☉寧夏中衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)張洪學(xué)校 張 寧

以“共頂正方形”為模型的中考試題及變式探究

☉寧夏中衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)張洪學(xué)校 張 寧

一、基本模型

例1 （2008年廣東省初中數(shù)學(xué)競賽）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，點E在邊AB上.四邊形EFGB也是正方形，設(shè)△AFC的面積為S，則（ ）.

A.S=2 B.S=2.4

C.S=4 D.S與BE的長度有關(guān)

解析：設(shè)正方形BEFG的邊長為a，則AE=2-a，CG=2+a.

點評：本題以兩個具有一個公共頂點的正方形為基本模型，主要考查了正方形的性質(zhì)、三角形面積的求法等知識.由于△AFC的面積不易直接求得，故采用間接求法：利用某些特殊圖形的面積來表示△AFC的面積，這種方法是求不特殊圖形的面積的一種重要方法.在表示△AFC的面積的過程中，還需要有正方形BEFG的邊長，因而這里又體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題方法.從解題過程來看，△AFC的面積與正方形EFGB的邊長無關(guān).本例中所涉及的幾何圖形簡潔優(yōu)美，內(nèi)涵豐富，不妨稱之為“共頂正方形”，即有公共頂點的正方形稱之為“共頂正方形”.

二、以“共頂正方形”為模型的中考試題

1.以“共頂正方形”為模型，求陰影部分的面積

例2（2012年湖北潛江市）如圖2，線段AC=n+1（其中n為正整數(shù)），點B在線段AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到△AME.當(dāng)AB=1時，△AME的面積記為S1；當(dāng)AB=2時，△AME的面積記為S2；當(dāng)AB=3時，△AME的面積記為S3；…；當(dāng)AB=n時，△AME的面積記為Sn.當(dāng)n≥2時，Sn-Sn-1=______.

解析：設(shè)正方形ABMN的邊長為m，則CE=BC=ACAB=n+1-m.

點評：本題以“共頂正方形”為模型，以規(guī)律探索的形式考查了圖形面積的求法.設(shè)出正方形ABMN的邊長，并以正方形ABMN的邊長表示梯形BCEM、△ABM、△ACE等特殊圖形的面積是解決問題的關(guān)鍵，最后用這些特殊圖形的面積來表示△AME的面積.從求解過程可以看出，陰影部分的面積只與△ABM的面積有關(guān)，即與正方形ABMN的邊長有關(guān)，本題所用的解題方法與例1基本相同.

2.以“共頂正方形”為模型，判斷角的大小關(guān)系

例3（2013年臺灣?。┤鐖D3，四邊形ABCD、AEFG均為正方形，其中E在BC上，且B、E兩點不重合，并連接BG.根據(jù)圖中標(biāo)示的角，有下列關(guān)于∠1、∠2、∠3、∠4的大小關(guān)系的判斷，其中正確的是（ ）.

A.∠1＜∠2 B.∠1＞∠2

C.∠3＜∠4 D.∠3＞∠4

解析：因為四邊形ABCD、AEFG均為正方形，所以∠BAD=∠EAG=90°.

因為∠BAD=∠1+∠DAE=90°，∠EAG=∠2+∠DAE=90°，所以∠1=∠2.

因為△ABE是直角三角形，所以AE＞AB.

因為四邊形AEFG是正方形，所以AE=AG.

所以AG＞AB，所以∠3＞∠4.故選D.

點評：本題以“共頂正方形”為模型，主要考查正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角；同角的余角相等；在同一個三角形中，較長的邊所對的角大于較短的邊所對的角.在解題過程中將邊的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為角之間的大小關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

3.以“共頂正方形”為模型，考查綜合運用所學(xué)知識推理論證的能力

這類試題以“共頂正方形”為模型，涉及的知識點有線段的相等關(guān)系或位置關(guān)系、角的相等關(guān)系、全等三角形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)、勾股定理等，突出數(shù)學(xué)知識的整體性，主要考查綜合運用所學(xué)知識推理論證的能力.

例4（2013年遼寧營口）如圖4，△ABC為等腰直角三角形∠ACB=90°，F(xiàn)是AC邊上的一個動點（點F與A、C不重合），以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF連接BF、AD.

（1）①猜想圖4中線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論.

②將圖4中的正方形CDEF繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖5、圖6所示的情形.圖5中BF交AC于點H，交AD于點O，請你判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖5證明你的判斷.

（2）將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改為矩形CDEF，如圖7，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于點H，交AD于點O，連接BD、AF，求BD2+AF2的值.

