☉海南省瓊州學(xué)院理工學(xué)院 王奮平

☉海南省瓊州學(xué)院理工學(xué)院 王冰玉

☉海南省海南中學(xué) 王湛卓

臺灣、英國初中數(shù)學(xué)教材比較研究*
——以英國AQA數(shù)學(xué)GCSE課本和臺灣“部編”初中數(shù)學(xué)課本為例

☉海南省瓊州學(xué)院理工學(xué)院 王奮平

☉海南省瓊州學(xué)院理工學(xué)院 王冰玉

☉海南省海南中學(xué) 王湛卓

前言

我國臺灣地區(qū)自上世紀(jì)末開始的基礎(chǔ)教育階段課程改革為島內(nèi)數(shù)學(xué)教育帶來了很大變化，九年一貫制數(shù)學(xué)教材是臺灣教育主管部門組織專家統(tǒng)一編寫的建議全島統(tǒng)一使用的教材，吸收了基礎(chǔ)與課程改革新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念和內(nèi)容要求，很有特色；英國第四學(xué)段后的GCSE考試相當(dāng)于中國的“中考”，所以第四學(xué)段和臺灣地區(qū)國中相當(dāng).臺灣地區(qū)國中每個年級數(shù)學(xué)教材分為學(xué)生用教科書和學(xué)生用練習(xí)書兩本；英國第四學(xué)段數(shù)學(xué)教材一般根據(jù)不同學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)分為基礎(chǔ)水平數(shù)學(xué)教材、中等水平數(shù)學(xué)教材、高級水平數(shù)學(xué)教材三類，供不同數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生選擇使用.英國中小學(xué)教材編寫出版來源很多，教材五花八門，即使是AQA考試委員會也有很多版本的GCSE教材，本文就英國AQA考試委員會使用的由Harper Collns Publisher Limited2007年出版的高級水平數(shù)學(xué)教材和我國臺灣地區(qū)九年制義務(wù)教育國中階段數(shù)學(xué)教材，從內(nèi)容、知識編排順序和知識呈現(xiàn)方式幾個方面加以比較.

一、臺灣、英國初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容比較

臺灣國中階段數(shù)學(xué)教材學(xué)生用教科書按照不同年級分為六本，每個年級兩本，六本書共20章1084頁；英國初中數(shù)學(xué)教材就用一本書，共27章641頁.表1就兩地初中數(shù)學(xué)內(nèi)容加以列舉比較.

表1：臺灣和英國初中數(shù)學(xué)內(nèi)容

知識點(diǎn)臺灣教材主要內(nèi)容 英國教材主要內(nèi)容幾何、圖形與證明幾何圖形的角、三角形的基本性質(zhì)(包括全等概念和SSS定理)、其他幾何圖形及其性質(zhì) （周長、面積和體積）、相似三角形、圓三角圖形（圓的周長與面積、梯形的面積、扇形、棱柱的體積、圓柱、棱錐的體積、圓錐、球體）、特殊三角形和四邊形、多邊形的角、圓的理論、四邊形的旋轉(zhuǎn)、切線和弦、弦切角定理、幾何證明和代數(shù)證明、變換幾何（全等三角形、平移變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、放大變換、組合變換）概率統(tǒng)計直角三角形中的正弦、余弦、正切比例，已知三角函數(shù)值求角、用三角函數(shù)求三角形邊長、正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像、利用正弦和余弦定理求三角形的邊和角、用正弦定理求三角形的面積均值、頻數(shù)表、數(shù)據(jù)的分類、調(diào)查、社會統(tǒng)計、抽樣、線性圖、散點(diǎn)圖、莖葉圖、累計頻數(shù)圖、箱式圖、離差的測量、互斥事件和對立事件、數(shù)學(xué)期望、組合事件、樹形圖、雙向表、獨(dú)立事件、條件概率向量 向量的性質(zhì)、向量的加減、幾何中的向量函數(shù)、方程與圖形變換資料的統(tǒng)計與分析、資料（數(shù)據(jù)）的分布、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、累計次數(shù)、盒狀圖、百分位數(shù)、組距、概率的定義、樹形圖、不等式一元一次方程式的解法、一元一次方程式的應(yīng)用、二元一次方程組（代入消元法、加減消元法）、二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程的圖形函數(shù)畫線性方程的圖形、方程的斜率、通過圖形求方程、直線圖形的實踐應(yīng)用、直線的平行和垂直、直接變換和逆變換不等式以及不等式的性質(zhì)、數(shù)軸、一元一次不等式解不等式、不等式的圖形表示（幾何意義）、不等式解決實際問題函數(shù)及其簡單性質(zhì)、函數(shù)與圖形、常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)

