沈禮偉，莊海洋，陳 磊，李 浩

（1.南京工業(yè)大學(xué) 巖土工程研究所，南京 210009；2.江蘇省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)院股份有限公司，南京 210005）

1 引 言

我國(guó)城市軌道交通發(fā)展之快，規(guī)模之大，是世界罕見(jiàn)的，但在軌道交通建設(shè)與運(yùn)營(yíng)過(guò)程中存在著較多的重大工程技術(shù)問(wèn)題，工程實(shí)踐先于理論的矛盾十分突出，其中列車(chē)運(yùn)行引起的路基長(zhǎng)期沉降問(wèn)題就是這些重大工程技術(shù)難題之一。根據(jù)我國(guó)軌道交通的中長(zhǎng)期規(guī)劃，越來(lái)越多的軌道交通線會(huì)建造在深厚的新近沉積松散砂土、飽和軟黏土等松軟地基上，在軌道交通運(yùn)行振動(dòng)引起的往返荷載作用下地基振動(dòng)孔隙水壓力上升，塑性變形累積，很可能產(chǎn)生很大的長(zhǎng)期附加沉降。

目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)各類(lèi)土在交通荷載下的長(zhǎng)期附加沉降進(jìn)行了研究，砂土的研究方法通常有3 種，第一種是通過(guò)室內(nèi)試驗(yàn)，對(duì)重塑土樣進(jìn)行模擬交通荷載作用的循環(huán)三軸試驗(yàn)，研究土在長(zhǎng)期循環(huán)荷載作用下的動(dòng)力學(xué)特性[1-2]；第二種是建立本構(gòu)模型，借助有限元分析軟件模擬交通荷載研究土的長(zhǎng)期沉降[3-4]；第三種是經(jīng)驗(yàn)擬合的方法，建立擬合曲線或者總結(jié)出累積變形公式，研究土體累積變形與土的初始固結(jié)特性、靜應(yīng)力狀態(tài)、動(dòng)應(yīng)力及循環(huán)次數(shù)的關(guān)系[5-6]。經(jīng)驗(yàn)擬合公式，很早就引起學(xué)者們重視，對(duì)于不同土體已經(jīng)建立了很多經(jīng)驗(yàn)公式，并能很好地?cái)M合對(duì)應(yīng)土體的殘余變形特性。廣泛應(yīng)用的預(yù)測(cè)公式中是Manumit 等[7]提出的指數(shù)模型，由于其考慮的影響因素較少，擬合效果相對(duì)較差，因此Li 等[8]對(duì)模型進(jìn)行了改進(jìn)。除了指數(shù)模型，還有一些其他學(xué)者提出了具有較好擬合效果的經(jīng)驗(yàn)公式，如Parr[9]提出的殘余應(yīng)變模型以及莊海洋等[10]提出的對(duì)數(shù)模型。

本文首先對(duì)一些國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出的累積變形公式進(jìn)行總結(jié)歸納，并以新近沉積南京細(xì)砂為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)比預(yù)測(cè)公式計(jì)算結(jié)果與室內(nèi)三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)研究了南京細(xì)砂累積變形的經(jīng)驗(yàn)擬合公式，并對(duì)部分公式進(jìn)行了修正和計(jì)算能力的擴(kuò)展，給出了相關(guān)公式中對(duì)應(yīng)的模型參數(shù)建議值。

2 累積變形的預(yù)測(cè)公式

Li 等[8]通過(guò)室內(nèi)試驗(yàn)對(duì)Monismith 指數(shù)模型進(jìn)行了改進(jìn)，引入土體靜力強(qiáng)度參數(shù)，考慮了土的靜強(qiáng)度和動(dòng)偏應(yīng)力的影響，解決了Monismith 指數(shù)模型參數(shù)取值范圍大的缺點(diǎn)，其表達(dá)式為

式中：qd試驗(yàn)的動(dòng)應(yīng)力；qf為試驗(yàn)土體的靜強(qiáng)度；a、m、b為試驗(yàn)參數(shù)。

黃茂松等[11]在Parr 的殘余應(yīng)變模型基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行了修正，通過(guò)對(duì)塑性應(yīng)變進(jìn)行歸一化處理，提出了第一次循環(huán)塑性應(yīng)變，將循環(huán)加載動(dòng)應(yīng)力大小和應(yīng)力歷史等因素的影響包含在第一次循環(huán)加載塑性應(yīng)變中，其表達(dá)式為