解析：（1）①BF=AD，BF⊥AD.

②BF=AD，BF⊥AD.理由如下.

因為△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，所以AC=BC.

因為四邊形CDEF是正方形，所以CD=CF，∠FCD=90°，所以∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，即∠BCF=∠ACD.

（2）如圖7，連接DF.

因為四邊形CDEF是矩形，所以∠FCD=90°.

又因為∠ACB=90°，所以∠ACB=∠FCD，所以∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，即∠BCF=∠ACD.

點評：本題第一問以一個等腰直角三角形和一個正方形為基本圖形，主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，這個基本圖形其實還是“共頂正方形”，因為等腰直角三角形可補全為正方形.第二問中將等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC，將正方形CDEF改為矩形CDEF，使圖形更具一般性，考查的知識點也由全等三角形轉(zhuǎn)移到了相似三角形，在求值過程中還用到了勾股定理.本題改編之后更加具有挑戰(zhàn)性，對學(xué)生來說具有一定的難度，也體現(xiàn)了中考的選拔功能.

三、以“共頂正方形”為模型的中考試題的變式探究

正方形是最常見的平面圖形之一，它的性質(zhì)學(xué)生非常熟悉.以正方形為基本圖形組成的“共頂正方形”圖形優(yōu)美、內(nèi)涵豐富，它在命題中具有廣闊的變化空間.通過對以“共頂正方形”為模型的中考試題進(jìn)行合理改編，或借助于幾何畫板的測量功能與超級畫板的自動推理功能，可根據(jù)考查的目標(biāo)和重點編擬一些形式優(yōu)美的幾何試題.

例5 如圖8，正方形ABCD和CGEF是共頂正方形，連接AE，點M是線段AE的中點，連接DM、FM.求證：FM⊥MD，F(xiàn)M=MD.

證明：如圖9，延長DM到點N，使MN=DM，連接DF、FN、NE.

因為M是線段AE的中點，所以AM=ME.

又因為∠AMD=∠EMN，DM=MN，所以△AMD≌△EMN.

所以AD與EN平行且相等.

所以△CDF與△ENF中有兩對邊相等且垂直.

所以△CDF逆時針旋轉(zhuǎn)90°后可以得到△ENF.

故△FDN是等腰直角三角形.

又因為點M是線段AE的中點，所以FM⊥MD，F(xiàn)M=MD.

說明：本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知構(gòu)造輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

對圖9稍作變化，可得到例6.

例6 如圖10，在△BEF中，∠BEF=90°，BE=EF， 四 邊 形ABCD是正方形，連接DF，G為DF的中點，連接EG、CG.

求證：EG=CG，EG⊥CG.

證明：如圖11，延長CG至M，使MG=CG，連接MF、ME、EC，延長MF交CB的延長線于點N，MN交BE于點H.

在△DCG和△FMG中，F(xiàn)G=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，所以△DCG≌△FMG.

所以MF=CD，∠FMG=∠DCG.所以MF∥CD.

因為四邊形ABCD是正方形，所以∠DCB=90°，CD=BC.所以∠HNB=90°，MF=BC.

因為∠BHN=∠FHE，∠BEF=∠HNB=90°，所以∠EFH=∠NBH.

因為∠CBE＋∠NBH=180°，∠EFH＋∠MFE=180°，所以∠MFE=∠CBE.

在△MFE和△CBE中，MF=CB，∠MFE=∠CBE，EF=BE，所以△MFE≌△CBE.

所以∠MEF=∠CEB，EM=EC.

所以∠MEC=∠MEF＋∠FEC=∠CEB＋∠CEF=∠BEF=90°.

所以△MEC為直角三角形.

四、結(jié)束語

以“共頂正方形”為模型可以編擬出很多有趣的幾何問題，這些幾何問題表面上有所不同，但它們所蘊含的解題思想是統(tǒng)一的，解決問題的方法是類似的，只要抓住“共頂正方形”基本圖形的特征，綜合運用三角形全等、勾股定理、正方形的性質(zhì)、三角形相似等相關(guān)知識進(jìn)行探索，不難得出結(jié)論.通過這樣的探究活動，不但可以為學(xué)生提供很多富有挑戰(zhàn)性和探索性的學(xué)習(xí)素材，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維，有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，而且對教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升也有一定的作用.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.張寧.以勾股圖為模型的中考試題及其變式探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（1）.

3.張寧.關(guān)注“直L形”圖形模型 重視通法的解題功能［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（8）.