張 敏，隋永新，楊懷江

（1.中國科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所應(yīng)用光學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林長(zhǎng)春130033；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

提取標(biāo)記點(diǎn)中心在子孔徑拼接檢測(cè)中的應(yīng)用

張 敏1，2，隋永新1*，楊懷江1

（1.中國科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所應(yīng)用光學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林長(zhǎng)春130033；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

子孔徑拼接干涉儀中子孔徑定位精度難以在大行程范圍內(nèi)得到保證,為此本文提出了基于提取標(biāo)記點(diǎn)中心定位子孔徑的拼接方法。以標(biāo)記點(diǎn)的中心坐標(biāo)為標(biāo)記點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)標(biāo)記點(diǎn)在兩子孔徑局部坐標(biāo)系下的坐標(biāo)計(jì)算兩子孔徑之間的坐標(biāo)變換,將所有子孔徑數(shù)據(jù)坐標(biāo)變換到統(tǒng)一坐標(biāo)系下,利用機(jī)械誤差補(bǔ)償算法拼接出全口徑面形。在搭建的拼接檢測(cè)系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)了外徑468mm的平面鏡拋光過程和最終的全口徑面形測(cè)量,加工過程中的測(cè)量結(jié)果為面形誤差修正提供了準(zhǔn)確的數(shù)據(jù),保證了最終全口徑面形誤差RMS快速收斂到35 nm。實(shí)驗(yàn)證明,基于提取標(biāo)記點(diǎn)中心的子孔徑拼接檢測(cè)能放寬對(duì)機(jī)械定位精度的要求,有效檢測(cè)大口徑光學(xué)元件面形。

光學(xué)檢測(cè)；干涉儀；子孔徑拼接算法；標(biāo)記點(diǎn)中心

1 引言

子孔徑拼接干涉檢測(cè)技術(shù)是由美國Arizona光學(xué)中心的Kim與Wyant在1981年首次提出的［1］,他們實(shí)現(xiàn)了用小口徑的平面反射鏡陣列來代替大口徑的平面反射鏡,從而完成拋物面鏡的自準(zhǔn)直檢驗(yàn),并提出可將子孔徑拼接測(cè)量用于非球面的檢測(cè),在此之后國內(nèi)外很多科技工作者都對(duì)子孔徑測(cè)量技術(shù)進(jìn)行了研究［2］。在國內(nèi),國防科技大學(xué)在子孔徑迭代算法和高數(shù)值孔徑的子孔徑拼接檢測(cè)上碩果累累［3-4］,西安交通大學(xué)、中國科學(xué)院光電技術(shù)研究所、長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所等單位［5-8］的科研人員在子孔徑拼接檢測(cè)大口徑光學(xué)元件方向上均有不少研究。最近幾年一些國內(nèi)外的子孔徑拼接技術(shù)研究者提出了新的子孔徑定位方法,如圖像處理中的搜索方法［6,9,10］。其中Roland Maurer［9］所在的工作組采用標(biāo)記點(diǎn)輔助搜索的子孔徑定位方法,找出使兩個(gè)子孔徑相關(guān)系數(shù)最大的位置,將其作為子孔徑的定位,但該方法僅在x、y方向的平移定位中有效。

子孔徑拼接檢測(cè)較大口徑的光學(xué)元件需要干涉儀或待測(cè)元件進(jìn)行大行程的移動(dòng),移動(dòng)距離越大定位精度就越低,其次還有一些不具備定位條件的檢測(cè)情況。在相機(jī)標(biāo)定、三維重建等三維形貌測(cè)量等領(lǐng)域,科研工作者廣泛采用人工標(biāo)記點(diǎn)作為重要的定位方法,其中易于識(shí)別、定位精度高的圓形標(biāo)記點(diǎn)最為常用［11］。所以本文采用圓形標(biāo)記點(diǎn)定位的方法,提出了基于自動(dòng)提取標(biāo)記點(diǎn)中心的拼接算法,解決測(cè)量大口徑平面鏡定位精度較低的問題,避免了為提高機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)確度而增加成本。本文通過外口徑為468 mm、內(nèi)口徑為202 mm的環(huán)形平面鏡鏡面拋光階段的面形檢測(cè),驗(yàn)證了該方法的可行性以及實(shí)用性。

