劉亦萍,王瑋,薛超,沈言路

(上海第二工業(yè)大學電子與電氣工程學院,上海201209)

基于Matlab的高階暫態(tài)電路實例分析

劉亦萍,王瑋,薛超,沈言路

(上海第二工業(yè)大學電子與電氣工程學院,上海201209)

通過對復雜高階暫態(tài)電路實例進行分析,闡述了運算法及相量法的應用,并列出了電路一般方程。運用Matlab軟件完成了電路方程的計算、時域解的求解及輸出波形的繪制。

暫態(tài)電路;運算法;相量法;Matlab

0 引言

由于復雜電路的分析往往需要求解多元一次方程組或一元高次微分方程等,僅僅手算是難以完成的,而利用Matlab[1]軟件,通過編程讓計算機求解,可大大減少人的工作量,同時用Matlab編程繪制輸出波形,可直觀地觀察輸出的變化。本文通過對典型的高階暫態(tài)電路進行分析,探索出一條求解一元高次微分方程的方法,特別是利用節(jié)點電壓法[2]的運算法來求解更具實用價值。而對于交流穩(wěn)態(tài)解的求解,利用相量法,通過Matlab編程解決則很有效。

1 帶運算放大器暫態(tài)電路的分析

對于含儲能元件數(shù)大于等于2的高階暫態(tài)電路,電路微分方程的階將大于等于2。通過拉普拉斯變換[2],可將線性微分方程的求解轉(zhuǎn)換成復頻域的線性代數(shù)方程的求解,得到電壓、電流的復頻域解后,再求拉普拉斯反變換,得到電壓、電流的時域解,這就是運算法。把電路轉(zhuǎn)換成運算電路后,基爾霍夫電壓定律和基爾霍夫電流定律[3]依然成立,所以節(jié)點法也是適用的。帶復頻率s的節(jié)點電壓方程組屬于符號計算范圍,而Matlab提供了強大的符號計算功能,可進行符號矩陣或數(shù)組的加、減、乘、除、冪運算,還可進行多項式的部分分式的展開、求拉普拉斯反變換等運算。

下面實例是帶運算放大器的暫態(tài)電路[4],由運算放大器工作在線性區(qū)的兩個分析依據(jù),即: i+=i-=0,u+=u-,得到節(jié)點電壓方程組后用Matlab編程求解。

實例1當t＞0時,求輸出v。在圖1中, v(0)=2 V,vc(0)=2 V。

圖1 帶運算放大器的暫態(tài)電路Fig.1 The transient circuit with operational amplifer

解由運算放大器,i+=i-=0,u+=u-。

所以1/5 F電容兩端電壓為v。電路中有3個節(jié)點,只有2個節(jié)點電壓變量,用節(jié)點電壓法,列2個方程即可。圖2為運算電路圖。

圖2 圖1的運算電路圖Fig.2 The operation circuit diagram of Figure 1

由節(jié)點電壓法可得如下方程:

節(jié)點1

節(jié)點2

所以

令

則有AU=B。

利用Matlab編程,程序及運行結(jié)果如下。

(1)程序

A=sym(‘[2+s,-(1+s);-1,1+s/5]’)

B=sym(‘[2+6/s;2/5]’)

V=linsolve(A,B)

v=ilaplace(V(2))

(2)運行結(jié)果

v=6-4?exp(-t)?cos(2?t)+3?exp(-t)?sin(2?t)

即輸出電壓v=6-4e-tcos2t+3e-tsin2tV

(3)繪制輸出電壓曲線程序

clear

t=0:0.0001:30

v=6-4?exp(-t).?cos(2?t)+3?exp(-t).?sin(2?t)

plot(t,v)

yLabel(‘電壓(V)’)

xLabel(‘時間(s)’)