從表1內(nèi)容可以看到，不管是臺灣教材還是英國教材，上述內(nèi)容基本可以分為四個模塊內(nèi)容：數(shù)與量、代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計.英國教材中“數(shù)”的學(xué)習(xí)比較細(xì)致，內(nèi)容較多，前面三章的內(nèi)容分別是：數(shù)、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)、比率與比例，第一章主要內(nèi)容又分為解決實際問題、小數(shù)的除法、估算、倍數(shù)和因數(shù)以及質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)、負(fù)數(shù)等.英國教材沒有專門針對代數(shù)式的學(xué)習(xí)，臺灣教材中，代數(shù)式的學(xué)習(xí)卻是一個重點(diǎn).臺灣和英國教材中“數(shù)”的內(nèi)容基本相似.臺灣教材中沒有向量、數(shù)列和三角函數(shù)，這三項內(nèi)容在中國大陸數(shù)學(xué)教材中也在高中才學(xué)習(xí)，英國教材中卻已經(jīng)開始學(xué)習(xí)其基本概念和簡單性質(zhì)，對三角函數(shù)的學(xué)習(xí)范圍相對更加寬廣，包括正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用，高中再繼續(xù)深入學(xué)習(xí)，時間跨度很大.英國教材中沒有二元一次方程組，令人詫異的是臺灣教材中仍然保留了繁分?jǐn)?shù)的概念和運(yùn)算，繁分?jǐn)?shù)在大陸地區(qū)已經(jīng)作為“繁難偏舊”內(nèi)容而不再學(xué)習(xí).英國教材中沒有函數(shù)概念和性質(zhì)，留在高中（第五學(xué)段）來學(xué)習(xí)，而臺灣教材中很明確地學(xué)習(xí)函數(shù)，且有常數(shù)函數(shù)的定義，通過二元一次式和一次函數(shù)之間的關(guān)系給出線性函數(shù)與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系、二元一次方程組與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系等.英國教材中沒有不等式及其性質(zhì)，而在臺灣教材中，不等式及其性質(zhì)是重點(diǎn).幾何內(nèi)容中，英國教材主要學(xué)習(xí)立體幾何和圓的知識，而臺灣教材中不學(xué)習(xí)三角形及其性質(zhì)、向量及其性質(zhì)，臺灣教材的內(nèi)容和我國大陸地區(qū)各個版本新教材內(nèi)容比較接近，臺灣教材中的證明只針對幾何證明，證明方法的學(xué)習(xí)融合在幾何概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，而英國教材中的證明卻有代數(shù)和幾何證明兩種，而且專門有一章內(nèi)容來學(xué)習(xí)證明，代數(shù)證明在臺灣教材中沒有專門學(xué)習(xí).

英國和臺灣教材對歐式幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)各有側(cè)重，臺灣教材繼承了中國的傳統(tǒng)特點(diǎn)，以學(xué)習(xí)平面幾何中包括三角形全等、圓的性質(zhì)等中國初中數(shù)學(xué)傳統(tǒng)幾何內(nèi)容為主，而英國教材中平面幾何內(nèi)容很少，除了圓、梯形、扇形的面積外，基本上都是立體幾何內(nèi)容再加上現(xiàn)代幾何中的幾何變換內(nèi)容，能明顯感受到幾何發(fā)展的現(xiàn)代步伐.

數(shù)列和級數(shù)在臺灣和英國初中教材中均出現(xiàn)，臺灣教材中還專門學(xué)習(xí)等差數(shù)列，英國教材中學(xué)習(xí)通項公式，這些內(nèi)容在中國大陸屬于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的范疇.

