顧國超，劉洪波，陳家奇，高 雁

（中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機械與物理研究所，吉林長春130033）

基于Supporting-Ellipsoid方法的自由曲面構(gòu)造

顧國超，劉洪波*，陳家奇，高 雁

（中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機械與物理研究所，吉林長春130033）

為了在特定平面上獲得任意形式的輻照分布,采用了Supporting-Ellipsoid設(shè)計方法來構(gòu)造自由曲面反射鏡。介紹了其設(shè)計思想和設(shè)計過程,并以具體的設(shè)計實例為例構(gòu)建了自由曲面光學(xué)系統(tǒng)。仿真結(jié)果表明,在不計反射損失的情況下,系統(tǒng)效率達(dá)到了97％,較傳統(tǒng)太陽模擬器光學(xué)系統(tǒng)提升了3倍以上,不均勻度達(dá)到5.26％,與理想狀態(tài)有一定差距,這是因為設(shè)計中兼顧了計算時間和自由曲面光滑性所造成的。

Supporting-Ellipsoid方法；自由曲面；均勻照明

1 引言

在傳統(tǒng)的照明光學(xué)系統(tǒng)中,要獲得均勻穩(wěn)定的輻照分布,需要采用特定的復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)來實現(xiàn),如采用透鏡陣列形式的太陽模擬器光學(xué)系統(tǒng)［1］,或采用通道反射式積分器的高熱流密度輸出裝置［2-3］,不僅需要龐大的系統(tǒng),而且效率不高。若要獲得更加復(fù)雜的輻照分布,傳統(tǒng)的光學(xué)系統(tǒng)便無能為力,因為傳統(tǒng)的光學(xué)表面多為球面、二次曲面或多項式曲面。若要滿足特定的照明,則需要光學(xué)面具有足夠高的階次,這勢必會造成面型造型不便和數(shù)值不穩(wěn)定。隨著人們對照明要求的不斷提高,新的照明形式,即采用自由曲面光學(xué)面來實現(xiàn)復(fù)雜照明的方法便應(yīng)運而生。自由曲面沒有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達(dá)式,其具有足夠多的設(shè)計自由度能夠應(yīng)付復(fù)雜的照明,同時又具有靈活的空間布局及局部可操作性的優(yōu)點。

均勻圓形輻照面的自由曲面設(shè)計較為簡單,因其具有旋轉(zhuǎn)對稱性,只要確定旋轉(zhuǎn)自由曲面的母線即可,W.Tai、L.Peng和顧國超［4～6］等人分別采用了相似的設(shè)計思想獲得了不同形式的自由曲面光學(xué)面,均獲得了非常不錯的效果。但對于更加一般的輻照情況,如輻照面形狀為不規(guī)則形狀且輻照度為特定非均勻的輻照來說,以上的設(shè)計思想和設(shè)計方法就難以勝任了。J.S.Schruben首次從數(shù)學(xué)和幾何學(xué)上對此類問題進(jìn)行了闡述,并獲得了從這類問題抽取出來的數(shù)學(xué)模型,為 Monge-Ampere形式的非線性二階偏微分方程［7］。H.Ries等人于2002年提出了裁剪法,以折射定律為基礎(chǔ)建立入射波前、出射波前的曲率以及自由曲面上對應(yīng)點處曲面曲率之間的關(guān)系,并結(jié)合能量守恒定律和傳輸能量密度與光束波前高斯曲率的關(guān)系,構(gòu)建了一組非線性偏微分方程,并通過數(shù)值求解獲得了自由曲面的離散面型數(shù)據(jù),首次解決了這類問題［8］。但其并沒有公布具體的解決方法。