式中：εN為第N 次循環(huán)的塑性應(yīng)變；ε1為第一次循環(huán)加載的塑性應(yīng)變；b為試驗(yàn)常數(shù)。

張勇等[12]在指數(shù)模型基礎(chǔ)上考慮一定循環(huán)周次后累積塑性應(yīng)變趨于穩(wěn)定的規(guī)律，提出了用數(shù)學(xué)方程來(lái)擬合累積塑性應(yīng)變與循環(huán)周次的關(guān)系曲線，其表達(dá)式為

式中：N為循環(huán)周次；a、b、c為與應(yīng)力條件和土的性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)，其中a c 具有累積塑性應(yīng)變極限值的物理意義，b 反映累積塑性應(yīng)變曲線形狀，并在一定情況下可定義為常數(shù)。

莊海洋等[10]通過(guò)冪指對(duì)數(shù)函數(shù)擬合交通荷載作用下砂土樣累積應(yīng)變曲線，提出了不排水條件累積豎向應(yīng)變的預(yù)測(cè)公式：

式中：k為待定系數(shù)；m為根據(jù)相同振動(dòng)加載幅值時(shí)不同圍壓條件下累積應(yīng)變?cè)鲩L(zhǎng)規(guī)律確定的影響指數(shù)；n為根據(jù)同圍壓時(shí)不同振動(dòng)加載幅值條件下累積應(yīng)變?cè)鲩L(zhǎng)規(guī)律確定的影響指數(shù)；p、q為根據(jù)試樣累積應(yīng)變?cè)鲩L(zhǎng)曲線擬合確定的豎向應(yīng)變累積特征參數(shù)；σc為試樣加載圍壓；qd為振動(dòng)加載幅值；Nd為列車(chē)振動(dòng)列次；Pa為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。

3 試驗(yàn)結(jié)果與預(yù)測(cè)公式的對(duì)比分析

3.1 試驗(yàn)概況

試驗(yàn)采用南京工業(yè)大學(xué)土木工程與防災(zāi)減災(zāi)實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的GDS 空心圓柱扭剪儀，能獨(dú)立控制軸向、扭矩、內(nèi)壓和外壓4 個(gè)循環(huán)荷載，土樣尺寸（直徑×高）為10 cm×20 cm，最大圍壓為2.0 MPa，最大動(dòng)態(tài)扭轉(zhuǎn)角度可達(dá)1 080°，可進(jìn)行實(shí)心、空心土樣在復(fù)雜應(yīng)力路徑下靜、動(dòng)力試驗(yàn)。該儀器對(duì)試樣可施加4 個(gè)獨(dú)立的荷載，即軸力W、扭矩MT、內(nèi)圍壓 pi和外圍壓 p0，試驗(yàn)儀器與加載應(yīng)力路徑如圖1 所示。

圖1 試驗(yàn)儀器與加載應(yīng)力路徑Fig.1 Test instrument and loading stress path

試驗(yàn)土樣為南京細(xì)砂，對(duì)粉細(xì)砂進(jìn)行重塑，基本物理指標(biāo)為：平均天然重度ρ=18.5 kN/m3，最大孔隙比 emax=1.14，最小孔隙比 emin=1.14，不均勻系數(shù) Cu=2.31，曲率系數(shù) Cc=1.07。對(duì)應(yīng)的顆粒級(jí)配曲線圖如圖2 所示，重塑土樣相對(duì)密度 Dr=0.5。

圖2 南京細(xì)砂的顆粒級(jí)配曲線Fig.1 Grain size distribution diagram of Nanjing fine sand

采用三瓣銅模制樣器制備砂土試樣，分4 層裝樣，逐層擊實(shí)至控制重塑樣指標(biāo)，制成均為內(nèi)直徑為60 mm，外直徑為100 mm，高為200 mm 試樣。制備完成后，首先采用抽氣通循環(huán)水進(jìn)行飽和，直至連續(xù)10 min 內(nèi)不出現(xiàn)氣泡。將此時(shí)制備好的試樣安裝到GDS 循環(huán)儀上，采用壓力控制器將反壓控制在100～150 kPa 范圍內(nèi)，繼續(xù)通循環(huán)水進(jìn)行飽和，直至沒(méi)有氣泡冒出，調(diào)整內(nèi)壓、外壓和反壓，測(cè)得有效圍壓接近預(yù)定值時(shí)開(kāi)始固結(jié)。達(dá)到有效圍壓并固結(jié)完成后即施加循環(huán)荷載，開(kāi)始振動(dòng)特性試驗(yàn)。具體試驗(yàn)方案見(jiàn)表1。