二、臺灣、英國初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)編排順序比較

英國初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容基本順序：數(shù)與代數(shù)1（多項式、解方程、用解方程的方法轉(zhuǎn)換代數(shù)式）→簡單三角1→幾何與圖形→統(tǒng)計1（平均數(shù)、頻數(shù)表、頻數(shù)圖、條形圖表示頻數(shù)、社會調(diào)查、抽樣）→代數(shù)2（展開括號、二次多項式、利用求根公式解二次方程、用完全平方法解二次方程）→三角2（平面和立體圖形中的三角、解三角形、特殊角三角函數(shù)、求三角形面積）→統(tǒng)計2（折線圖、莖葉圖、散點(diǎn)圖、累計頻數(shù)圖、箱式圖、離差測量）→概率→代數(shù)3（代數(shù)分?jǐn)?shù)、線性和非線性方程組、二次數(shù)列）→變量→向量→圖形變化→證明，由此可見，英國數(shù)學(xué)教材各個知識點(diǎn)的安排順序是按照難度螺旋式上升的，同一個知識點(diǎn)不斷地出現(xiàn)，難度逐步增加，這種按照知識難度螺旋式上升安排的模式在全世界各個國家的教材編寫方式中比較常見.還有一種叫“塊狀式”（臺灣稱為“直線式”）教材，就是一本書中集中一章或幾章一次性學(xué)完一個知識點(diǎn)所有內(nèi)容.英國也有很多這樣的“直線式”教材，比如，很多出版社出版的高中用微積分教材、三角教材、概率統(tǒng)計教材等，都是本模塊內(nèi)容獨(dú)立編寫成一本書，一次性學(xué)習(xí)完該模塊所有內(nèi)容.

臺灣教材中各個知識點(diǎn)編排順序：數(shù)（倍數(shù)、因數(shù)）→一元一次方程→二元一次方程組→函數(shù)與坐標(biāo)系→一元一次不等式→多項式及其運(yùn)算→勾股定理→數(shù)列與級數(shù)→幾何圖形及其性質(zhì)→二次函數(shù)→概率統(tǒng)計.

臺灣教材中簡單的代數(shù)知識在倍數(shù)、因數(shù)、質(zhì)數(shù)、負(fù)數(shù)等概念之前出現(xiàn)，而英國教材中代數(shù)內(nèi)容均在數(shù)的各種概念之后，臺灣教材把代數(shù)式和方程安排在一起學(xué)習(xí)，和中國大陸數(shù)學(xué)教材的安排模式相似，而英國直接學(xué)習(xí)方程，幾乎沒有代數(shù)式內(nèi)容作為前奏和鋪墊.

對于概率統(tǒng)計內(nèi)容的學(xué)習(xí)，英國教材和臺灣教材一樣，統(tǒng)計學(xué)在前，概率在后，第十一章和第十八章分別學(xué)習(xí)統(tǒng)計學(xué)1和統(tǒng)計學(xué)2，到第十九章才開始學(xué)習(xí)概率，臺灣教材中雖然概率和統(tǒng)計內(nèi)容在同一章學(xué)習(xí)，但是安排順序仍然是統(tǒng)計內(nèi)容在前，概率內(nèi)容在后，這樣的安排順序和中國大陸大學(xué)階段各個版本概率統(tǒng)計教材的知識點(diǎn)安排方式相反.

三角函數(shù)的學(xué)習(xí)順序：先通過勾股定理學(xué)習(xí)直角三角形的性質(zhì)，再通過直角三角形中三邊的不同比例來定義正弦、余弦、正切，接著學(xué)習(xí)用三角函數(shù)求三角形的邊長，再到平面圖形中的三角函數(shù)、立體幾何圖形中的三角函數(shù)、求任意角大小、特殊角的三角函數(shù)、利用正弦函數(shù)求三角形的面積，用兩章的容量學(xué)習(xí)三角函數(shù)，難度螺旋式上升.

三、臺灣、英國初中數(shù)學(xué)教材知識呈現(xiàn)方式比較

1.英國教材引導(dǎo)—總結(jié)型知識呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)有利于提高學(xué)習(xí)效率

英國教材每章知識內(nèi)容呈現(xiàn)模式基本相同，章首知識導(dǎo)入：列出本章主要內(nèi)容概要（overview）→列出本章知識點(diǎn)結(jié)構(gòu)圖→列出與本章內(nèi)容相關(guān)的已學(xué)知識→通過一個或幾個簡單的問題幫助學(xué)生回憶已學(xué)相關(guān)知識→進(jìn)入新知識學(xué)習(xí).每節(jié)新知識呈現(xiàn)方式也基本相同：本節(jié)主要內(nèi)容和學(xué)習(xí)目標(biāo)列舉→基本概念或基本定理陳述→相應(yīng)的例題→相應(yīng)的練習(xí)題→下一個基本概念或定理陳述→相應(yīng)的例題→相應(yīng)的練習(xí)題，如此反復(fù)，最多一節(jié)一般不會超過三個基本概念或性質(zhì)、定理的學(xué)習(xí).