程序運行后得曲線如圖3所示。

圖3 圖1的輸出電壓曲線Fig.3 Output voltage curve of Figure 1

由輸出電壓曲線可看出,當t→∞時,v=6 V,即輸出電壓等于輸入電壓,相當于電壓跟隨器。

2 帶受控源的暫態(tài)電路的分析

對于含受控源的電路,受控源可按獨立電源處理,但要把控制量考慮進去。

實例2如圖4所示電路是線性定常的。已知v1(0)=γ,i(0)=ρ,試求v2。設v0(t)=u(t)cos(t), R1=R2=1 ?,L=2 H,C=2 F,gm=0.5 S, γ=-2 V,ρ=1 A。

解利用運算法,該電路的運算電路圖如圖5。

圖4 有受控源及加正弦激勵的暫態(tài)電路Fig.4 The transient circuit with controlled source and sine drive signal

圖5 圖4的運算電路圖Fig.5 The operation circuit diagram of Figure 4

可以看到,該電路有3個節(jié)點,3個網(wǎng)孔,用節(jié)點法列2個方程即可,而用網(wǎng)孔法則須列3個方程,故用節(jié)點法分析[5]。取3號節(jié)點為參考節(jié)點,節(jié)點電壓有V1(s),V2(s)。列節(jié)點電壓方程:

整理后得

用矩陣表示,設則AV=B。

(1)程序1

A=sym(‘[1+2?s+1/(2?s),-1/(2?s);1/2-1/(2?s),1+1/(2?s)]’)

B=sym(‘[1/(1+s︵2)-4-1/s;1/s]’)

V=AB

結(jié)果

(2)程序2

用部分分式展開[6],求拉普拉斯反變換。

a=[8 8 13 8 5]

b=[16-2 14 0]

[r,p,k]=residue(b,a)

m=abs(r),q=angle(r)?180/pi

結(jié)果

v2=0.331cos(t+114.444o)+ 2.5754e-0.5tcos(0.6124t+33.9233o)V

(3)程序3

繪制輸出電壓曲線[6]。

clear

t=0:0.0001:30

v2=0.331?cos(t+114.444?pi/180)+2.5754?exp(-0.5?t).?cos(0.6124?t+33.9233?pi/180)

plot(t,v2)

yLabel(‘電壓(V)’)

xLabel(‘時間(s)’)

程序運行后即得輸出電壓曲線如圖6所示。

圖6 圖4中v2輸出電壓曲線Fig.6 v2output voltage curve in Figure 4

從v2輸出曲線可看出,由于加的是正弦激勵,電路處于穩(wěn)態(tài)后仍然得到正弦輸出。

3 四階暫態(tài)電路的分析

下面實例3是四階暫態(tài)電路[7]。對于換路時處于正弦穩(wěn)態(tài)的電路[8],可先求出正弦穩(wěn)態(tài)解,再算出儲能元件的初始值,最后由運算電路求暫態(tài)解。

實例3圖7為線性定常網(wǎng)絡。開關(guān)S在位置1已有充分長的時間,使得電路處于正弦穩(wěn)態(tài)。在t=0的瞬間,開關(guān)擲向位置2。求i1(t),i2(t),i3(t)。

圖7 實例3電路Fig.7 The circuit of case three

解從電路圖看出,該電路有4個節(jié)點,3個網(wǎng)孔,用節(jié)點法可列3個方程,而用網(wǎng)孔法也是列3個方程,工作量相同,故兩種方法均可。下面用節(jié)點法分析。

(1)求t＜0時i1(t),i2(t),i3(t)的穩(wěn)態(tài)解及儲能元件的初始值。

用相量法,如圖8所示,以節(jié)點4為參考節(jié)點。

圖8 t＜0時圖7交流穩(wěn)態(tài)電路Fig.8 The AC steady-state circuit of Figure 7 when t＜0

求˙IL1,˙IL2,˙VC1,˙VC2。再求當t=0-時, iL1(t),iL2(t),vC1(t),vC2(t)的值。

①程序

a=[1+2?j+1/(2?j),-1/(j?2),-2?j;-1/(j?2),j?2+1/(2?j)+1,-1;-j?2,-1,1+1/(2?j)+j?2]

b=[2;0;0]

V=a

I=[2-V(1);V(2)-V(3);V(3)/(j?2)]

In=abs(I),Ia=angle(I)?180/pi

Y=[(V(1)-V(2))/(j?2);V(3)/(j?2);V(1)-V(3);V(2)]

