胡子揚，任 淵

(中國船舶重工集團(tuán)公司第七二四研究所，南京 211106)

1 引 言

在現(xiàn)代陣列信號處理領(lǐng)域，波達(dá)方向(DOA)估計是一個重要的研究方向，占有重要地位。在DOA估計中，均勻線陣(Uniform Linear Array,ULA)因其結(jié)構(gòu)簡單在實際系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。一般而言，陣元數(shù)一經(jīng)確定，均勻線陣的陣列分辨率就確定了，只能通過增加陣元數(shù)目或增加陣元間距來提高分辨率。增加陣元數(shù)目會增加設(shè)備量，這將對信號處理量以及通道誤差調(diào)節(jié)和系統(tǒng)可靠性都帶來影響；而過大的陣元間距會引起柵瓣效應(yīng)，使DOA估計出現(xiàn)模糊。因此在工程實踐中，采用非均勻陣列來節(jié)省設(shè)備量，提高估計精度成為研究的熱點，很多學(xué)者對非均勻陣列進(jìn)行了大量研究[1-4]。使用非均勻陣列可以利用較少的陣元得到較大的天線孔徑，為了防止柵瓣的出現(xiàn)，要求非均勻陣列陣元距參考陣元的歸一化間距互質(zhì)。實驗證明，這種非均勻陣列有其優(yōu)勢，但并非最優(yōu)陣列，相同的孔徑下其陣元數(shù)可進(jìn)一步減少。同時，學(xué)者們也對給定陣元數(shù)下所能達(dá)到最大孔徑的最小冗余線陣(Minimum redundancy linear array)進(jìn)行了大量研究[5-7]，但最小冗余線陣的排布方式固定，不適用于相干信源的DOA估計，又給工程應(yīng)用帶來了不便。

本文從孔徑合成理論出發(fā)，在最小冗余線陣的基礎(chǔ)上，通過對其陣元位置及個數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)置，在相同的孔徑條件下，得到比一般非均勻線陣陣元數(shù)更少、比最小冗余線陣陣元選擇更靈活的次最小冗余線陣，同時解決了最小冗余線陣不能處理相干目標(biāo)的問題，更有利于工程應(yīng)用。

2 次最小冗余線陣及其數(shù)學(xué)模型

2.1 非均勻線陣陣列模型

如圖1所示，設(shè)一個非均勻線陣，由M個陣元組成，以左邊第一個陣元為參考陣元，陣元的位置分別為D=(d1,d2,…,dM)，P個波長為λ的窄帶平面波，分別從(θ1,θ2,…,θP)入射，第i個陣元收到的信號為

(1)

式中，d1=0,Sm(t)是接收的第m個信號的復(fù)包絡(luò),ni是第i個陣元接收到的加性噪聲。

圖1 非均勻直線陣測向基本模型Fig.1 The basic model of direction-finding for non-uniform linear array

將式(1)表示成向量形式：

X(t)=A(θ)S(t)+N(t)

(2)

式中，X(t)為陣列輸出向量,S(t)為接收的信號向量,N(t)為接收的噪聲向量。

定義A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θP)]為方向向量a(θi)構(gòu)成的陣列流形，其中i=1,2,…,P。記k=2π/λ，則信號在θi方向上的方向向量a(θi)可以表示成

a(θi)=[1,exp(jkd2sin(θi)),…,exp(jkdMsin(θi))]T

(3)

2.2 次最小冗余線陣

由上一節(jié)的分析，考慮線陣中任意兩個陣元p和q輸出的共軛循環(huán)相關(guān)函數(shù)[6]

(4)

(5)

從式(5)中可以看出對于非均勻線陣，其共軛循環(huán)相關(guān)函數(shù)僅只與dp和dq有關(guān)。根據(jù)孔徑合成理論的疊加等價陣列的定義[8]，陣列A的疊加等價陣列表達(dá)式為

Csum(A)={di+dj,1≤i,j≤M}

(6)

式(6)表示di+dj所有可能值表示的集合。若陣列A與陣列B等價即Csum(A)=Csum(B)，則兩陣列有相同的孔徑。由式(6)可以看出均勻線陣不同的陣元組合可以獲得相同的共軛循環(huán)相關(guān)函數(shù)值，因而帶來冗余度。

由上面的理論分析，可以設(shè)計共軛循環(huán)相關(guān)函數(shù)值重復(fù)最少，也即冗余度最小的陣列，稱之為最小冗余線陣。最小冗余線陣的設(shè)計是一個優(yōu)化問題，一般通過計算機(jī)窮盡搜索的辦法獲得。表1給出了其中一種不同陣元數(shù)的歸一化配置[9]，其中M表示陣元數(shù)，N表示孔徑，{di}中整數(shù)表示各陣元相對于第一個陣元距離對半波長的歸一化值。