表1 試驗(yàn)加載方案Table 1 The test load plan

3.2 心型應(yīng)力路徑與橢圓應(yīng)力路徑試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

受試驗(yàn)儀器等條件限制，無(wú)法在各種試驗(yàn)條件下較好地完成心型應(yīng)力路徑加載，故本次試驗(yàn)對(duì)心型應(yīng)力路徑進(jìn)行了簡(jiǎn)化，采用橢圓形應(yīng)力路徑進(jìn)行代替，如圖1(c)中所示。圖3為兩種應(yīng)力路徑下豎向應(yīng)變?cè)鲩L(zhǎng)情況的對(duì)比，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，在加載幅值為10、15、25 kPa 時(shí)，兩種應(yīng)力路徑下豎向應(yīng)變?cè)鲩L(zhǎng)趨勢(shì)十分接近，增長(zhǎng)幅度基本相同，100 列次之后的累積豎向應(yīng)變最大偏差出現(xiàn)在加載幅值25 kPa 時(shí)，而此時(shí)的差值也僅為0.022%。由于試驗(yàn)儀器影響及制樣裝樣過(guò)程中不可避免地存在一定偏差，因此，兩者豎向應(yīng)變的增長(zhǎng)過(guò)程中存在較小的差值屬于正?，F(xiàn)象。

在此分析基礎(chǔ)上可以初步得到結(jié)論：在模擬交通荷載作用對(duì)土體豎向應(yīng)變的影響時(shí)，橢圓應(yīng)力路徑可以代替心型應(yīng)力路徑。

圖3 有效圍壓120 kPa 時(shí)式（1）～（3）預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.3 Predicted results by formula(1)-(3) when the effective confining pressure is 1200kPa

3.3 公式與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析

上述所列累積塑性應(yīng)變預(yù)測(cè)公式（1）～（4）為目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者較認(rèn)可的主要預(yù)測(cè)方法，部分公式是對(duì)已有公式的改進(jìn)，可將其分為三類(lèi)：指數(shù)模型、對(duì)數(shù)模型和冪指對(duì)數(shù)模型。本文分別從三類(lèi)預(yù)測(cè)模型中選取表2 中4 個(gè)公式進(jìn)行對(duì)比研究，其中式（1）～（3）是直接計(jì)算累積應(yīng)變，而式（4）表達(dá)的是應(yīng)變速率與加載變量之間的關(guān)系。本文分別以應(yīng)變及應(yīng)變率進(jìn)行分析比較。

公式中參數(shù)取值方法：式（1）中考慮到了圍壓及加載幅值的影響，只需取1 組參數(shù)用于9 個(gè)工況，式（2）、（4）中未考慮圍壓的影響，只能分別在3種圍壓下各取1 組參數(shù)來(lái)分別擬合不同試驗(yàn)圍壓下的試驗(yàn)結(jié)果。在圍壓80 kPa和加載幅值10 kPa 的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中，以3 個(gè)公式在100 振次時(shí)交于一點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)，確定公式的擬合參數(shù)值，式（1）中該參數(shù)取值在9 個(gè)工況下保持恒定。式（2）中該參數(shù)取值作為圍壓80 kPa 3 個(gè)工況下保持不變，圍壓120 kPa 及150 kPa 時(shí)參數(shù)取值均在加載幅值10 kPa 時(shí)以3 個(gè)公式于100 振動(dòng)列次（700 振次）交于一點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)。式（3）參數(shù)在9 個(gè)工況中取值均不同，每個(gè)工況中取值均是以3 個(gè)公式于100 振動(dòng)列次交于一點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行的。式（4）中參數(shù)的取值也分別在3 種圍壓加載幅值10 kPa 下，以首尾兩點(diǎn)（N=1 及N=100）為標(biāo)準(zhǔn)確定。

表2 對(duì)比分析所選公式Table 2 The selected formulas for contrastive analysis

圖4 不同圍壓時(shí)式（1）～（3）預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.4 Predicted results by formula(1)-(3) when different effective confining pressures

