☉江蘇省南通市八一中學(xué) 徐菊華

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探索能力的幾點(diǎn)思考

☉江蘇省南通市八一中學(xué) 徐菊華

一、前言

創(chuàng)新能力教學(xué)，是新課程改革以來(lái)中學(xué)教育提出的重要改革方向.以往傳統(tǒng)中學(xué)教育，培養(yǎng)了大量的基礎(chǔ)扎實(shí)、操作熟練的學(xué)生，但是在更高層面的教育中，學(xué)生往往創(chuàng)新精神不足.這非常像20世紀(jì)60年代美國(guó)提出的“大眾教育”與“精英教育”如何合理對(duì)待，合理發(fā)展.

創(chuàng)新來(lái)源于什么呢？對(duì)初中學(xué)生而言，比較貼合創(chuàng)新的又是什么呢？筆者認(rèn)為，想要從形式化的數(shù)學(xué)科中去得到創(chuàng)新既不簡(jiǎn)單也并非很難！之所以說(shuō)簡(jiǎn)單：其一，數(shù)學(xué)要?jiǎng)?chuàng)新，必然經(jīng)歷探索這樣的環(huán)節(jié)，要學(xué)會(huì)自我探索、合作探索，培養(yǎng)探索能力是第一步；其二，把握方向，從教材中去尋找值得挖掘的素材，可以是問(wèn)題的提升，也可以是課后閱讀，也可以是課外讀物等；其三，通過(guò)探索增加興趣，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)習(xí)的能力才是關(guān)鍵.之所以說(shuō)難：因?yàn)槠綍r(shí)教師和學(xué)生往往受作業(yè)、應(yīng)試等限制，沒(méi)有時(shí)間去進(jìn)行探索，更談不上創(chuàng)新；另一方面，大量的枯燥重復(fù)訓(xùn)練，使得學(xué)生早已對(duì)數(shù)學(xué)喪失興趣，進(jìn)而談何探索？

所以，筆者建議我們要放開(kāi)一些胸懷，不要讓解題成為初中數(shù)學(xué)教育的全部.在允許的范圍內(nèi)，教師積極開(kāi)創(chuàng)條件，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度去進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的探索，通過(guò)探索培養(yǎng)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力，進(jìn)而為長(zhǎng)遠(yuǎn)的創(chuàng)新能力的培養(yǎng)打下一定的基礎(chǔ).本文將結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，從多個(gè)角度淺談探索能力的培養(yǎng)方式和手段，請(qǐng)讀者指正.

二、探索能力的培養(yǎng)方式

探索能力是一種以一定基礎(chǔ)為本，通過(guò)分析新型問(wèn)題并利用部分已知知識(shí)解決未知問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，有時(shí)出現(xiàn)各種變化，需要學(xué)生不斷調(diào)整知識(shí)方向進(jìn)而解決問(wèn)題的能力.筆者結(jié)合案例，談?wù)劸唧w的一些實(shí)施.

1.以雙基知識(shí)為載體的問(wèn)題探索能力

案例1：《探索三角形相似的條件》雙基探索.

筆者本次教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)的依據(jù)是：人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)具有“漸進(jìn)性”，個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)要在不斷地重復(fù)之中細(xì)化、深化以致內(nèi)化.因此整體設(shè)計(jì)思路是圍繞三角形相似產(chǎn)生的核心思想這個(gè)中心，在不同媒介的不斷重演中，由淺入深將問(wèn)題串拋給學(xué)生，層層推進(jìn)學(xué)生對(duì)相似的判斷、理解，以期達(dá)到增加學(xué)生解決類似問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)的積累.教學(xué)實(shí)施環(huán)節(jié)如下所示.

（1）引入.

師：同學(xué)們記得三角形全等的判定定理嗎？

生：有SSS、SAS、AAS三種常用方式.

師：是的！判斷兩個(gè)三角形全等并不需要三角相等，三邊也相等，而只需具備特定的條件即可.那么兩個(gè)三角形相似一定要具備三角對(duì)應(yīng)相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例的條件嗎？符合特定條件的三角形是否可以相似呢？下面一起探究三角形相似的條件.