目前此類問題的基本解決方法主要有3種：數(shù)學(xué)法、幾何法和優(yōu)化法,間或有這3種基本解決方法的組合方法。數(shù)學(xué)法即是基于光源的發(fā)光特性和預(yù)定照明要求,根據(jù)反射或者折射定律,結(jié)合能量守恒定律構(gòu)建自由曲面所滿足的數(shù)學(xué)方程,通過求解獲得自由曲面的面形數(shù)據(jù)。如Simultaneous multiple Surfaces（SMS）方法［9］,Seroka和W.Rengmao分別采用不同方法的直接解法［10-11］等。幾何法的核心思想就是將輻照分布離散化,并利用一些二次曲面（如橢球面、拋物面以及笛卡爾卵圓面）的光學(xué)特性,用一組這類二次曲面的曲面片來實現(xiàn)離散照明,并用其包絡(luò)面作為自由曲面的最終形式。如Supporting Paraboloids（SP）方法。優(yōu)化法的主要思想就是將曲面參數(shù)化,并選取合適的優(yōu)化變量,通過不斷的調(diào)整優(yōu)化變量來趨近預(yù)定照明,直至滿足要求。另外A. B?uerle和Zexin Feng采用了以上基本方法的組合方法,也得到了不錯的效果［12-13］,其核心思想就是首先采用不同數(shù)學(xué)方法獲得光源、自由曲面和目標(biāo)面之間的映射關(guān)系,并構(gòu)建自由曲面,然后采用優(yōu)化方法獲得更加理想的效果。本文的設(shè)計思想就是采用幾何方法中的Supporting-Ellipsoid法,這種設(shè)計方法能夠解決復(fù)雜的照明問題,過程簡單易懂,效果直觀,避免陷入復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算當(dāng)中。

2 Supporting-Ellipsoid方法的設(shè)計思想基礎(chǔ)

2.1 系統(tǒng)整體的坐標(biāo)系

整體照明系統(tǒng)由光源、自由曲面和目標(biāo)面所構(gòu)成,如圖1所示,其中光源S位于系統(tǒng)坐標(biāo)系中心,從光源出射的一條光線入射至自由曲面上的一點P,經(jīng)反射后出射光線到達(dá)目標(biāo)面上點T,其中入射點P的直角坐標(biāo)為P（Px,Py,Pz）,球坐標(biāo)為P（ρ,θ,φ）,入射光線、法線、出射光線的單位矢量分別為I,N,O,系統(tǒng)光軸與Z軸重合,目標(biāo)面為位于Z軸方向并與光源距離L處的平面,其中目標(biāo)面與系統(tǒng)光軸正交。

2.2 Supporting-Ellipsoid設(shè)計思想基礎(chǔ)

Supporting-Ellipsoid設(shè)計方法由Kochengrin和Oliker所提出［14］,其核心思想就是將目標(biāo)面上的預(yù)定輻照分布離散化,利用橢球反射鏡的特性,并將每個離散點與單個橢球曲面片聯(lián)系起來,通過調(diào)整橢球曲面片的參數(shù),來調(diào)整各個離散點所能接收的能量,并以一個整體自由曲面包絡(luò)各個曲面片,作為自由曲面的最終形式。為了能夠更好地理解這個問題,考慮最簡單的二維情形下的兩個離散點和兩個橢圓的情況,規(guī)則為第一個與入射光線相交的橢圓線反射此光線,反之亦可,即最后一個與入射光線相交的橢圓線反射此光線,以第一條與入射光線相交的橢圓線反射光線為例,如圖2所示,橢圓E1和橢圓E2分別對應(yīng)目標(biāo)點T1和T2,其中兩橢圓的第一焦點與點光源重合,橢圓E1的第二焦點F′1為目標(biāo)點T1,橢圓E2的第二焦點F′2為目標(biāo)點T2,入射光線分別與兩橢圓相交于點I1和I2,根據(jù)規(guī)則,則在交點I1處反射此光線,到達(dá)目標(biāo)點T1。圖3則說明了如何調(diào)節(jié)分配兩個目標(biāo)點的能量,以橢圓E0作為基本橢圓,在變化的過程中保持不變,橢圓E1則保證兩個焦點不變,即點光源和目標(biāo)點的位置保證不變,當(dāng)橢圓E1的長半軸a1?a0時,光源發(fā)出的所有光線經(jīng)反射后全部到達(dá)目標(biāo)點T0,此時目標(biāo)點T0得到光源的全部能量,T1得到的能量為0,當(dāng)減小a1,直至a1?a0,此時所有的光線經(jīng)反射后全部到達(dá)目標(biāo)點T1,此時目標(biāo)點T1得到光源的全部能量,T0得到的能量為0,在此過程中,只要給定合適的a0和a1值,就可以得到任何我們想要的能量分配比例。定義反射光線的橢圓線段為有效線段,稱為支撐橢圓,從而得到一組不連續(xù)的曲線段,根據(jù)反射規(guī)則的不同,有交叉和非交叉兩種情況,如圖4所示。在多個離散目標(biāo)點的情況下,基礎(chǔ)橢圓大小和兩焦點均保持不變,保證其他橢圓兩焦點位置不變,并調(diào)整其長半軸a的大小,可以調(diào)整各個目標(biāo)點接收能量的大小,直至滿足預(yù)定要求,以上兩維的情況可以擴展到三維,即為Supporting-Ellipsoid方法的設(shè)計思想基礎(chǔ)。

