唐方旭

(天津財(cái)經(jīng)大學(xué)珠江學(xué)院基礎(chǔ)課部，天津，301811)

一、引言

定積分起源于求圖形的面積和體積等實(shí)際問(wèn)題。古希臘的阿基米德用“窮竭法”，我國(guó)的劉徽用“割圓術(shù)”，都曾計(jì)算過(guò)一些幾何體的面積和體積，這些均為定積分的雛形。直到17世紀(jì)中葉，牛頓和萊布尼茨先后提出了定積分的概念，并發(fā)現(xiàn)了積分與微分之間的內(nèi)在聯(lián)系，給出了計(jì)算定積分的一般方法，方使定積分成為解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的有力工具，并使各自獨(dú)立的微分學(xué)與積分學(xué)聯(lián)系起來(lái)，構(gòu)成完整的理論體系——微積分學(xué)。

二、定積分的定義

定義1[1]設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，用(a,b)內(nèi)的n-1個(gè)分點(diǎn)

a=x0

故Dirichlet函數(shù)在[0，1]上不可積。

例3 何時(shí)有λ→0?n→∞?

利用此公式可以計(jì)算一類極限問(wèn)題。

定義2[2]設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，將[a,b]區(qū)間進(jìn)行n等分

三、定積分定義的應(yīng)用

利用定積分定義求解一類極限問(wèn)題。

理論依據(jù)：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上可積分，則

實(shí)例分析：

分析：將這類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限。若對(duì)題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對(duì)區(qū)間[0，1]n等分寫出積分和，再與所求極限相比較來(lái)找出被積函數(shù)與積分上下限。

例4[4]極限

=________

例5 求極限

四、小結(jié)

[1] 盧興江，金蒙偉.微積分[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2012.

[2] 柳潔冰，張宏亮.關(guān)于定積分定義及可積條件的討論[J].科教文匯：上旬刊，2011(3).

[3] 陳仲.高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽題解析教程[M].南京：東南大學(xué)出版社，2010.

[4] 田勇.碩士研究生入學(xué)考試歷年真題解析：理工數(shù)學(xué)二[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2002.

[5] 張瑜.21世紀(jì)高職高專課程改革新教材：高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程[M].蘇州：蘇州大學(xué)出版社，2009.