☉江蘇省張家港市鳳凰中學(xué) 許春紅

善用錯誤效應(yīng) 提高教學(xué)的有效性

☉江蘇省張家港市鳳凰中學(xué) 許春紅

一、錯誤是正確的先導(dǎo)

1.正確面對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的錯誤

學(xué)習(xí)錯誤是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必然產(chǎn)生的，有教學(xué)經(jīng)驗的教師很容易發(fā)現(xiàn)：每屆學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中常常犯一些類似的錯誤，這說明這些錯誤是數(shù)學(xué)認知中的盲點.在國內(nèi)較大的數(shù)學(xué)論壇K12中，我們有時可以看到學(xué)生提出此類問題：“老師上課的內(nèi)容我聽的懂啊，但是當自己做題目時卻往往有各種各樣的錯誤，有些是計算上的，有些是知識理解上的，有些是方法選擇上的，最難的是無從下手的！可是一聽老師講，怎么就這么簡單.這該怎么辦呢？”這一現(xiàn)象，我們稱之為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“懂而不會”，在初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中普遍存在，久而久之，有些學(xué)生因此而喪失了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

2.認真分析錯誤產(chǎn)生的原因

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過展示以往或現(xiàn)在的學(xué)生和教師在學(xué)與教的過程中產(chǎn)生的偏差或錯誤，通過多邊互動，在集體識錯、思錯和糾錯的過程中，促使認知結(jié)構(gòu)進行新的同化和順應(yīng)，使學(xué)生在情感、能力和學(xué)習(xí)效果上產(chǎn)生的積極作用，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)中的錯誤效應(yīng).

分析學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中錯誤產(chǎn)生的原因，是幫助教學(xué)更有效的一種手段，它不僅能使教師清晰地認識到教學(xué)過程中出現(xiàn)的不足并及時進行修補，而且從有效性的角度而言，利用錯誤產(chǎn)生的效應(yīng)縮短了解決問題的時間，筆者認為這正是錯誤效應(yīng)的最大好處，大大有利于改善我們的教學(xué).另一方面，從這些錯誤的原因來看，與初中數(shù)學(xué)章節(jié)知識難度的上升、學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣帶來的差異、學(xué)習(xí)心態(tài)穩(wěn)定與否的區(qū)別、家庭教育的全面性與穩(wěn)定性等都有一定的關(guān)系，本文將從數(shù)學(xué)知識的角度來進行分析.

3.有效利用錯誤效應(yīng)資源

筆者認為，學(xué)生在進入初中之后，隨著初中數(shù)學(xué)更具形式化、更抽象，學(xué)生對知識的理解遇到了困難.眾所周知，因為進度較快和對數(shù)學(xué)形式化的結(jié)果不能熟練理解與掌握，久而久之，困難堆積形成了思維障礙，這些障礙造成了學(xué)生學(xué)習(xí)過程中大量錯誤的積累，在得不到及時的解決后造成了數(shù)學(xué)科成績較低，這種現(xiàn)象普遍存在于如今的初中新生之中.因此，應(yīng)將這些錯誤的成因進行歸類，并利用這些常見的錯誤引導(dǎo)學(xué)生分析、理解，利用錯誤產(chǎn)生的效應(yīng)對教學(xué)產(chǎn)生一些積極的、指導(dǎo)的作用，減少其學(xué)習(xí)過程中類似錯誤的產(chǎn)生，提高數(shù)學(xué)教與學(xué)的有效性，使學(xué)生正確看待錯誤產(chǎn)生的緣由，并幫助其提高數(shù)學(xué)的思維能力，這對教師而言是具有重要意義的一項工作.

二、錯誤效應(yīng)的有效應(yīng)用

④x=4時的函數(shù)值與x=2008時的函數(shù)值相同，則對稱軸為直線則所以m=1006，原函數(shù)為y=x2-2012x-3，則x=2012時的函數(shù)值為-3，故本命題正確.

