☉江蘇省贛榆縣塔山中學 萬學友

引領教學：“課題研究”考題的價值思考

☉江蘇省贛榆縣塔山中學 萬學友

《義務教育數學課程標準》（2011年版）中關于“綜合實踐”有如下表述：“結合實際情境，經歷設計解決具體問題的方案，并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程，并在此過程中，嘗試發(fā)現和解決問題.”［1］新課改以來的十多年里，各地中考試卷中出現了一類新題型：“課題研究”類考題.筆者理解，這類考題的教學導向主要是指向教學，促進學生學會學習數學、研究數學.本文結合一些“課題研究”類考題，嘗試解讀命題價值，思考教學導向，與同行研討.

一、倡導由教材出發(fā)，自主探究新知

（1）寫出點B的坐標，并求a的值；

圖1

①求n的值；

②分別寫出平移后的兩個圖像C′和l′對應的函數關系式；

價值思考：對于第（2）問，引導再讀教材后，可將函數y=（fx）的圖像向左（或向右）平移k（k＞0）個單位后得到新的函數解析式為y=（fx＋k）（或y=（fx－k）），這樣雙曲線平移后的函數解析式為，將M（2，4）代入可得n的值，進一步平移后，一次函數的解析式可求.最后畫出平移后的圖像，利用數形結合思想（即圖像法）即可寫出不等式的解集.經歷上述“教材再讀”、“模仿操作”“、新題探究”等過程之后，解題和探究過程本身就是一種教學引領：要重視對教材的研究，加強對教材內容的深刻理解，哪怕是像教材上的一道探究習題，也值得認真、深入地研習.從這個角度看，章建躍教授的“教材的結構體系、內容順序是反復考量的，語言是字斟句酌的，例題是反復打磨的，習題是精挑細選的”［2］論點就顯得有意義.

二、重視特殊到一般，學會拓展研究

例2（2013年福建莆田第25題）在Rt△ABC中，∠C=0°，D為AB邊上一點，點M、N分別在BC、AC邊上，且DM⊥DN.作MF⊥AB于點F，NE垂直AB于點E.

（1）特殊驗證：如圖2，若AC=BC，且D為AB的中點，求證：DM=DN，AE=DF.

（2）拓展研究：若AC≠BC.

①如圖3，若D為AB的中點，（1）中的兩個結論有一個仍成立，請指出并加以證明；

圖2

圖3

②如圖4，若BD=kAD，條件中“點M在BC邊上”改為“點M在線段CB的延長線上”，其他條件不變，請?zhí)骄緼D與DF的數量關系并加以證明.

價值思考：《義務教育數學課程標準》（2011年版）在“課程內容”中提到了十個關鍵詞，其中“創(chuàng)新意識”首次出現，并且明確指出“學生自己發(fā)現和提出問題是創(chuàng)新的基礎”，本題也是強化問題意識的一個嘗試.值得一說的是，問題設計明確提出“特殊驗證”、“拓展研究”，意在傳遞研究范式，學習和研究數學不僅需要模仿、運算、演繹，還需要思辨批判，需要在一般中發(fā)現特例、構造反例，這些都是創(chuàng)新人才必備的思維品質.此外，解題中要重視特殊的意識應該成為解題教學的一種追求，這事實上關系到“模式識別”策略，即“在學習數學的過程中，所積累的知識經驗經過加工，會得出有長久保存價值或基本重要性的典型結構與重要類型——模式，將其有意識地記憶下來.當遇到一個新問題時，我們辨認它屬于哪一類基本模式，聯想起一個已解決的問題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應的方法來加以解決，這就是模式識別的解題策略.”［3］

三、善于類比探究，追求拓展延伸

例3（2013年浙江衢州第22題）提出問題：

（1）如圖5，在等邊△ABC中，點M是BC邊上的任意一點（不含端點B、C），連接AM，以AM為邊作等邊△AMN，連接CN.求證：∠ABC=∠ACN.

類比探究：

圖5

圖6

（2）如圖6，在等邊△ABC中點M是BC邊延長線上的任意一點（不含端點C），其他條件不變，（1）中的結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由.

拓展延伸：

（3）如圖7，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC邊上的任意一點（不含端點B、C），連接AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC，連接CN.試探究∠ABC與∠ACN的數量關系，并說明理由.