2 基于標(biāo)記點(diǎn)定位的子孔徑拼接過程

2.1 子孔徑拼接過程

子孔徑拼接檢測(cè)過程如圖1,首先進(jìn)行子孔徑劃分,按干涉儀視場(chǎng)、待測(cè)鏡大小以及子孔徑兩兩之間重疊面積大小,確定子孔徑的個(gè)數(shù)以及分布。在重疊區(qū)域做標(biāo)記點(diǎn)之后,干涉檢測(cè)各子孔徑面形信息。對(duì)各子孔徑數(shù)據(jù)邊緣檢測(cè),檢測(cè)出標(biāo)記點(diǎn)邊緣,根據(jù)標(biāo)記點(diǎn)邊緣擬合出相應(yīng)的橢圓方程,以橢圓中心坐標(biāo)為標(biāo)記點(diǎn)的中心坐標(biāo),計(jì)算出相鄰兩子孔徑之間的坐標(biāo)變換。最后,將各子孔徑的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系下,采用合適的子孔徑拼接算法拼接出全口徑的面形信息。

2.2 提取標(biāo)記點(diǎn)的中心位置

在完成各子孔徑的測(cè)量后,首先對(duì)各帶有標(biāo)記點(diǎn)子孔徑數(shù)據(jù)進(jìn)行Canny邊緣檢測(cè)和對(duì)邊緣檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行亞像素定位。Canny邊緣檢測(cè)算法對(duì)圖像進(jìn)行平滑處理的是二維高斯函數(shù)［12］：

式中,σ為高斯函數(shù)參數(shù),由它控制平滑處理的平滑程度［13］。當(dāng)σ較大時(shí)算法定位精度較低,但信噪比較高,σ較小時(shí)算法情況正好相反。所以選取高斯函數(shù)參數(shù)時(shí)得根據(jù)需要選擇最佳值。本文中σ取圖像灰度值的均方根值,并在雙閾值方法中將圖像的平均灰度值作為高閾值選取的參數(shù)［14］。Canny邊緣檢測(cè)后可以得到一幅邊緣的二值圖像,如圖2（a）,但圖中邊緣有背景產(chǎn)生的雜亂邊緣。因此,在對(duì)圖2（a）中的邊緣數(shù)據(jù)施加邊緣像素?cái)?shù)、邊緣閉合、擬合誤差等約束［15］,可以得到只包含標(biāo)記點(diǎn)邊緣的圖像,如圖2（b）所示。

從圖2（b）中可看出邊緣仍有毛刺,所以仍需要將邊緣附近的像素分解以得到標(biāo)記點(diǎn)邊緣的精確坐標(biāo),來準(zhǔn)確地?cái)M合橢圓方程,這就是邊緣亞像素定位。由于標(biāo)記點(diǎn)邊緣是階躍邊緣,所以標(biāo)記點(diǎn)邊緣的準(zhǔn)確坐標(biāo)是使鄰近邊緣像素點(diǎn)擬合出的曲面的梯度方向二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)。為了同時(shí)兼顧準(zhǔn)確性以及效率,本文采用三次多項(xiàng)式擬合邊緣［16］,對(duì)每一個(gè)邊緣點(diǎn)位置做亞像素修正,整體修正效果如圖2（c）所示。

各子孔徑中的圓形標(biāo)記點(diǎn)的成像為平面橢圓,所以對(duì)各子孔徑數(shù)據(jù)邊緣檢測(cè),亞像素邊緣定位后,可根據(jù)標(biāo)記點(diǎn)邊緣數(shù)據(jù)利用最小二乘擬合出相應(yīng)的橢圓方程,用橢圓方程的系數(shù)計(jì)算出相應(yīng)的橢圓中心坐標(biāo),將橢圓中心坐標(biāo)作為標(biāo)記點(diǎn)坐標(biāo)來計(jì)算兩子孔徑之間的坐標(biāo)變換。在二維平面坐標(biāo)系中,橢圓利用圓錐曲線方程的代數(shù)形式表示如下［15］：

為提高計(jì)算的精度,采用亞像素邊緣檢測(cè)得到的所有離散點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)組成超定方程組,通過最小二乘法擬合確定A、B、C、D、E、F的值。橢圓中心坐標(biāo)為：

當(dāng)標(biāo)記點(diǎn)所在圖像質(zhì)量較好的時(shí)候,亞像素邊緣定位得到的標(biāo)記點(diǎn)中心坐標(biāo)精度高于0.01 pixel,在圖像質(zhì)量比較差時(shí),該方法仍有0.02 pixel的精度［16］。

3 坐標(biāo)變換及全局拼接的數(shù)學(xué)模型

3.1 坐標(biāo)變換

若有兩個(gè)空間A和B,對(duì)于空間中點(diǎn)和矢量的剛體變換,主要包括平移（tx,ty）、旋轉(zhuǎn)（θ）。點(diǎn)（x,y）在空間B中,則其在空間A中的坐標(biāo)（u,υ）可表示為：