表1 最小冗余線陣歸一化配置Table 1 The normalized configuration of minimum redundancy linear array

顯而易見，最小冗余線陣的排布是通過窮舉法得來的，其陣元排布方式即使不唯一也不能隨意更改。同時由表1可以看到，基本上最小冗余線陣都是空間非對稱的，而后面我們將分析空間非對稱線陣不適用于修正MUSIC算法估計相干信源。當(dāng)估計相干信源或最小冗余線陣中某一個陣元的通道誤差過大時，就需要對其進(jìn)行修改構(gòu)成新的冗余度稍大的等價線陣，稱之為次最小冗余線陣。

(1)估計相干信源需要按照窮舉法設(shè)計空間對稱的次最小冗余線陣；

(2)應(yīng)對通道誤差較大的陣元則是在陣列等價前提下用其附近的陣元來替換該陣元。如本文中MUSIC算法的仿真使用的是8元最小冗余線陣{0,1,4,10,16,18,21,23}修改后的次最小冗余線陣{0,1,4,7,11,12,13,16,18,21,23}，兩者陣列是等價的。

3 次最小冗余線陣的DOA估計算法

3.1 MUSIC算法[9]

多重信號分類(MUSIC)算法作為一種解自相關(guān)矩陣特征空間的子空間類算法，它不限于陣列的排列形式，所以MUSIC算法很適合次最小冗余線陣的DOA估計。

由式(2)的信號模型，對陣列信號X(t)的協(xié)方差矩陣R=E[X(t)XH(t)]進(jìn)行特征分解，有

(7)

式中，Us是由大特征值對應(yīng)的特征矢量張成的信號子空間，而UN是由小特征值對應(yīng)的特征矢量張成的噪聲子空間。

MUSIC算法的譜估計公式為

(8)

對于次最小冗余線陣，在利用MUSIC算法進(jìn)行DOA估計時，式(8)的表達(dá)式是不變的，只是a(θ)，UN受次最小冗余線陣陣元位置di的影響，即陣元位置影響了算法的性能。

3.2 修正MUSIC算法[10]

修正MUSIC(MMUSIC)算法在進(jìn)行正常非相關(guān)信源DOA估計的同時，可以提高對相關(guān)信源的估計性能。

修正MUSIC算法對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R=E[X(t)XH(t)]進(jìn)行修正，令I(lǐng)v為M×M的反向單位矩陣，即

(9)

且令

RX=R+IvR*Iv

(10)

式中，R*為R的共軛，對RX進(jìn)行如上MUSIC算法就可以得到信號的DOA估計。

修正MUSIC算法估計數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣時，將接收數(shù)據(jù)共軛重排后再用了一次，這就要求共軛重排后的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)具有很強(qiáng)的互補(bǔ)性關(guān)系，從而利用它們共同估計數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣以改善DOA估計性能，也即滿足對稱布陣，就是要求構(gòu)建陣元關(guān)于線陣中點對稱分布的等價陣列。表2給出了一些空間對稱布陣的次最小冗余線陣的歸一化配置[11]。

表2 空間對稱次最小冗余線陣歸一化配置Table 2 The normalized configuration of space symmetrical sub-minimum redundancy linear array

4 仿真實驗

使用最小陣元間隔為d=λ/2的線陣，所用噪聲為加性高斯白噪聲。

4.1 MUSIC算法仿真

(1)實驗1:幾種線陣MUSIC算法性能分析

實驗中設(shè)置信號是頻率為f0的調(diào)幅信號，采樣率為2f0，快拍數(shù)為200，不考慮通道誤差。不失一般性，取仿真的次最小冗余線陣為{0,1,4,11,12,13,16,18,21,23}，它是一個口徑同樣為24的最小冗余線陣{0,1,4,10,16,18,21,23}修改得到的。在信噪比為10 dB時仿真了這兩個線陣和8元及24元均勻線陣對入射方向為(7°,10°,30°,70°)的4個獨立入射信號的DOA估計結(jié)果，如圖2所示。

圖2 MUSIC算法仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of MUSIC algorithm