（2）探索.

（投影）（i）畫一個(gè)△ABC，使得∠BAC=60°.所畫的三角形相似嗎？檢查一下除了等于60°的角相等，還有其他相等的角嗎？

（ii）請(qǐng)學(xué)生一人畫△ABC，另一人畫△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于給定的∠α，∠B和∠B′都等于給定的∠β.比較你們畫的兩個(gè)三角形，∠C與∠C′相等嗎？對(duì)應(yīng)邊的比相等嗎？這樣的兩個(gè)三角形相似嗎？

結(jié)論：兩角相等的兩個(gè)三角形相似.

說(shuō)明：探索性教學(xué)模式在設(shè)計(jì)理念上緊緊圍繞著新課程的核心思想——學(xué)生對(duì)知識(shí)形成過(guò)程的追求，在教學(xué)實(shí)施中以學(xué)生為主體進(jìn)行課堂設(shè)計(jì)，圍繞教學(xué)過(guò)程中產(chǎn)生的實(shí)施、反饋、評(píng)價(jià)和反思，進(jìn)行自主化的管理和學(xué)習(xí)，即重在知識(shí)形成過(guò)程的參與.

（3）能力.

（投影）例題：如圖1，D、E分別是△ABC的邊BA、CA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，DE∥BC.

①圖中有哪些相等的角？

②找出圖中的相似三角形，并說(shuō)明理由.

③寫出三組成比例的線段.

圖1

變形1（PPT演示）：移動(dòng)線段DE，使∠AED=∠B，回答上面的問(wèn)題.

（PPT投影）①∠A=∠A，∠ADE=∠C；

②△ABC∽△AED.由∠B=∠AED，∠C=∠ADE，得△ABC∽△AED.

變形2（PPT演示）：繼續(xù)移動(dòng)線段DE，使E點(diǎn)與C點(diǎn)重合，并保持∠AED=∠B，回答上面的問(wèn)題.把上面結(jié)論中的字母E改為C，結(jié)論仍然成立.其中AC2=AD·AB.（投影相關(guān)結(jié)論）

變形3（PPT演示）：特殊地，當(dāng)AC⊥BC，CD⊥AB時(shí)，變?yōu)閳D2，回答上面的問(wèn)題.對(duì)應(yīng)點(diǎn)沒(méi)有變，上述結(jié)論仍成立.但由于特殊性，這時(shí)還有△ABC∽△CBD，則△ABC∽△ACD∽△CBD.（投影相關(guān)結(jié)論）

說(shuō)明：探索性能力學(xué)習(xí)將探究的難度層次進(jìn)一步提升到知識(shí)運(yùn)用的階段，其主要目的是通過(guò)探索教學(xué)模式，使得學(xué)生深刻感受解決類似問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)積累，將知識(shí)運(yùn)用至舉一反三的地步，徹底解決學(xué)生雙基知識(shí)在具體情境中的熟練運(yùn)用.

2.以課外興趣為載體的創(chuàng)新探索能力

筆者在介紹《不等關(guān)系》時(shí)，給競(jìng)賽班的學(xué)生提到過(guò)一個(gè)不等關(guān)系的性質(zhì)：若a＞b，b＞c，則a＞c.競(jìng)賽班的學(xué)生比較容易接受不等式的傳遞性，有些學(xué)生對(duì)不等式的興趣恰恰從這些關(guān)系式中得以培養(yǎng).筆者以學(xué)生對(duì)不等式的興趣，開(kāi)發(fā)了帶有興趣性的不等式研究，旨在通過(guò)情境化的手段培養(yǎng)學(xué)生探索更多不等式的性質(zhì).