3 利用Supporting-Ellipsoid方法構(gòu)造自由曲面反射鏡

利用Supporting-Ellipsoid方法構(gòu)造自由曲面反射鏡的方法如圖5所示,其過程如下：

（1）將目標(biāo)照明離散化,并根據(jù)目標(biāo)面的輻照分布賦予各離散點以權(quán)值；

（2）以O(shè)liker的Supporting-Ellipsoid方法獲得合乎要求的一組曲面片,通過離散點擬合獲得光源出射角度與目標(biāo)點之間的關(guān)系；

（3）利用擬合后的映射關(guān)系構(gòu)建自由曲面反射鏡。

本文采用短弧氙燈作為光源,以離光源最遠(yuǎn)的曲面作為有效曲面,構(gòu)建非交叉形式的系統(tǒng)幾何結(jié)構(gòu),光源與目標(biāo)面之間的距離L選為600 mm,以獲得400 mm×400 mm正方形均勻輻照面為例,給出了自由曲面構(gòu)建的細(xì)節(jié)和結(jié)果,其中短弧氙燈光源的配光曲線如圖6所示。

3.1 目標(biāo)面的離散化和映射關(guān)系的獲取

由于自由曲面的構(gòu)造需要對有限的離散點進(jìn)行插值,則目標(biāo)面上離散的目標(biāo)點數(shù)越多,獲得的目標(biāo)輻照面越接近于理想狀態(tài),同時所需的橢球面片亦越多,這就意味著需要調(diào)整更多的橢球參數(shù),其計算時間會呈現(xiàn)類似指數(shù)關(guān)系的增長。由于本文所需為均勻輻照面,采用更多的離散點能夠提升目標(biāo)面的均勻性,但離散點增加到一定程度后,均勻性的提升已不明顯,同時會大大延長計算時間。因此,在平衡目標(biāo)面均勻性和計算時間的基礎(chǔ)上,將目標(biāo)面離散成為15×15的離散點,并依據(jù)目標(biāo)輻照分布給各個離散點賦予權(quán)值,調(diào)整各個橢球的參數(shù),最終獲得滿足目標(biāo)離散點能量的一組橢球曲面片,在每個曲面片上選取一特征點作為目標(biāo)點的對應(yīng)點,從而可以獲得一組光源出射方向與目標(biāo)點之間的映射。為了便于觀察理解,選用5×5的離散點,并建立映射關(guān)系,如圖7所示。