臺灣初中數(shù)學(xué)教材數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)方式和大陸北師大版新數(shù)學(xué)教材相似，章首沒有提前為學(xué)生展示本章知識引導(dǎo)或?qū)W習(xí)目標(biāo)，直接開門見山進(jìn)入新知識學(xué)習(xí)，基本結(jié)構(gòu)如下：以一兩個與本節(jié)新知識有關(guān)的設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入新概念、新定理、新性質(zhì)的思考→新概念呈現(xiàn)→相應(yīng)的例題→相應(yīng)的隨堂練習(xí)→下一個新概念或新定理呈現(xiàn)→相應(yīng)的例題→相應(yīng)的隨堂練習(xí)，如此反復(fù)，每節(jié)學(xué)習(xí)的新概念、新定理或性質(zhì)相對英國教材而言較多，有時候達(dá)到五六個概念、性質(zhì)或定理，有些相對簡單的概念，不需要經(jīng)過例題的學(xué)習(xí)理解，只需要用一道“動腦筋”的簡單思考題來引導(dǎo)學(xué)生探究思考后就開始練習(xí)；每一節(jié)結(jié)束后都有一份測試題，題型一般有選擇題、填空題、計算題、應(yīng)用題等四種類型，題量在6～8個左右不等.

由此可見，英國數(shù)學(xué)教材更加重視學(xué)生學(xué)習(xí)前期的引導(dǎo)，臺灣數(shù)學(xué)教材更加重視后期的檢測.相對而言，筆者認(rèn)為，英國教材更加有利于學(xué)生較高效率的學(xué)習(xí)，尤其是本章知識結(jié)構(gòu)圖和每節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)的展示，有利于學(xué)生一開始就一目了然把握本章的知識脈絡(luò)和各個知識點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系.

英國教材代數(shù)1中章首就有這樣的知識結(jié)構(gòu)圖：

同時在第三節(jié)“解線性方程”列出學(xué)習(xí)目標(biāo)：

在這一節(jié)你將會學(xué)到：

●解未知數(shù)作為分?jǐn)?shù)分子的方程；

●解帶有括號的方程；

●解等式兩邊都帶未知數(shù)的方程；

●根據(jù)已知信息建立方程并解方程.

同時列出與該章內(nèi)容相關(guān)的已學(xué)知識內(nèi)容：

●基本的代數(shù)語言；

●合并同類項的方法；

●兩項代數(shù)式的乘積2m×3n.

每節(jié)節(jié)首也都列出本節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo)，同時學(xué)習(xí)目標(biāo)旁邊也列出本章學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)鍵詞（Key words），例如在代數(shù)1第五章第三節(jié)解線性方程中就列舉出其學(xué)習(xí)目標(biāo)和關(guān)鍵詞.

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

●解分?jǐn)?shù)的分子中含有變量的方程；

●解含有括號需要展開的方程；

●解等式兩邊均含有指數(shù)的方程；

●根據(jù)已知條件建立方程并解這個方程.

同時在學(xué)習(xí)目標(biāo)右側(cè)列出關(guān)鍵詞：括號、兩邊同時進(jìn)行相同的運(yùn)算、方程、方程的解、解決問題.

英國教材每章章末還有一個總結(jié)或概括（Summary），概括分為兩部分，其一是學(xué)習(xí)效果分級，其二是應(yīng)該掌握的知識，例如在線性圖像和方程一章就有這樣的兩部分內(nèi)容.

對你評級（Grade yourself）：

D.能夠通過描點(diǎn)繪制直線圖像；

C.能夠用點(diǎn)斜式的方法繪制直線；

B.能夠繪制一個方程組兩個方程對應(yīng)的圖像；

A.能夠根據(jù)通過一些特殊點(diǎn)的相互平行或相互垂直的兩直線確定對應(yīng)的圖像的方程.