案例2：2011年3月11日，日本本州島附近海域發(fā)生強(qiáng)震，現(xiàn)在對(duì)強(qiáng)震遺留下來(lái)的什么最擔(dān)心？

核危機(jī)！核輻射主要存在三種射線：ALPHA（阿爾法）射線、BETA（貝塔）射線、GAMMA（伽瑪）射線.我們不妨記ALPHA（阿爾法）粒子的質(zhì)量為a，BETA（貝塔）粒子的質(zhì)量為b，GAMMA（伽瑪）粒子的質(zhì)量為c，三者的質(zhì)量關(guān)系是a＞b、b＞c.

圖2

（1）如果把前兩種粒子放在天平的左、右兩端上，由于a＞b，顯然左端會(huì)下降；若我們將其交換位置，則右端會(huì)下降，于是我們得到性質(zhì)1.

性質(zhì)1：若a＞b，則b＜a.（對(duì)稱性）

（2）由于三種粒子的的質(zhì)量關(guān)系是a＞b、b＞c，得到性質(zhì)2.

性質(zhì)2：若a＞b，b＞c，則a＞c.（傳遞性）

（3）不妨在天平兩端的ALPHA（阿爾法）粒子與BETA（貝塔）粒子上，各自加上一個(gè)GAMMA（伽瑪）粒子，則天平平衡性保持不變，得到性質(zhì)3.

性質(zhì)3：若a＞b，則a+c＞b+c.（可加性）

（4）GAMMA（伽瑪）粒子放射出能量衰變一次之后的質(zhì)量變?yōu)閐，且c＞d，那么在天平兩端的ALPHA（阿爾法）粒子與BETA（貝塔）粒子上，分別加上一個(gè)GAMMA（伽瑪）粒子和衰變后的GAMMA（伽瑪）粒子，則天平平衡性顯然保持不變，得到性質(zhì)4.

性質(zhì)4：若a＞b，c＞d，則a+c＞b+d.（同向不等式可加性）

（5）若取出m（m＞0）個(gè)ALPHA（阿爾法）粒子與BETA（貝塔）粒子，按類別放在天平兩端，則顯然ma＞mb，得到性質(zhì)5.

性質(zhì)5：若a＞b，c＞0，則ac＞bc；若a＞b，c＜0，則ac＜bc.（可乘性）

（6）若取出m個(gè)ALPHA（阿爾法）粒子與n個(gè)BETA（貝塔）粒子，且m＞n＞0，將其按類別放在天平兩端，則顯然ma＞nb，得到性質(zhì)6.

性質(zhì)6：若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bd.（同向正值不等式可乘性）

上述結(jié)論，我們只做了從特殊情形的考慮，有興趣的同學(xué)可以對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格證明，我們?cè)谡n堂上不贅述，列表總結(jié)上述六條性質(zhì)，學(xué)生對(duì)探索得到的不等式的性質(zhì)極為有興趣，記憶深刻.

3.以數(shù)學(xué)文化為載體的興趣探索能力

文化往往對(duì)學(xué)生起著精神的引領(lǐng)作用，在介紹數(shù)字規(guī)律的時(shí)候，筆者提起了“高斯求和1+2+…+100”，課后有幾個(gè)興趣盎然的學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了不斷地探索和追求，筆者抽時(shí)間和學(xué)生一起做了一些探索和思考.

案例3：探索：（數(shù)與字母）

①已知數(shù)列2、4、6、8、10、…，第n項(xiàng)（n為正整數(shù)）是______，其和是______；

②已知數(shù)列1、6、11、16、21、…，第n項(xiàng)（n為正整數(shù)）是___，其和是___；

③已知數(shù)列2、3、5、8、12、…，第n項(xiàng)（n為正整數(shù)）是______，其和是______.

對(duì)于數(shù)列①，同學(xué)們不難發(fā)現(xiàn)這些數(shù)都是偶數(shù)，一切偶數(shù)總可以表示成2n的形式，所以第n項(xiàng)就是2n.關(guān)于其和的問(wèn)題，給同學(xué)們幾分鐘時(shí)間后，就有同學(xué)發(fā)現(xiàn)答案.其和用S表示.