若兩相鄰子孔徑,子孔徑a的3個(gè)標(biāo)記點(diǎn)坐標(biāo)為（x1,y1）、（x2,y2）、（x3,y3）,子孔徑b中對(duì)應(yīng)的標(biāo)記點(diǎn)坐標(biāo)為（x′1,y′1）、（x′2,y′2）、（x′3,y′3）,可以通過式（5）計(jì)算出子孔徑b相對(duì)于子孔徑a的相對(duì)旋轉(zhuǎn)角θ。通過3個(gè)標(biāo)記點(diǎn)算出3個(gè)相對(duì)選轉(zhuǎn)角度θ,最后取均值θavg,并可通過式（4）計(jì)算出tx、ty,對(duì)子孔徑b所有坐標(biāo)點(diǎn)（x,y）進(jìn)行式（4）表示的坐標(biāo)變換,得到在子孔徑a坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值。

3.2 全局拼接的子孔徑拼接方法

干涉儀檢測(cè)子孔徑過程中,干涉儀與待測(cè)鏡之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)引入機(jī)械運(yùn)動(dòng)誤差以及調(diào)整誤差,這將在子孔徑測(cè)量結(jié)果中引入平移（piston）和傾斜（tilt）等誤差,而且會(huì)使實(shí)際檢測(cè)的子孔徑所在位置與規(guī)劃的子孔徑位置有偏差。因此相鄰兩子孔徑重疊區(qū)相位并不一致。機(jī)械定位誤差補(bǔ)償算法在坐標(biāo)變換后子孔徑相位分布wi（x,y）（i =1,2,...,N-2）中引入調(diào)整誤差補(bǔ)償項(xiàng)、機(jī)械定位誤差補(bǔ)償項(xiàng),采用對(duì)所有子孔徑同時(shí)優(yōu)化的最小二乘法擬合出各子孔徑的補(bǔ)償系數(shù)來補(bǔ)償機(jī)械誤差。

若N為子孔徑個(gè)數(shù),w0（x,y）為基準(zhǔn)子孔徑相位分布。引入調(diào)整誤差補(bǔ)償項(xiàng)、機(jī)械定位誤差

補(bǔ)償項(xiàng)的相位分布可記為［17］：

式中,P是z方向的平移系數(shù),Tx、Ty分別是x、y方向子孔徑的傾斜系數(shù),Δx、Δy分別是x、y方向子孔徑定位誤差系數(shù),各系數(shù)采用最小二乘法擬合,即：

其中

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

結(jié)合本實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行的外直徑468 mm、內(nèi)直徑202 mm的環(huán)形平面鏡鏡面的拋光加工過程,在各次加工迭代過程中以及最終的面形檢測(cè)中,應(yīng)用已搭建的拼接裝置和上述算法對(duì)平面鏡進(jìn)行子孔徑拼接測(cè)量實(shí)驗(yàn)。如圖3所示,搭建的拼接檢測(cè)系統(tǒng)中檢測(cè)平臺(tái)可進(jìn)行二維（傾斜和俯仰）微調(diào),并在平臺(tái)上放置可360°連續(xù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)臺(tái)；測(cè)量各個(gè)子孔徑的干涉儀為Zygo干涉儀,參考面（TF）直徑為150 mm。

子孔徑規(guī)劃如圖4,共20個(gè)子孔徑。平面鏡放置在旋轉(zhuǎn)臺(tái)上后進(jìn)行調(diào)整,使平面鏡中心在旋轉(zhuǎn)臺(tái)的旋轉(zhuǎn)軸上。測(cè)量第一個(gè)子孔徑后,利用MetroPro軟件中Fiducials功能標(biāo)記其干涉條紋圖中的標(biāo)記點(diǎn),并將它們作為其他子孔徑中標(biāo)記點(diǎn)的初始位置。檢測(cè)完所有子孔徑,圖5為其中的一子孔徑的干涉條紋圖。接下來確定每個(gè)子孔徑數(shù)據(jù)中標(biāo)記點(diǎn)的位置,在每個(gè)標(biāo)記點(diǎn)初始位置上下左右各20個(gè)像素的范圍內(nèi)進(jìn)行邊緣檢測(cè),其中一個(gè)標(biāo)記點(diǎn)邊緣檢測(cè)結(jié)果如圖2所示。