從圖2可以看出，同樣作為8陣元線陣，均勻線陣的分辨力明顯不如最小冗余線陣和次最小冗余線陣(10陣元)，3°內(nèi)的兩個信源出現(xiàn)譜峰兼并，已分辨不出來。由(b)、(c)、(d)可以看出，陣列孔徑相同的24元均勻線陣、最小冗余線陣和次最小冗余線陣均可以分辨3°以內(nèi)的目標(biāo)，最小冗余線陣效果略差一點。最小冗余線陣和次最小冗余線陣的譜函數(shù)圖像略有起伏，但不影響分辨結(jié)果。圖3是在不同信噪比下4種線陣對30°入射信號DOA估計的均方根誤差曲線。

圖3 均方根誤差隨信噪比變化曲線Fig.3 The change curve of the root mean square error for different SNR

從圖3可以看出，孔徑較小的8元均勻線陣在信噪比為-5 dB時的均方根誤差較之其他3種線陣有明顯開始變大的趨勢，而孔徑相同的3種線陣在信噪比大于-10 dB時的均方根誤差相差不大。

(2)實驗2:對獨立信號的分辨率和估計精度

在MUSIC譜峰搜索中，當(dāng)兩獨立信號角度間隔靠近時，會出現(xiàn)譜峰兼并，同時也影響兩信號的DOA估計準(zhǔn)確度，驗證線陣對兩角度間隔很近的信號的分辨能力是很有必要的。定義：如果兩信號的估計誤差在0.3°以內(nèi)并且兩峰值與其之間谷值相差大于5 dB，則認(rèn)為成功分辨，否則不能分辨。在信噪比10 dB下，對不同入射間隔的兩獨立信號進(jìn)行估計，得到圖4所示的不同角度間隔下的分辨概率，每個角度間隔進(jìn)行1 000次獨立實驗。

圖4 不同角度間隔下的分辨概率Fig.4 Resolution probability under different angle interval

從圖4可以看出，孔徑較小的8陣元均勻線陣對非相干信號具有較差的分辨率，當(dāng)角度間隔小于3°時，分辨概率就低于90%；其余3個線陣具有較好分辨率，能分辨間隔1°的兩個信號。綜合來看，次最小冗余線陣在提高分辨力和降低計算復(fù)雜度方面有較好的效果。

4.2 MMUSIC算法仿真

實驗中仍設(shè)置信源數(shù)N=4，入射角度為(10°,20°,30°,70°)，信噪比為10 dB，設(shè)置其中角度為10°和20°的兩個入射信號為全相干信號。由前面分析知，對相干信號的DOA估計需要空間對稱線陣，取仿真的空間對稱次最小冗余線陣為{0,1,4,7,11,15,18,21,22}，它也是最小冗余線陣{0,1,4,10,16,18,21,23}修改得到的，不過考慮要滿足空間對稱性，損失了一個陣元的孔徑。這兩個線陣及8元和24元均勻線陣的DOA估計結(jié)果如圖5所示。

圖5 MMUSIC算法仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of MMUSIC algorithm

從圖5可以看出，不具有空間對稱性的最小冗余線陣{0 1 4 10 16 18 21 23}對相干信號的估計已經(jīng)失效，而具有空間對稱性的另外3個線陣對相關(guān)信號的估計性能良好，同時不影響其中非相干信號的估計。用該3種線陣對相干信號進(jìn)行估計精度分析，得到圖6。

圖6 對相干信號不同角度間隔下的分辨概率Fig.6 Resolution probability for coherent signals under different angle interval

從圖4和圖6的比較可以看出，相干信號之間是互相有影響的，表現(xiàn)到分辨率中就是使每個線陣的分辨率變差，如24元均勻線陣分辨概率大于90%的角度間隔提升到1.25°，但總體的規(guī)律保持不變，具有相近孔徑的次最小冗余線陣和24元均勻線陣的分辨率相差不大，優(yōu)于具有較小孔徑的8元均勻線陣。

整體仿真結(jié)果表明，空間對稱次最小冗余線陣適用于對相干信號的DOA估計，解決了最小冗余線陣在該方面的不足。

5 結(jié) 論

本文針對所提出的次最小冗余線陣DOA估計，給出了分析和實驗仿真，結(jié)果表明MUSIC等子空間類算法適用于次最小冗余線陣，同時與一般的陣列排布方法相比，次最小冗余線陣具有極大的靈活性，可以靈活選擇陣元，避免誤差較大的通道；同時在保證陣列孔徑和分辨力的前提下，可有效降低陣元數(shù)量和算法復(fù)雜度，在相關(guān)信源的DOA估計中也具有良好的效果。但次最小冗余線陣因其陣元選擇的靈活性帶來陣列的不固定性，替代較大誤差通道的陣元選擇的優(yōu)先級順序及所帶來的影響有待進(jìn)一步研究，同時空間對稱次最小冗余線陣的陣元選擇方式也需進(jìn)一步明確。

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