3.2 曲面擬合及其連續(xù)性和光滑性的保證

如果完全按照文章3.1節(jié)中的映射關(guān)系構(gòu)建自由曲面反射鏡,并選取足夠多的離散點,則能夠得到理想情況下的輻照面,不論輻照面有多么復(fù)雜和特殊。但另一方面,據(jù)此構(gòu)建的自由曲面難以滿足積分條件［8］,則其勢必會存在不連續(xù)的情況或者構(gòu)造偏差,與L.Wang和Y.Ding構(gòu)造自由曲面所遇到的問題一樣［15-17］,難以滿足其光滑性。積分條件以自由曲面法矢形式給出,如式（1）所示。

式中：N為自由曲面的法矢。

自由曲面的連續(xù)性和光滑性是自由曲面加工的基本要求,若自由曲面存在不連續(xù)的情況或者構(gòu)造偏差,會給加工帶來極大的困難,甚至使得加工難以實現(xiàn)。因此,需要對文章3.1節(jié)中所獲取的映射關(guān)系進(jìn)行微調(diào),即對映射關(guān)系中目標(biāo)點位置做細(xì)微的調(diào)整,在盡可能接近以上獲得的映射關(guān)系的前提下,使得自由曲面滿足積分條件,盡管這種操作會在一定程度上犧牲目標(biāo)輻照面的精度,以本文的設(shè)計來說,則是在一定程度上犧牲了輻照面的均勻性,來保證自由曲面的連續(xù)性和光滑性。本文采用了MATLAB中Gridfit［18］程序來對離散點進(jìn)行處理,使其滿足積分條件。程序主要特點就是在保證映射關(guān)系的基礎(chǔ)上,采用一個彈性曲面片來對離散點進(jìn)行擬合和插值,經(jīng)程序處理后所獲得的目標(biāo)點坐標(biāo)映射函數(shù)關(guān)系如圖8和圖9所示,根據(jù)所得的映射關(guān)系,可以得到在相同θ和φ參數(shù)下x與y的對應(yīng)關(guān)系,如圖10所示。

3.3 構(gòu)建自由曲面反射鏡

基于Gridfit程序處理后所獲得的映射關(guān)系,即可構(gòu)建出光滑的自由曲面。構(gòu)建自由曲面的方法有很多種,本文所采用的方法就是首先構(gòu)建自由曲面反射鏡的骨架,即曲面上相互交叉的經(jīng)線和緯線,以此為基礎(chǔ)獲得自由曲面整體的面片,曲面骨架線的構(gòu)建流程如圖11所示。

3.4 系統(tǒng)仿真與結(jié)果分析

根據(jù)所構(gòu)建的自由曲面,光源采用短弧氙燈的配光曲線,忽略光源大小,并構(gòu)建目標(biāo)面,搭建整體系統(tǒng),結(jié)果如圖12所示,在Lighttools中構(gòu)建整體系統(tǒng),并采用蒙特卡洛法追跡200萬條光線,最終所獲得的輻照情況如圖13所示。

仿真結(jié)果表明,在忽略反射損失時,系統(tǒng)整體的效率可以達(dá)到97.54％,輻照不均勻度為5.26％,準(zhǔn)直角為±2°,與采用透鏡陣列作為勻光系統(tǒng)的太陽模擬器照明系統(tǒng)相比,在參數(shù)均滿足一致的情況下,系統(tǒng)效率提升了3倍以上。系統(tǒng)的輻照不均勻度與太陽模擬器照明系統(tǒng)相比稍有不足,原因分析如下：（1）本文的設(shè)計兼顧計算時間和均勻性兩個方面,沒有選取更大數(shù)量的離散點；（2）為了保證自由曲面的連續(xù)性,映射關(guān)系做了微小的調(diào)整。