圖4為不同試驗(yàn)圍壓下的試驗(yàn)結(jié)果與公式的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比分析，總體來(lái)看，隨著加載幅值的增加，式（1）～（3）對(duì)100 振動(dòng)列次（700 振次）后土樣最終累積豎向應(yīng)變的預(yù)測(cè)結(jié)果很接近。隨著加載幅值的增加，式（2）的預(yù)測(cè)結(jié)果逐漸增加到最大，式（1）的預(yù)測(cè)結(jié)果則逐漸變到最小。同時(shí)，式（1）～（3）對(duì)高加載幅值（25 kPa）試驗(yàn)結(jié)果的預(yù)測(cè)效果明顯要比低應(yīng)變幅值的預(yù)測(cè)效果要好。由此可以認(rèn)為，以前主要用于黏土動(dòng)力累積變形的相關(guān)預(yù)測(cè)公式也可用于列車(chē)振動(dòng)荷載作用下南京細(xì)砂的動(dòng)力累積變形的預(yù)測(cè)分析，本文分別給出了各預(yù)測(cè)公式對(duì)應(yīng)的模型參數(shù)建議值，見(jiàn)表3、4。

表3 模型參數(shù)建議值Table 3 The suggested values of parameters in formulas

表4 式（3）參數(shù)建議值Table 4 The suggested values of parameters by formula(3)

圖5為所有工況應(yīng)變速率與式（4）的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比。總體來(lái)看，lg（εNε1）隨著lg N 的增長(zhǎng)呈現(xiàn)出線性遞減的規(guī)律，與式（4）預(yù)測(cè)結(jié)果相近，但試驗(yàn)數(shù)據(jù)與公式預(yù)測(cè)不可避免地存在一定差異。

式（3）對(duì)應(yīng)每個(gè)工況都有不同的參數(shù)，見(jiàn)表4。由表中可以看出，參數(shù)a、b、c 值的變化有一定規(guī)律性，與張勇等[8]通過(guò)不排水動(dòng)三軸試驗(yàn)所得到的規(guī)律一致。從擬合參數(shù)與動(dòng)應(yīng)力幅值的關(guān)系（見(jiàn)圖6）中可以發(fā)現(xiàn)，隨著動(dòng)應(yīng)力幅值的增加，參數(shù)b、c、a/c 大致呈線性變化，經(jīng)擬合得到：參數(shù)b 在圍壓為80、120、150 kPa 時(shí)對(duì)應(yīng)的斜率分別為0.027、0.013、0.013；參數(shù)c 在圍壓為80、120、150 kPa時(shí)對(duì)應(yīng)的斜率分別為-0.003、-0.008、-0.008；參數(shù)a/c 在圍壓為80、120、150 kPa 時(shí)對(duì)應(yīng)的斜率分別為0.023、0.018、0.009。

式（2）、（4）未考慮土樣有效圍壓對(duì)其累積變形的影響，根據(jù)本次試驗(yàn)結(jié)果所得有效圍壓與累積變形的關(guān)系，對(duì)式（2）、（4）進(jìn)行了初步修正，使兩個(gè)公式能夠考慮有效圍壓得影響，修正后公式為

對(duì)應(yīng)于試驗(yàn)數(shù)據(jù)，修正后公式可應(yīng)用于考慮有效圍壓的累積變形預(yù)測(cè)，基于表3 中數(shù)據(jù)可以確定式（5）、（6）中的參數(shù)為

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)兩種不同應(yīng)力路徑下試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分析，證明在模擬交通荷載作用對(duì)土體豎向應(yīng)變的影響時(shí)，橢圓應(yīng)力路徑可以代替心型應(yīng)力路徑，這樣就可以增強(qiáng)現(xiàn)有試驗(yàn)儀器在高頻條件下模擬列車(chē)振動(dòng)荷載應(yīng)力的加載能力。

以前主要用于黏土動(dòng)力累積變形的相關(guān)預(yù)測(cè)公式也可用于列車(chē)振動(dòng)荷載作用下南京細(xì)砂的動(dòng)力累積變形的預(yù)測(cè)分析，針對(duì)南京細(xì)砂的試驗(yàn)結(jié)果，本文分別給出了各預(yù)測(cè)公式對(duì)應(yīng)的模型參數(shù)建議值。

圖5 不同圍壓時(shí)式（4）預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.5 Predicted results by formula(4) when different effective confining pressures

圖6 式（4）中擬合參數(shù)與動(dòng)應(yīng)力幅值關(guān)系Fig.6 Relationships between fitting parameters and dynamic stress amplitude in formula(4)

根據(jù)本文對(duì)南京細(xì)砂累積變形的試驗(yàn)結(jié)果所得有效圍壓與累積變形的關(guān)系，對(duì)部分公式進(jìn)行了初步修正，即使之能夠考慮有效圍壓的影響，并給出了具體的擬合參數(shù)建議值。

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