Ym=abs(Y),Ya=angle(Y)

i1=Ym(1)?cos(Ya(1))

i2=Ym(2)?cos(Ya(2))

u1=Ym(3)?cos(Ya(3))

u2=Ym(4)?cos(Ya(4))

②結(jié)果

i1=cos(2t)A

i2=cos(2t-126.8699?)A

i3=cos(2t-63.4349?)A

iL1(0-)=iL2(0-)=0.2 A

vC1(0-)=vC2(0-)=0.2 V

由換路定則,有

iL1(0+)=iL2(0+)=0.2 A

vC1(0+)=vC2(0+)=0.2 V

(2)求t＞0時i1(t),i2(t),i3(t)的暫態(tài)解。用運算法求解[9],運算電路如圖9所示。

圖9 實例3運算電路圖Fig.9 The operation circuit diagram of case three

由節(jié)點法,以節(jié)點4為參考節(jié)點,先求V1(s), V2(s),V3(s),再求I1,I2,I3,最后求拉普拉斯反變換后得到時域解i1,i2,i3。

節(jié)點1

節(jié)點2

節(jié)點3

①程序

symst V I i s;

a=sym(‘[1+s+1/s,-1/s,-s;-1/s,s+1/s+ 1,-1;-s,-1,1+1/s+s]’)

b=sym(‘[2/s+0.2-0.2/s;0.2+0.2/s;-0.2/s-0.2]’)

V=a

I=[2/s-V(1);V(2)-V(3);(V(3)+0.2)/s]

i=ilaplace(I)

②結(jié)果當

t＞0時,有

(3)繪制曲線程序

clear;clf

t=0:0.0001:8

i1=1

i2=-1.6?exp(-t)+1

i3=-0.8.?exp(-t)+1

plot(t,i1,‘r’,t,i2,‘b’,t,i3,‘k’)

axis([0,8,-0.8,1.2])

yLabel(‘電流(A)’)

xLabel(‘時間(s)’)

得輸出曲線如圖10所示。

圖10 圖7輸出曲線(i1,i2,i3)Fig.10 The output curves(i1,i2,i3)in Figure 7

因為t＞0后加入的激勵是直流電壓,從輸出曲線可看出,i1比較特殊,未受儲能元件的影響,是一直流量,而i2、i3穩(wěn)態(tài)后亦是直流量。

4 結(jié)語

對于二階及二階以上的高階暫態(tài)電路,采用在復頻域中的運算法比較方便,避免了求解高次微分方程;若電路節(jié)點數(shù)較少,則用節(jié)點法求解比較方便。利用Matlab的復數(shù)、矩陣、符號計算功能,可很方便地計算出電壓或電流的象函數(shù),對其求拉普拉斯反變換后即可得時域解,還可用Matlab的繪圖功能繪出仿真波形。

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[2]邱關(guān)源,羅先覺.電路[M].北京:高等教育出版社,2006.

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[9]DAVID I J,MARK N R.Engineering circuit analysis[M]. Hoboken:Wiley,John Wiley,2011.

Analysis of Several Higher-Order Transient Circuits Based on Matlab

LIU Yi-ping,WANG Wei,XUE Chao,SHEN Yan-lu
(School of Electronic and Electric Engineering,Shanghai Second Polytechnic University, Shanghai 201209,P.R.China)

The several complex higher-order transient circuits are analyzed.The application of operation method and phasor method is explained.And also,the processes of getting general circuit equations are showed.Finally,Matlab software is used to complete the calculation of the circuit equations,get time-domain solution and draw the output waveform.

transient circuit;operation method;phasor method;Matlab

TM131.2

:A

1001-4543(2014)01-0055-06

2013-09-11;

2014-03-11

劉亦萍(1965–),女,江西人,工程師、講師,碩士,主要研究方向為電路理論及微機應用,電子郵箱ypliu@sspu.edu.cn。

上海第二工業(yè)大學科研基金項目(No.EGD13XQD20)、上海第二工業(yè)大學大學生科技項目(No.2013-xjkj-018)資助