劉紅周, 吳 清, 崔 立, 周 斐, 葛一敏, 謝能達(dá)

(華東理工大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院， 上海 200237)

0 引 言

常見的濾波器類型有巴特沃斯濾波器和切比雪夫響應(yīng)濾波器等[1-2]。這些濾波器各有特點(diǎn)和優(yōu)缺點(diǎn)，如巴特沃斯濾波器輸出在通帶很平緩，但當(dāng)階數(shù)低時(shí)，幅頻特性輸出曲線在通帶下降過早[3]。再如Ⅰ型切比雪夫?yàn)V波器輸出阻帶下降快，但在通帶有波紋[3-5]。實(shí)際中根據(jù)需要選擇不同性能的濾波器。本文以二階壓控電路為基礎(chǔ)進(jìn)行濾波器的改進(jìn)設(shè)計(jì)。

1 互補(bǔ)型濾波器的原理

1.1 二階壓控電路

本文設(shè)計(jì)的濾波器是以二階壓控電路為基礎(chǔ)，電路原理參見圖1[6]。它由兩節(jié)RC電路串聯(lián)(R1C1和R2C2)和一節(jié)放大電路(R3R4)組成，其中同相放大環(huán)節(jié)的放大倍數(shù)即為濾波器的通帶增益AF，即：AF=1+R4/R3[7]。由圖1：當(dāng)R1=R2=R，C1=C2=C時(shí)，根據(jù)基爾霍夫定律可以推導(dǎo)出濾波器歸一化的傳遞函數(shù)[6,8]為：

H(s)=AF/[s2+(3-AF)s+1]

其中，s=j(ω/ω0)[6]。

圖1 二階壓控電路原理圖

1.2 二階壓控濾波器的傳輸特性分析

由歸一化傳遞函數(shù)H(s)可以推導(dǎo)出該系統(tǒng)的幅頻輸出函數(shù)為：

A(x)=|H(s)|/AF=

式中：x=ω/ω0,x是無量綱頻率或歸一化頻率[5]，ω0為截止角頻率。為使系統(tǒng)穩(wěn)定，通帶增益AF必須小于3,所以1≤AF<3,暫定AF=2。繪出濾波器的幅頻特性曲線，如圖2所示。由圖可以看出,在通頻帶，輸出曲線并不平滑，而是有一凸峰,這樣的濾波效果并不理想，會引起通頻帶信號的失真。在通頻帶，理想的情況是A(x)=1，當(dāng)A(x)>1時(shí)，過盈失真；A(x)<1時(shí)，則產(chǎn)生不足失真。圖3為通過改變增益AF觀察到的曲線的變化趨勢,圖中各曲線對應(yīng)AF的系列值分別為：1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 2.2。從圖3可看出，當(dāng)AF≈1.6，輸出曲線通帶最平滑，但AF=0.5ω0A(x)快速下降，產(chǎn)生不足失真;當(dāng)AF>1.6時(shí)，A(x)開始出現(xiàn)過盈失真并隨AF增大而增大；AF<1.6時(shí),則出現(xiàn)嚴(yán)重的不足失真。以上兩種情況中，過大的過盈失真和不足失真都會使原始信號在通頻帶產(chǎn)生較大失真，這不是我們希望的。但如果轉(zhuǎn)化思路，將這兩缺陷結(jié)合起來，讓它們形成互補(bǔ)，是否可以得到效果更好的濾波器呢？

圖2 二階壓控輸出幅頻特性曲線 圖3 二階壓控輸出隨 AF變化曲線

1.3 互補(bǔ)型四階壓控濾波器

本文構(gòu)造一個(gè)四階壓控濾波系統(tǒng)，如圖4所示。圖中，最后一個(gè)同相增益環(huán)節(jié)1/(AF1AF2)是為了平衡前兩個(gè)環(huán)節(jié)的增益系數(shù)AF1和AF2。寫出它的歸一化傳遞函數(shù)為：

