☉江蘇省東?？h白塔初級中學 張雪梅

關注幾何圖形的多樣性 凸顯分類討論思想
——分類討論思想在解題中的應用及思考

☉江蘇省東?？h白塔初級中學 張雪梅

分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想，這種思想對于簡化研究對象，發(fā)展人的思維有著重要作用.分類討論思想是中學數(shù)學中一種極其重要的數(shù)學思想方法，它是依據(jù)數(shù)學研究對象本質(zhì)屬性的相同點和差異點，將數(shù)學對象分為不同種類，然后對劃分的每一類分別進行研究和求解.在某些幾何問題中，由于圖形的不確定性或圖形的多樣性，使問題存在多解情況，在解決這類問題時，一定要考慮全面，最好畫出不同情況下的幾何圖形，然后結(jié)合不同的幾何圖形分別進行求解，即在求解過程中一定要滲透分類討論思想，否則很容易出現(xiàn)解題失誤.本文以近幾年各地中考試題為例，說明當幾何圖形不確定時，分類討論思想在解題中的應用，供讀者參考.

一、分類討論思想在解題中的應用

1.分類討論思想在三角形中的應用

在涉及等腰三角形或三角形的剪切與折疊等幾何問題時，由于圖形的多樣性或不確定性，導致幾何問題有多解，在解決這類問題時，一定要全面考慮，畫出不同情況下的幾何圖形，分別進行求解.

例1 等腰三角形一腰長為5，一邊上的高為3，則底邊長為______.

解析：已知的是一邊上的高，可分底邊上的高和腰上的高兩種情況.當為腰上的高時，再分銳角三角形與鈍角三角形兩種情況.

（1）如圖1，當AD為底邊上的高時，因為AB=AC，AD⊥BC，所以BD=CD.

在Rt△ABD中，AD=3，AB=5，

（2）當CD為腰上的高時，分兩種情況.

圖1

①如圖2，若等腰三角形為銳角三角形，在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，由勾股定理，得所以BD=AB-AD=5-4=1.

圖2

②如圖3，若等腰三角形為鈍角三角形，在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，由勾股定理，得所以BD=AB+AD=5+4=9.

圖3

在Rt△BDC中，CD=3，BD=9，由勾股定理，得BC=

點評：在涉及等腰三角形的邊、高、角等計算問題中，如果問題中沒有明確說明哪條邊是等腰三角形的底邊與腰，或等腰三角形的高是底邊上的高還是腰上的高，或哪個角是頂角與底角，在解決這類問題時，一定要注意多角度全方位考慮，一定要有分類討論的意識，并運用數(shù)形結(jié)合思想來解答問題，否則很容易出現(xiàn)錯誤，在教學中應十分重視分類討論思想的培養(yǎng).

2.分類討論思想在四邊形中的應用

例2 已知正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，將△AEF繞其頂點A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當BE=DF時，∠BAE的大小可以是______.

解：（1）如圖4，當正三角形AEF在正方形ABCD的內(nèi)部時，因為正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，當BE=DF時，由AB=AD，AE=AF，得△ABE≌△ADF（SSS），所以∠BAE=∠FAD.

A：力嘉投資建立的潮陽力嘉中學在2012年7月11日舉行落成慶典并交付使用。從最初投資的4000萬元開始，至今已經(jīng)投入了7000萬元，全校共2600人，每個班平均都在60人以上，且學校的規(guī)模還在不斷擴大。

圖4

因為∠EAF=60°，所以∠BAE+∠FAD=30°，所以∠BAE=∠FAD=15°.

圖5

（2）如圖5，當正三角形AEF在正方形ABCD的外部時，因為正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，當BE=DF時，由AB=AD，AE=AF，得△ABE≌△ADF（SSS），所以∠BAE=∠FAD，所以∠BAF=∠DAE.

因為∠EAF=60°，所以∠BAF+∠DAE=360°-60°-90°=210°. 所以∠BAF=∠DAE=105°.所以∠BAE=∠FAD=105°+60°=165°.

故答案為15°或165°.

點評：本題考查的知識點比較多，包括正方形和等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等.利用正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，可證△ABE≌△ADF，由全等三角形的性質(zhì)和已知條件可求出當BE=DF時∠BAE的大小.由于正三角形AEF可以在正方形的內(nèi)部，也可以在正方形的外部，所以要分兩種情況討論求解.

3.分類討論思想在圓中的應用

解析：本題給出直角三角形的兩邊長分別為16和12，并沒有具體說明是斜邊和直角邊還是兩條直角邊，故需分類討論.

（1）當16和12是兩條直角邊時，可得此直角三角形的斜邊長為20，故此三角形的外接圓半徑為10；

（2）當16和12是斜邊和直角邊時，此三角形的外接圓的半徑為8.

故答案為10或8.

點評：本題主要考查勾股定理、直角三角形的外接圓的半徑與斜邊的關系.解決本題時，一定要認真審題.肯定有部分師生由于思維定勢的影響，認為16和12就是兩直角邊的長，從而忽略掉另一種情況，從而造成解題失誤.解決本題時最好先畫出圖形，再運用分類討論的數(shù)學思想進行解答.

二、兩點思考

1.廣大教師在教學中要滲透分類討論數(shù)學思想，培養(yǎng)學生良好的思維習慣

分類討論思想是在數(shù)學知識發(fā)生和應用的過程中形成和發(fā)展的一種解題思維方式.在數(shù)學教學中，廣大教師不但要重視數(shù)學知識應用的教學，而且要重視形成基本技能與基本數(shù)學思想方法的教學，把分類討論思想的訓練滲透于教學始終，充分揭示數(shù)學思維過程，幫助學生了解問題的本質(zhì)，提高學生分析問題和解決問題的能力.在幾何圖形或運動的點的位置關系不確定時，通過分類討論數(shù)學思想的運用可使解題思路清晰，不出現(xiàn)重復和遺漏答案的現(xiàn)象.因此，引導學生掌握分類討論的思想方法，有利于培養(yǎng)學生全面觀察問題、靈活處理問題的能力，這樣才能使學生養(yǎng)成良好的思維習慣.

2.運用分類討論思想解題時，選擇正確、合理、嚴謹?shù)姆诸悩藴适墙鉀Q問題的關鍵

分類討論思想是中學數(shù)學中常用的一種思想方法，也是近幾年中考命題考查的熱點.運用分類討論思想解題時，要抓住問題的本質(zhì)，認真審題，全面考慮，對可能存在的各種情況進行討論，做到不重不漏，條理清晰.運用分類討論思想解題的關鍵是在解題中選擇正確、合理、嚴謹?shù)姆诸悩藴剩@既有利于把復雜的問題轉(zhuǎn)化為幾個較為簡單的問題來處理，同時也可以培養(yǎng)學生的綜合分析能力，發(fā)展他們思維的條理性、嚴謹性和完整性.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.