這位同學(xué)說(shuō)得多好?。∈欠襁€有其他算法？學(xué)生沉入思考.過(guò)了一段時(shí)間，學(xué)生想不出其他好的算法，筆者略作提示：此數(shù)列是按從小到大的順序排列的，能否按從大到小的順序排列，比較并加以思考.在筆者的提示下，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)，回答.

這位同學(xué)的回答著實(shí)讓筆者興奮.接著就問(wèn)奇數(shù)列1、3、5、7、9、…呢？不到一分鐘的時(shí)間，同學(xué)們的答案就有了，第n項(xiàng)為2n-1，其和為n2.

趁著同學(xué)們探究興趣的來(lái)臨，筆者就提出了數(shù)列②.經(jīng)過(guò)分組討論，發(fā)現(xiàn)相鄰兩項(xiàng)都相差5，故可以把此數(shù)列表示成：1、1+5×1、1+5×2、1+5×3、…、1+5（n－1），這時(shí)第n項(xiàng)就是1+5（n-1）=5n-4.

題目的難度在逐漸地增加，同學(xué)們探究的激情絲毫未減，筆者繼續(xù)為其加油：“只要努力，高山也會(huì)變成坦途，數(shù)學(xué)會(huì)帶給我們無(wú)限的樂(lè)趣.”這時(shí)筆者就鼓勵(lì)他們繼續(xù)觀察數(shù)列③的特征.能發(fā)現(xiàn)什么呢？對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行剖析.

2=2，3=2+1，5=2+1+2，8=2+1+2+3，12=2+1+2+3+4，…，這樣一提示，同學(xué)們就領(lǐng)悟到了數(shù)列的特征！那么第n項(xiàng)該怎樣表示呢？就有同學(xué)舉手發(fā)言：第n項(xiàng)應(yīng)該是：

筆者又問(wèn)：2008年我國(guó)將舉辦奧運(yùn)會(huì)，若n=2008，這一項(xiàng)又是什么數(shù)據(jù)呢？這時(shí)同學(xué)們的計(jì)算器劈劈啪啪響個(gè)不停，答案一下子就出來(lái)了：2015030，那么其和呢？求和有一定的難度，解答如下.

三、結(jié)語(yǔ)

通過(guò)上述案例，筆者認(rèn)為探索能力的培養(yǎng)應(yīng)該以高于教材和中考應(yīng)試問(wèn)題為基準(zhǔn)，在探索過(guò)程中也可以一起嘗試或在教師指導(dǎo)下進(jìn)行操作，問(wèn)題主要靠教師準(zhǔn)備，在培養(yǎng)過(guò)程中，需要體現(xiàn)下列基本原則.

1.適合性原則

給學(xué)生探索的問(wèn)題需要有一定的適度性，既不能大部分學(xué)生都能解決，也不能所有學(xué)生完全摸不著頭腦，給出的問(wèn)題要符合“最近發(fā)展區(qū)”理論，使得優(yōu)秀學(xué)生通過(guò)思考可以摸得著.

2.應(yīng)用性原則

一般探索性問(wèn)題往往是純數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)與生活實(shí)際相結(jié)合的問(wèn)題，無(wú)論何種問(wèn)題，都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性，使學(xué)生深刻理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)在解決未知問(wèn)題時(shí)的作用.

3.興趣性原則

數(shù)學(xué)本身是一門相對(duì)枯燥的學(xué)科，對(duì)探索能力的培養(yǎng)要選擇一些有趣味的問(wèn)題，盡量避免枯燥的純數(shù)學(xué)的理論，這對(duì)初中學(xué)生而言是不合適的.

限于篇幅，筆者以案例實(shí)踐對(duì)探索問(wèn)題做了一些淺顯的操作，并在操作中記錄了一些心得，不足之處在所難免，懇請(qǐng)讀者繼續(xù)補(bǔ)充.

1.張奠宙.情真意切話數(shù)學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2010.

2.展國(guó)培.有效教學(xué)，從關(guān)注學(xué)生開(kāi)始［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2013（1）.

3.王俊.關(guān)于學(xué)習(xí)反思的幾點(diǎn)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2003（1）.

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