圖4 四階壓控濾波系統(tǒng)原理圖

H(s)=[(s2+(3-AF1)s+1)×

(s2+(3-AF2)s+1)]-1

A(x)={[(1-x2)2+(3-AF1)2x2]×

[(1-x2)2+(3-AF2)2x2]}-1

AF1和AF2分別有一系列的取值，對應(yīng)著不同的輸出幅頻特性。經(jīng)過試驗(yàn)，AF1=1,AF2=2.4是一組便于計(jì)算且效果較好的取值組合。此時(shí)，A(x)-x的圖像如圖5所示。

圖5 濾波器幅頻特性輸出圖

1.4 四階互補(bǔ)壓控濾波器性能(優(yōu)缺點(diǎn)分析)

在A(x)表達(dá)式中，令A(yù)(x)=0.707,解得x=1.07,所以濾波器的截止頻率不是ω0而是ωf=1.07ω0,比ω0稍大。由A(x)圖像看出，通帶中存在波紋，這點(diǎn)是該濾波器的缺陷。當(dāng)AF1=1,AF2=2.4時(shí)，波紋較小，最大波紋處：A(x)max=1.02，即通帶有2%的波紋。而它的優(yōu)點(diǎn)，可以將它與四階巴特沃斯濾波器和四階切比雪夫?yàn)V波器作對比來說明，具體如下：

(1) 與巴特沃斯濾波器對比。巴特沃斯低通響應(yīng)是最平坦的響應(yīng)[5]，它能夠最大化濾波器的通帶平坦度[3],然后慢慢衰減，這是它的優(yōu)點(diǎn)。但巴特沃斯濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率處，幅度下降很多[2]，即通帶衰減的過早，這是它的缺陷。四階巴特沃斯傳遞函數(shù)[9-11]為：

繪出它與本文濾波器的幅頻輸出對比，見圖6?？梢钥闯?，同是四階濾波器，本文濾波器的衰減比巴特沃斯濾波器的晚。為了更準(zhǔn)確地對比描述，考慮到兩種濾波器在阻帶的性能基本相同，著重分析通帶的情況，見圖6(b)。假設(shè)在通帶可以接受的最大波動程度是±2%，那在圖中，縱坐標(biāo)0.98就是函數(shù)下降的臨界值，低于它就可以看做不足失真；與其對應(yīng)的橫坐標(biāo)為x0，0～x0稱為復(fù)現(xiàn)帶寬。從圖6(b)可以看出，巴特沃斯濾波器的復(fù)現(xiàn)帶寬大小為0.68，四階互補(bǔ)型濾波器為0.88，可見四階互補(bǔ)相比于四階巴特沃斯在通帶復(fù)現(xiàn)帶寬上有所提升，而且衰減得慢。另外,也可以看出，在x取值大于0.68的區(qū)間內(nèi)，A(x)|互補(bǔ)>A(x)|巴特活斯，即互補(bǔ)型濾波器比巴特沃斯濾波器在通帶的信號失真要少。

(a) 對比圖

(b) 通帶放大圖

(2) 與切比雪夫?yàn)V波器對比。切比雪夫?yàn)V波器也是一種常用的濾波器，它的特點(diǎn)是在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但在通頻帶內(nèi)存在幅度波動，幅頻特性不如后者平坦[5]。所以它的缺陷和本文的互補(bǔ)型濾波器是一樣的。第一類切比雪夫?yàn)V波器的平方幅頻響應(yīng)表達(dá)式[5,14]為：

N=4時(shí)的切比雪夫多項(xiàng)式:

T4(Ω)=8x4-8x2+1

將四階切比雪夫?yàn)V波器和本文四階互補(bǔ)濾波器幅頻輸出作對比，如圖7所示。

圖中的切比雪夫?yàn)V波器的通帶波紋也為2%(ε=0.2)。從圖中可以看出，同為四階，互補(bǔ)型濾波器相比切比雪夫?yàn)V波器在濾波性能上大致相同。但本文互補(bǔ)型濾波器在原理及電路結(jié)構(gòu)上比較簡單，所以設(shè)計(jì)起來比較方便。

1.5 濾波器參數(shù)的選擇

由圖1可知，二階壓控電路的參數(shù)主要有兩級RC電路中的R1、R2和C1、C2與放大電路的R3和R4。其中，為了方便設(shè)計(jì)和計(jì)算，取R1=R2=R，C1=C2=C，具體值可由截止角頻率公式ωf=1.07ω0和ω0=1/RC確定。需要注意的是，所取電容值不宜過小，否則容易受雜散電容影響導(dǎo)致電路工作不穩(wěn)定[6]。而R3和R4則跟通帶增益AF有關(guān)，可根據(jù)AF=1+R4/R3來確定。如圖8中所示，濾波器由兩級二階壓控電路組成，一級電路中，假設(shè)截止頻率f0=1.07 Hz，可求出R1=R2=16 kΩ,C1=C2=10 μF。兩級電路中參數(shù)的不同之處就在通帶增益AF上，其他參數(shù)均相同。所以R3=R4=R1=R2,C3=C4=C1=C2。AF1=1,AF2=2.4時(shí)效果最好，此時(shí)對于波紋為2%。所以一級放大電路不需要電阻；二級電路放大環(huán)節(jié)中，R6=10 kΩ,R7=14 kΩ,AF2=1+R7/R6=2.4。最后，再加一級比例縮小電路R8和R9，來平衡前兩個(gè)環(huán)節(jié)的增益系數(shù)AF1和AF2。

圖7 四階互補(bǔ)與切比雪夫?yàn)V波器輸出對比

2 電路實(shí)現(xiàn)與仿真

為了驗(yàn)證濾波器的可行性，在仿真軟件Multisim中做了仿真，如圖8所示。

運(yùn)放選用LM358。參數(shù)選擇：R1=R2=R3=R4=16 kΩ,C1=C2=C3=C4=10 μF。截止頻率f0=1.07/2πRC=1.07 Hz。一級二階壓控電路放大倍數(shù)AF1=1，二級電路AF2=1+R9/R5=2.4。采集信號從Input輸入，濾波信號從Output輸出。實(shí)驗(yàn)源數(shù)據(jù)采集自齒輪箱轉(zhuǎn)動的軸心位移數(shù)據(jù)，仿真結(jié)果如圖9所示?？梢钥闯?，該電路是有很好地濾波效果的。

圖8 四階互補(bǔ)濾波器實(shí)現(xiàn)電路

(a) 源數(shù)據(jù)

(b) 濾波輸出

圖9 濾波結(jié)果對比圖

3 結(jié) 語

本文改進(jìn)設(shè)計(jì)了一種新型四階互補(bǔ)型濾波器。相比同樣階數(shù)的其他濾波器如巴特沃斯，通帶復(fù)現(xiàn)帶寬提升了14%(波紋2%的情況下)，與同階數(shù)切比雪夫?yàn)V波器的性能大致相同，但原理及電路結(jié)構(gòu)較切比雪夫?yàn)V波器簡單[15]。因此它具有通道內(nèi)復(fù)現(xiàn)帶寬大、輸出衰減延遲、通帶信號衰減較少、原理簡單、設(shè)計(jì)簡便的優(yōu)點(diǎn)?？紤]到通帶的紋波，此方法適用于允許通帶輸出有小幅波動的情況中。本文濾波器電路設(shè)計(jì)簡單、方便，設(shè)計(jì)時(shí)兩通帶增益取AF1=1,AF2=2.4，只要根據(jù)截止頻率計(jì)算出R和C即可完成設(shè)計(jì)，實(shí)際中有一定的參考價(jià)值。

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