1.基本功錯誤效應(yīng)

數(shù)學(xué)的基本功，也就是傳統(tǒng)的雙基教學(xué)，一直是我國數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng)，也是課程改革中堅持并發(fā)揚下來的東西.從初一到初三上學(xué)期，學(xué)生一直致力于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的新知，在此過程中打下堅實的基礎(chǔ)顯得尤為重要.相比小學(xué)數(shù)學(xué)，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點發(fā)生了巨大的變化：新知的進度完全超乎學(xué)生的想象，使得初一新生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)非常疲憊；正是因為對形式化數(shù)學(xué)概念、定理等沒有本質(zhì)上的深刻認知，導(dǎo)致學(xué)生覺得數(shù)學(xué)的題型變化多端，即使能理解教材中的數(shù)學(xué)基本知識的表象，也難以完全應(yīng)對千變?nèi)f化的試題；初中數(shù)學(xué)中運算水平要求的層次陡然上升，在計算上一般計算水平的學(xué)生止步不前等.這些都是雙基缺失的具體表象，在這些困難的背后，造成學(xué)生不斷在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)錯誤.如何解決和利用這些錯誤，使得學(xué)生學(xué)習(xí)更堅實、更有效，進而提升學(xué)生的思維能力呢？來看一個案例.

案例1：（2012年張家港模擬）已知二次函數(shù)y=x2-2mx-3，給出下列命題，則正確的是_______.

①該二次函數(shù)的圖像與x軸一定有兩個公共點；

②當自變量x≤1時，y隨x的增大而減小，可知此時m=1；

③將圖像向左平移3個單位后，若經(jīng)過原點，可知此時m=-1；

④若x=4時的函數(shù)值與x=2008時的函數(shù)值相同，則x=2012時的函數(shù)值為-3.

識錯：（1）學(xué)生對問題的錯誤成因并非教師所能掌控的.對于①，一般學(xué)生能正確分析二次函數(shù)的圖像與x軸的交點，錯誤原因在于對判別式的錯誤理解和不會使用判別式判斷公共點的個數(shù).對于②，錯誤原因在于沒有利用數(shù)形結(jié)合思想，不能正確分析二次函數(shù)增減變化與其對稱軸之間的關(guān)系.對于③，學(xué)生對問題沒有基本的反轉(zhuǎn)思想，是最容易出錯的一個選項.對于④，錯誤的成因在于學(xué)生不能理解函數(shù)值相同的兩個點關(guān)于二次函數(shù)的對稱軸對稱，不知道從這一環(huán)節(jié)突破可大大減少問題的運算量.

思錯：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖像與幾何變換、拋物線與x軸的交點，綜合性較強，體現(xiàn)了二次函數(shù)的特點.二次函數(shù)基本問題是中考的必考問題，對此類問題的教學(xué)注重教師引導(dǎo)下的錯誤效應(yīng)分析，即以學(xué)生錯誤分析為主的啟發(fā)式教學(xué)，從方向性上給這種問題以探求的指點.此題屬于二次函數(shù)的基本功題目，基本概念和基本運算體現(xiàn)的較為突出，需要教師引導(dǎo)學(xué)生從錯誤入手分析，指導(dǎo)學(xué)生分步解答.

糾錯：本題是考查二次函數(shù)基本知識的一道試題，可以說是基本功的再現(xiàn).對于這樣的問題，二次函數(shù)的基本圖形、對稱軸的變化、與x軸的交點判斷、利用對稱思想求解對稱軸、解決二次函數(shù)的平移等知識是二次函數(shù)基本功的重要組成.在這樣的問題中還體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)與方程思想.

分析：①根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，利用判別式解答.

②利用條件分析二次函數(shù)的對稱軸，利用數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)的增減變化趨勢.

③將m=-1代入二次函數(shù)y=x2-2mx-3的解析式，求出其與x軸的交點坐標，然后進行判斷.

④利用對稱思想，可知該二次函數(shù)的對稱軸，進而可得m的值，將x=2012代入解析式進行檢驗即可.

解析：①由Δ=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0，得它的圖像與x軸有兩個公共點，故本命題正確.

③將m=-1代入解析式，得y=x2+2x-3.當y=0時，得x2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得x1=1，x2=-3，將圖像向左平移3個單位后不過原點，故本命題錯誤.

故答案為①④.

2.整合能力錯誤效應(yīng)

有別于基本功的錯誤，這里筆者要談的正是整合能力方面的錯誤.整合能力，是學(xué)生學(xué)習(xí)到一定程度，將知識進行系統(tǒng)化后出現(xiàn)的.這方面的錯誤效應(yīng)，其錯誤的體現(xiàn)相對級別更高、難度更大，要求教師精心分析學(xué)生的錯誤產(chǎn)生的緣由，并在整合能力上對教學(xué)進行下一步的思考，來提高知識銜接處的教學(xué)的有效性.

