☉重慶市第十八中學(xué) 胡 蓉

關(guān)于反比例函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論的探索及應(yīng)用

☉重慶市第十八中學(xué) 胡 蓉

近幾年，數(shù)學(xué)中考越來越關(guān)注下面提到的定理和結(jié)論的考查，本文擬對(duì)其進(jìn)行初步地探索，以拋磚引玉，希望引起大家的重視.

結(jié)論3： 設(shè)直線AB分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)M、N，則△ACM≌△NDB.

同理，AC=DN.

又∠ACM=∠NDB=90°，所以△ACM≌△NDB.證畢.

結(jié)論4：AM=BN.

證明：由△ACM≌△NDB?AM=BN.證畢.

結(jié)論5：AN=BM=CD.

證明：AM=BN?AM+AB=BN+AB?AN=BM.

因?yàn)镃M∥BD，CM=BD，所以四邊形CDBM是平行四邊形，所以BM=CD.故AN=BM=CD.證畢.

結(jié)論6：設(shè)直線AB與直線OE相交于點(diǎn)F，則FA=FB，F(xiàn)M=FN.

證明：設(shè)直線OE與直線CD相交于點(diǎn)G，則CG=DG.

又因?yàn)锳M=BN，所以FM=FN.證畢.

例1（2009年山東威海中考）一次函數(shù)y=ax+b的圖像分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N，與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)A、B.過點(diǎn)A分別作AC⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為C、E；過點(diǎn)B分別作BF⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為F、D，AC與BD交于點(diǎn)K，連接CD.

②由文中的結(jié)論4，可得AN=BM.

（2）若將△BEF沿直線EF對(duì)折，點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值.

由OA=2，AB=4，得OC=4，CF=1，所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）.

（2）易證∠EGD=△DCF=90°，∠GED=∠CDF，所以△EGD∽△DCF.

從上述解答中我們發(fā)現(xiàn)，若將△BEF沿直線EF對(duì)折，點(diǎn)B落在x軸上的D點(diǎn)，則OD=2AE.

根據(jù)結(jié)論4和結(jié)論5，CA=DB，CB=DA.

由切割線定理，得CE2=CA·CB，DF2=DB·DA，所以CE=DF.

過點(diǎn)D作DH∥CE，交EF于點(diǎn)H，則∠DHG=∠CEG.因?yàn)椤螪HG+∠DHF=180°，而弦切角∠CEG+∠DFH=180°，所以∠DHF=∠DFH，所以DH=DF=CE.又因?yàn)椤螩GE=∠DGH，所以△CGE≌△DGH，所以CG=DG，所以CG-AC=DG-BD，所以AG=BG，即點(diǎn)G是線段AB的中點(diǎn).

這類問題在近幾年的中考中已經(jīng)成為一道靚麗的風(fēng)景線.本文的定理以及根據(jù)定理得出的若干結(jié)論并不能概括此類問題的全部特點(diǎn)，但窺一斑而知其全貌，我們已經(jīng)領(lǐng)略到此類問題十分豐富的內(nèi)涵，引領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)探索新的結(jié)論，對(duì)開發(fā)智力、培養(yǎng)能力一定會(huì)有不同尋常的作用.