率方程式通常使用頻率掃描法來(lái)分析求解[3]，即按一定步長(zhǎng)選定試探頻率。通過(guò)矩陣連乘及剩余量的計(jì)算公式（6），便可求得對(duì)應(yīng)于上述各試算頻率的剩余量Δ(w2)。

如果相鄰兩試探頻率的剩余量異號(hào)，則說(shuō)明Δ(w2)和試探頻率的關(guān)系曲線和試探頻率為橫坐標(biāo)的w軸相交，那么必有一個(gè)頻率方程式的根，為轉(zhuǎn)子的各階臨界轉(zhuǎn)速。即為一個(gè)滿足邊界條件的ω值。用二分法仔細(xì)搜索就可以逐步逼近求出臨界轉(zhuǎn)速。采用上述方法計(jì)算臨界轉(zhuǎn)速可通過(guò)觀察Δ(w2)-w曲線來(lái)證明曲線的連續(xù)性，故只要選取合適的步長(zhǎng)，便可用頻率掃描法算出在指定頻率范圍內(nèi)的所以臨界轉(zhuǎn)速。

1.4 支撐剛度對(duì)磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速分析

徑向磁懸浮軸承的支承剛度對(duì)磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率的變化具有一定的影響，而磁懸浮軸承較普通軸承具有支承剛度可變的優(yōu)勢(shì)[4]。不同的徑向剛度的數(shù)值對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的各階臨界轉(zhuǎn)速也有不同的影響。這里分別對(duì)所設(shè)計(jì)的磁軸承系統(tǒng)柔性、剛性支承做出考慮。

1.4.1 柔性支承狀態(tài)下的固有頻率分析

使用MATLAB編程計(jì)算臨界轉(zhuǎn)速和振型圖，考慮到磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子工作狀態(tài)下的高速運(yùn)轉(zhuǎn)，飛輪直徑150 mm，軸長(zhǎng)為440 mm。使用本文開(kāi)頭所示離散方法劃分節(jié)點(diǎn)。取前后支承剛度為40 000 N/m，計(jì)算結(jié)果與振型如圖4所示。

圖4 基于柔性的磁懸浮軸承系統(tǒng)振型彎矩圖

表1 基于柔性支撐的前幾階固有頻率

如表1和圖4可知前兩階模態(tài)表現(xiàn)為剛性，2階彎曲發(fā)生微變，3階呈現(xiàn)彎曲模態(tài)振型，而磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)最高轉(zhuǎn)速已高于前兩階臨界轉(zhuǎn)速，故發(fā)生共振的幾率大。

1.4.2 剛性支承狀態(tài)下的固有頻率分析

采用與上述同樣的MATLAB編程，使用傳遞矩陣法，改變參數(shù)支撐剛度K的大小，設(shè)前后支承的徑向位移為0，前后剛度都為10e6 N/m，彎矩圖及表格見(jiàn)圖5和表2。

Analyzing Dynamic Characteristic of High Speed Motorized Spindle on Magnetic Bearing Rotor

SONG Jun-chen，OUYang Hui-min，ZHANG Guang-ming
（Nanjing Tech University，Nanjing211816，China）

With its high speed，high effiency，the magnetic bearings-rotor system has become the core of modern rotating machinery system，Taking the magnetic bearing rotor of the bearingless switched reluctance motor as an example，by using Prohl transfer matrix method and the drawing function of MATLAB，according to the rigid support and flexible support respectively,the free frequency and critical speed of the spindle system was got,and the relative main vibration model was found.

magnetic bearings-rotor；transfer matrix；dynamic characteristics；free frequency；critical speed

圖5 基于剛性的磁懸浮軸承系統(tǒng)振型彎矩圖

TH133.3

：A

：1009－9492(2014)11－0011－03

10.3969/j.issn.1009-9492.2014.11.003

*國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（編號(hào)：51277092）江蘇省基礎(chǔ)研究計(jì)劃（自然科學(xué)基金）資助項(xiàng)目(編號(hào)：BK20130938)

2014－05－09