圖1

案例2：（2009年浙江嘉興）如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點，MN=4，MA=1，MB＞1.以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)點M，以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點N，使M、N兩點重合成一點C，構(gòu)成△ABC，設(shè)AB=x.

（1）求x的取值范圍；

（2）若△ABC為直角三角形，求x的值.

識錯：本題是一道綜合性、整合性較強的試題.學(xué)生錯誤的原因在于：其一，對△ABC成為直角三角形的情形分類不夠；其二，在正確分類的前提下，對求解過程中x的值是否滿足（1）中的結(jié)論沒有考慮.

思錯：本題屬于函數(shù)問題中的探究整合性問題，主要考查分類討論思想和學(xué)生的運算能力.筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在分類討論思想上忽視或欠缺，如做第二問時只考慮一種情況等，因此教學(xué)中要提醒學(xué)生分類的標準，做到不重不漏.整合性問題是學(xué)生做題時錯誤較多的問題，又是值得教師挖掘和關(guān)注的問題，從整合性問題中得到的典型錯誤，將這類錯誤的效應(yīng)集中體現(xiàn)在教學(xué)之中，既豐富了教學(xué)的真實性，也提高了整合性問題教學(xué)的有效性.

糾錯：對這樣的問題，應(yīng)將問題分解成基本、簡單的小型問題，請學(xué)生針對解答中出現(xiàn)的錯誤分組求解，請學(xué)生自行分析他人出現(xiàn)錯誤的緣由，通過組與組之間的比較來突破整合性較強的問題.

分析：（1）根據(jù)三角形的基本性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊以及兩邊之差小于第三邊，找尋關(guān)于x的不等式，進而得出x的取值范圍.

（2）對Rt△ABC進行分析，用勾股定理對存在性進行分類討論.

（2）①若AC為斜邊，則12=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，此方程無實根.

②若AB為斜邊，則x2=（3-x）2+12，解得，滿足1＜x＜2.

③若BC為斜邊，則（3-x）2=12+x2，解得，滿足1＜x＜2.

三、巧用錯誤出精彩

利用錯誤效應(yīng)來改善教學(xué)，大大提高了教學(xué)的效率，而且消除了教學(xué)中易錯問題發(fā)生的可能性.筆者認為，在如今的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中值得教師去嘗試和運用，筆者有以下一些思考.

（1）初中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是傳遞知識，也要關(guān)注學(xué)生的情感、態(tài)度、價值觀等.從錯誤效應(yīng)入手的教育觀念就是改變過去教學(xué)中過于抓難題、重訓(xùn)練，而不注重知識反思的傾向，關(guān)注學(xué)生從錯誤中去尋找學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力的獲得，也讓教師體會到從錯誤中找尋數(shù)學(xué)教學(xué)不同方式的可能性，為創(chuàng)新教學(xué)方式開辟新的道路.

（2）結(jié)合“錯誤效應(yīng)”教學(xué)方式，把學(xué)習(xí)知識的過程變成教學(xué)、反思、小結(jié)、吸收的過程，需要教師將解題教學(xué)的內(nèi)容更細致化、網(wǎng)格化.教師要多引導(dǎo)學(xué)生走進自己錯誤的地方，走向自身問題所在的節(jié)點.新課程改革不只是局限于教師改變傳統(tǒng)的課堂教學(xué)方法，還應(yīng)注重從多元化的角度去教學(xué)、思考、反思教師自身，讓學(xué)生學(xué)會從錯誤效應(yīng)中學(xué)習(xí)、鞏固、提高，使學(xué)生真正地善于發(fā)現(xiàn)問題、改善思維、規(guī)避錯誤、有自主學(xué)習(xí)能力.

課堂因差錯而精彩.筆者在數(shù)學(xué)基本功和整合能力兩個方面的數(shù)學(xué)教學(xué)中，正是從錯誤效應(yīng)的視角出發(fā)，以錯誤為載體，尋找應(yīng)對這些典型錯誤的方法，讓學(xué)生在糾錯和改錯中感悟道理、領(lǐng)悟方法、發(fā)展思維、實現(xiàn)創(chuàng)新.可以說，學(xué)生出錯對教師而言也是一種機遇和挑戰(zhàn).期待我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中能閃耀出更多的教育智慧.

1.展國培.有效教學(xué)，從關(guān)注學(xué)生開始［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2013（1）.

2.崔景南.當學(xué)生偏離教師航向時［J］.數(shù)學(xué)通報，2008（9）.

3.金鳳明.庖丁解牛與數(shù)學(xué)解題［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2008（4）.