圖7

價值思考：類比學習不僅在數學上有廣泛的體現，在其他學科領域都有，比如響尾蛇導彈就是取自一種蛇類的名稱，這種蛇體積很小，平時使用紅外線感知器官來捕捉溫血獵物.響尾蛇導彈是世界上第一款紅外制導空導彈，它可以如同響尾蛇一樣感知敵機發(fā)出的溫度進行攻擊，在多次實戰(zhàn)中，被其擊落的飛機大概有200多架，被人們稱之為是劃時代的空中殺手.這道問題明確提出“類比探究”、“拓展延伸”也是一種強烈的教學導向，倡導學生重視類比方法.事實上，在日常教學中，方程與不等式、從分數到分式、從三角形到四邊形，從一次函數到反比例函數或二次函數等，這些學習都需要類比，學生了有類比的意識，就在潛移默化中掌握了學習數學知識的“基本套路”，這里也可順便提及章建躍教授在文4中強調的“基本套路”的教學，如代數教學中，無論是數、式、方程、不等式，都應強調從運算的角度發(fā)現和提出問題、分析和解決問題，并稱這就是“代數的整體性”.而具體對象的研究中，則要遵循“定義—表示—性質—公式、法則”的“基本套路”.

四、經歷數學活動，積累活動經驗

例4（2013年山西第25題）數學活動——求重疊部分的面積.

問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題.

圖8

如圖8，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點D與邊AB的中點重合，DE經過點C，DF交AC于點G.

求重疊部分（△DCG）的面積.

（1）獨立思考：請解答老師提出的問題.

（2）合作交流：“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將△DEF繞點D旋轉，使DE⊥AB交AC于點H，DF交AC于點G，如圖9，你能求出重疊部分（△DGH）的面積嗎？請寫出解答過程.

圖9

（3）提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學習，將△DEF繞點D旋轉，再提出一個求重疊部分面積的問題.“愛心”小組提出的問題是：如圖10，將△DEF繞點D旋轉，DE，DF分別交AC于點M，N，使DM=MN，求重疊部分（△DMN）的面積.

圖10

任務：①請解決“愛心”小組所提出的問題，直接寫出△DMN的面積是_____.

②請你仿照以上兩個小組，大膽提出一個符合老師要求的問題，并在圖11中畫出圖形，標明字母，不必解答（注：也可在圖8的基礎上按順時針方向旋轉）.

圖11

價值思考：這道考題從一個“重疊部分的面積”的數學活動出發(fā)，經過“問題情境”展示、倡導“獨立思考”后“合作交流”，并且引領學會“提出問題”，這一活動過程是對當前數學活動的一種范式引領，引導學生學會自主學習和研究數學.筆者特別欣賞這里所提的“獨立思考”，想到近期研習江蘇南通著名的特級教師李庾南老師的“自學·議論·引導”教學法，李老師認為“自學、議論、引導是教學的三個重要環(huán)節(jié)，獨立自學是基礎，群體議論是樞紐，相機引導是關鍵.它們又不僅僅是教學的環(huán)節(jié)，更應是教學的基本理念.”［5］對于獨立自學，李老師進一步指出：“在教師的引導下，學生調動自己的各種感官，以思維訓練為核心，積極、主動、自覺地獨立閱讀、傾聽、演練、操作、筆記、思考，關鍵是學生的積極思維和獨立思考.”從獨立自學的角度看，山西卷的這道考題起到很好的教學導向，即數學課堂要重視學生的獨立自學，重視學生在教師的有效指導下的獨立自學.當然，這道題最后還倡導了提出問題的教學取向，這也是所倡導的開放教學、變式教學，值得我們回味.

五、結束語

中考試題是命題組專家們的智慧結晶，不僅具有考試選拔功能，還具有很好的教學導向.作為本文的結束，有兩個建議：一是希望各地命題組專家通過相關雜志適時發(fā)布“特色試題”或“亮點試題”的命制意圖、歷程與導向；二是愿意看到更多的同行關注、研究、品味、爭鳴中考試題.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.章建躍.中學數學課改的十個論題［J］.中學數學教學參考（上），2010（3~5）.

3.羅增儒.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2008.

4.章建躍.課堂教學要注重數學的整體性［J］.中小學數學（初中版），2013（5）.

5.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.FH

·江蘇省連云港市孫朝仁名師工作室·