從輻照結(jié)果效果圖來看,輻照分布結(jié)果基本上處于較為均勻的狀態(tài),且輻照面遵循著正方形各對稱軸的對稱性,這與光源發(fā)光特性的軸旋轉(zhuǎn)對稱性和能量分配特性相吻合。同時由結(jié)果圖可以看出,在輻照面角落部分的均勻性與面上其余部分相比較差,這是為了保證輻照面形狀,嚴(yán)格限制了自由曲面邊緣與輻照面邊緣的映射關(guān)系,這就意味著輻照面角落點成為了一個奇異點,這是角落處均勻性較差的根本性原因。

4 結(jié)論

本文采用了Supporting-Ellipsoid設(shè)計方法構(gòu)建了一個自由曲面反射鏡,闡述了這種設(shè)計方法的坐標(biāo)構(gòu)成和設(shè)計思想,并以一個具體實例詳細(xì)說明了自由曲面構(gòu)建的整個過程,并采用所構(gòu)建的自由曲面搭建了一個照明系統(tǒng)。仿真結(jié)果表明,在不考慮反射損失的前提下,系統(tǒng)效率達(dá)到了97％以上,輻照不均勻度達(dá)到了5.26％,各參數(shù)與傳統(tǒng)太陽模擬器照明系統(tǒng)保持一致的情況下,系統(tǒng)效率提升了3倍以上。由于系統(tǒng)在計算時間和均勻性之間取了一個平衡,沒有采用更加龐大的離散點；同時為了滿足自由曲面的連續(xù)性和光滑性,對映射關(guān)系進(jìn)行了微小的調(diào)整,這是本系統(tǒng)均勻性不如傳統(tǒng)太陽模擬器照明系統(tǒng)的主要原因。本系統(tǒng)采用的是點光源,在采用擴展光源的情況下,輻照面會呈現(xiàn)怎樣的變化,目前尚沒有做具體的分析。如何構(gòu)建擴展光源下的自由曲面是下一步工作的主要方向。

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顧國超（1983-）,男,吉林長春人,碩士,研究實習(xí)員,2007年于華中科技大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位,2010年于西安交通大學(xué)獲得碩士學(xué)位,主要從事太陽模擬技術(shù)方面的研究。E-mail：ggc-2003@163. com

劉洪波（1956-）,男,吉林長春人,碩士,研究員,1982年、1989年于長春理工大學(xué)分別獲得學(xué)士、碩士學(xué)位,主要從事太陽模擬技術(shù)方面的研究。E-mail：hbliu120@sina.com

陳家奇（1971-）,男,吉林長春人,副研究員,1994年于電子科技大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位,主要從事太陽模擬技術(shù)方面的研究。E-mail：jiaqi_chen@163.com

高 雁（1982-）,男,吉林長春人,碩士,助理研究員,2006年于東北大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位,2008年于哈爾濱工業(yè)大學(xué)獲得碩士學(xué)位,主要從事太陽模擬技術(shù)方面的研究。E-mail：ynogg@163.com

Construction of freeform surface based on Supporting-Ellipsoid method

GU Guo-chao,LIU Hong-bo*,CHEN Jia-qi,GAO Yan
（Changchun Institute of Optics,Fine Mechanics and Physics, Chinese Academy of Sciences,Changchun 130033,China）
*Corresponding author,E-mail：hbliu120@sina.com

To get irradiation distribution of arbitrary form on a specific plane,the free-form surface reflector is constructed with the Supporting-Ellipsoid design method in this paper.Firstly,the design idea and design process are introduced,and then a specific optical system of free-form surface is constructed.Simulation results show that the system efficiency reaches 97％without regard to reflection loss,which is three timesmore than that of the optical system of traditional solar simulator.The irradiance non-uniformity reaches 5.26％, which has a certain gap with the ideal state,resulting from the consideration on both the calculate time and the smoothness of the free-form surface in the design.

Supporting-Ellipsoid method；freeform surface；uniform illumination

TH703

A

10.3788/CO.20140705.0823

2095-1531（2014）05-0823-07

2014-04-11；

2014-06-13

吉林省科技發(fā)展計劃資助項目（No.20130303009GX）