張申貴，李 琰

(1 西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州，730030；2 蘭州市第八中學(xué))

哈密頓系統(tǒng)所描述的運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)中最簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng),天體的周期軌道就對(duì)應(yīng)于非線性哈密頓系統(tǒng)的同宿軌。哈密頓系統(tǒng)周期解和同宿軌一直是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家所關(guān)心的重要課題。考慮二階哈密頓系統(tǒng)

(1)

當(dāng)B≡0時(shí),一些學(xué)者開始利用臨界點(diǎn)理論對(duì)系統(tǒng)(1)的同宿軌進(jìn)行研究[1～8], 得到了一些同宿軌存在的結(jié)果,如次線性條件[1],次二次條件[2],超線性條件[3～5],變號(hào)位勢(shì)[6]，漸進(jìn)線性[7，8]等。

當(dāng)B不恒等于0時(shí),文獻(xiàn)[9]在超線性條件研究了系統(tǒng)(1)同宿軌的存在性。

當(dāng)B不恒等于0時(shí),具有線性增長(zhǎng)非線性項(xiàng)時(shí),本研究將分析系統(tǒng)(1)無(wú)窮多同宿軌的存在性。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

記H為H1(R,RN)為Hilbert空間，定義算子J:H→H為Ju,v

λ1≤λ2≤…≤λk≤…,當(dāng)k→+∞時(shí),λk→+∞。

對(duì)應(yīng)的特征函數(shù){ek}k∈N，即Aek=λkek。記E=E-⊕E0⊕E+, 其中E0為零特征值對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)組成，E-為負(fù)特征值對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)組成，E+=(E0⊕E-)⊥。

對(duì)?u∈E,有u=u-+u0+u+，其中u-∈E-,u0∈E0,u+∈E+,

假設(shè)L(t)滿足以下條件：

(L1)存在常數(shù)β>1使得meas{t∈R:|t|-βL(t)0。

在條件(L1)和(L2)之下，空間E緊嵌入Lp(R,RN),p≥1,從而

‖u‖Lp≤C‖u‖

(2)

在E上定義泛函：

則u∈E為φ的臨界點(diǎn)等于u是系統(tǒng)(1)的同宿軌[6]。

引理1[7]：設(shè)E為無(wú)窮維Banach空間,φ∈C1(E,R)為偶泛函且滿足(PS)條件,φ(0)=0。若E=E1⊕E2,其中E1為有限維空間。泛函φ滿足以下2個(gè)條件:

(i)φ在E2中上方有界。

其中，Bρ={x∈E;‖x‖≤ρ},則泛函φ有無(wú)窮多個(gè)非平凡臨界點(diǎn)。

2 主要結(jié)果及其證明

2.1 主要結(jié)果

定理1設(shè)存在常數(shù)M1>0,使得

|Wu(t,u)|≤M1(|u|+1)

(3)

2M1C2<1

(4)

對(duì)?(t,u)∈R×RN成立。且

(5)

對(duì)?(t,u)∈R×RN成立。及

(6)

對(duì)t∈R一致成立。若W(t,0)≡0,W(t,-u)=W(t,u),則系統(tǒng)(1)有無(wú)窮多個(gè)同宿軌。

例如令W(t,x)=|x|2+|x|，則非線性項(xiàng)W(t,x)是關(guān)于變量x線性增長(zhǎng)的，W(t,x)滿足定理1中條件，但不滿足文獻(xiàn)[1～9]中定理的條件。

2.2 結(jié)果證明

證明通過(guò)驗(yàn)證泛函φ滿足引理1的所有條件，則φ有無(wú)窮多個(gè)臨界點(diǎn)，從而系統(tǒng)(1)有無(wú)窮多個(gè)同宿軌。以下用c表示常數(shù)。

第1步 驗(yàn)證泛函φ滿足(PS)條件.設(shè){uj}為(PS)序列， 則

|φ(uj)|≤c,φ′(uj)→0,(j→∞)

(7)

由(2)式、(3)式、H?lder不等式，有

(8)

由(7)式、(8)式，有

‖uj‖≥φ′(uj),≥‖‖2-R(Wu(t,uj),)dt≥‖‖2-(M1C2‖uj‖‖‖+M1C‖‖)，

由上式推得：

(9)

同理可證：

(10)

反設(shè)當(dāng)j→∞時(shí)‖uj‖→∞，即{uj}在E中無(wú)界。

由(9)式、(10)式，并注意到2M1C2<1,當(dāng)n→∞時(shí)，故有

(11)

由(11)式，?ε>0，當(dāng)1-2M1C2-ε>0，有

(12)

由(9)式、(10)式，有

(13)

由(2)式、(3)式、H?lder不等式、(13)式有

(14)

(15)

由(13)式、(14)式、(15)式有

第2步 證明泛函φ在E+中是上方有界的。

由(2)式、(3)式, 對(duì)u+∈E+有

注意到2M1C2<1,當(dāng)‖u‖→∞時(shí),φ(u)→-∞,從而泛函φ滿足引理1中條件(i)。

‖u‖∞≤C0‖u‖

(16)

(17)

W(t,u)≥C2|u|2

(18)

對(duì)|u|≤M2和t∈R成立。由(16)式、(17)式和(18)式,有

至此, 引理1所有條件均滿足,則φ有無(wú)窮多個(gè)臨界點(diǎn)，問(wèn)題(1)有無(wú)窮多個(gè)同宿軌。

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