各子孔徑數(shù)據(jù)按檢測(cè)平臺(tái)自帶的定位的拼接結(jié)果如圖6（a）所示,拼接結(jié)果中有拼接痕跡,并且最后一個(gè)子孔徑與第一個(gè)子孔徑重疊處明顯錯(cuò)開。將子孔徑測(cè)量結(jié)果和邊緣檢測(cè)結(jié)果代入到拼接算法中,得到的環(huán)形平面鏡初始面形如圖6（b）,PV值為2 663 nm,RMS值為214 nm,拼接結(jié)果均利用Data Fill功能填補(bǔ)標(biāo)記點(diǎn)造成的空白數(shù)據(jù)。盡管子孔徑的數(shù)目較多,圖6（b）仍顯示拼接得到的面形平滑連續(xù)；圖6（b）與6（a）相比幾乎看不到拼接痕跡,說明按標(biāo)記點(diǎn)定位的拼接結(jié)果較為準(zhǔn)確,進(jìn)一步驗(yàn)證了在檢測(cè)平臺(tái)機(jī)械定位精度不高或自身機(jī)械運(yùn)動(dòng)定位較困難的情況下標(biāo)記點(diǎn)定位的實(shí)用性。

將數(shù)據(jù)提交給數(shù)控加工系統(tǒng),以此對(duì)鏡面進(jìn)行誤差修正。第一輪加工和第五輪加工后面形檢測(cè)結(jié)果分別如圖7、8所示,經(jīng)過五輪加工后RMS值達(dá)35 nm,并且中、低頻誤差明顯減少。上述拼接結(jié)果均除去加工造成的邊緣效應(yīng)。將基于提取標(biāo)記點(diǎn)中心的拼接檢測(cè)數(shù)據(jù)作為每次加工的依據(jù),最終得到較好的加工結(jié)果,這間接表明了該方法的有效性,同時(shí)在實(shí)踐中驗(yàn)證了該方法的可行性。

5 結(jié)論

本文利用圓形標(biāo)記點(diǎn)中心位置來計(jì)算相鄰子孔徑之間坐標(biāo)變換的方法,采用全局優(yōu)化的機(jī)械誤差補(bǔ)償算法拼接統(tǒng)一坐標(biāo)系后的各子孔徑數(shù)據(jù),為環(huán)形平面鏡拋光過程提供了準(zhǔn)確的面形數(shù)據(jù),最終指導(dǎo)加工出了面形RMS值為35 nm的光學(xué)鏡面。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了圓形標(biāo)記點(diǎn)定位和機(jī)械誤差補(bǔ)償算法相結(jié)合的拼接檢測(cè)方法的可靠性,為大口徑平面光學(xué)元件的檢測(cè)提供了技術(shù)基礎(chǔ),同時(shí)也是子孔徑拼接干涉檢測(cè)方法在生產(chǎn)實(shí)踐中應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn),但是根據(jù)標(biāo)記點(diǎn)中心坐標(biāo)得到的坐標(biāo)變換矩陣的精度仍需進(jìn)一步分析。

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張敏（1988-）,女,河南杞縣人,博士研究生,2010年于吉林大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位,主要從事光學(xué)檢測(cè)方面的研究。E-mail：zhangminxiaowei@163.com

楊懷江（1966-）,男,遼寧丹東人,博士,研究員,博士生導(dǎo)師,主要從事紫外光刻技術(shù)、光學(xué)信息融合、網(wǎng)絡(luò)信息安全等方面的研究。E-mail：yanghj@ sklao.ac.cn

隋永新（1970-）,男,吉林長(zhǎng)春人,博士,研究員,博士生導(dǎo)師,主要從事超高精度精密光學(xué)元件檢測(cè)、光學(xué)信息融合等方面的研究。E-mail：suiyx@sklao. ac.cn

Subaperture stitching interferometry based on detection ofmarker center

ZHANG Min1,2,SUIYong-xin1*,YANG Huai-jiang1
（1.State Key Laboratory of Applied Optics,Changchun Institute of Optic, Fine Mechanics and Physics,Chinese Academy of Sciences,Changchun 130033,China；2.Uniυersity of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100049,China）*Corresponding author,E-mail：suiyx@sklao.ac.cn

The stitching interferometer systemswith larger relativemovementwill show a significantly lower positioning accuracy of subapertures.As a consequence a stitchingmethod based on detection of artificial circularmark center to find the necessary translation between two neighborly subapertures is implemented.Firstly, we take coordinates ofmark centers as themarks′coordinates by which the translation is computed.Then all the subaperture data are unified into the same reference by homogeneous coordinate transformation and the full aperture phase are stitched by usingmechanical system error compensation algorithm.A subaperture stitching process for a 468 mm flatmirror was carried out including surface accuracy tests during the polishing.In this process,subaperture stitching test offered the surface data precisely for polishing,which ensured the surfaceerror converged quickly to a final RMS of 35 nm.The experimental results show that themethod relaxes the precision requirement for subaperture location and can get the full aperture phase for large optical element correctly.

opticalmeasurement；interferometer；subaperture stitching algorithm；marker center

O436.1；TG84

A

10.3788/CO.20140705.0830

2095-1531（2014）05-0830-07

2014-04-15；

2014-07-22

國家科技重大專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目（No.2009ZX02205）