你應(yīng)該知道的知識（What you should know now）：

●如何繪制直線圖形；

●通過應(yīng)用方程組兩個方程對應(yīng)的兩條直線的交點(diǎn)求方程組的解；

●如何利用斜率來求出相互平行和相互垂直的直線的方程.

學(xué)生根據(jù)章首的知識結(jié)構(gòu)圖和學(xué)習(xí)目標(biāo)，結(jié)合每節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo)、關(guān)鍵詞，能夠?qū)訉佑忻}絡(luò)、步步有指引，有的放矢地學(xué)習(xí)，按圖索驥，根據(jù)已經(jīng)給出的知識脈絡(luò)學(xué)習(xí)，同時學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也可以不斷地按照知識結(jié)構(gòu)圖領(lǐng)會本章數(shù)學(xué)知識點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系，復(fù)習(xí)過程中也能夠按照知識結(jié)構(gòu)圖來組織各個知識點(diǎn)，有利于加深對整體知識內(nèi)容的理解，能提高學(xué)習(xí)效率.因此英國教材的知識呈現(xiàn)方式應(yīng)該比臺灣教材更加有利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，值得借鑒.

2.英國教材中數(shù)形結(jié)合思想貫穿各個知識點(diǎn)

數(shù)形結(jié)合思想的合理應(yīng)用有利于小學(xué)和初中等年齡較小、抽象思維能力尚未成熟的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，英國教材中有大量數(shù)形結(jié)合思想滲透在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中，例如，在學(xué)習(xí)一元一次方程時，一開始就學(xué)習(xí)繪制直線在坐標(biāo)系內(nèi)的圖形，讓學(xué)生了解直線和一元一次方程之間的對應(yīng)關(guān)系，再學(xué)習(xí)根據(jù)直線圖形來確定方程，接著學(xué)習(xí)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法解二元一次方程組的方法，最后學(xué)習(xí)平行直線和垂直直線對應(yīng)的方程的斜率之間的關(guān)系并會求這兩種特殊關(guān)系的直線對應(yīng)的直線方程，緊接著繼續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)對應(yīng)的圖像以及其他函數(shù)的圖像.在學(xué)習(xí)解不等式時也用數(shù)形結(jié)合的方法，一元不等式用數(shù)軸上有方向的箭頭圖形表示不等式范圍，二元不等式采用直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線上、下方彩色區(qū)域來表示不等式表示的范圍，一方面形象而生動，有利于學(xué)生正確理解不等式的實質(zhì)，另一方面也為今后學(xué)習(xí)線性規(guī)劃奠定了基礎(chǔ).數(shù)形結(jié)合思想在英國教材中大量使用，但是在臺灣教材中很少看到，解一元一次方程還是用典型的消元法思想，這和我國兩岸傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)思想有關(guān)，大陸原來使用的舊大綱教材基本上看不到數(shù)形結(jié)合解決問題的內(nèi)容，新課程標(biāo)準(zhǔn)頒布后出版的各版本新教材有所改觀，有部分內(nèi)容用數(shù)形結(jié)合思想處理，是一個好的開端.

四、例題、習(xí)題的結(jié)構(gòu)和配置比較

1.兩種教材均根據(jù)知識點(diǎn)學(xué)習(xí)需要隨時配置例題和習(xí)題

英國和臺灣教材例題、習(xí)題配置模式基本相同：新概念呈現(xiàn)→相關(guān)例題→相關(guān)練習(xí)題→下一個新概念→相關(guān)例題→相關(guān)練習(xí)題……，如此反復(fù)，直到一節(jié)所有新概念和新性質(zhì)、新定理學(xué)習(xí)結(jié)束.英國教材中每個新概念、新性質(zhì)、新定理配置2個左右的例題，臺灣教材中每個新概念、新性質(zhì)、新定理配置4個左右的例題，但是英國教材例題的解題過程非常詳細(xì)，同時配以文字解說，有時甚至增加形象的圖解說明，而臺灣教材中的例題基本上局限于形式化的推理步驟，沒有對解題步驟進(jìn)行過多的文字解釋說明，臺灣相關(guān)練習(xí)題稱為“隨堂練習(xí)題”，而英國的新概念相關(guān)練習(xí)題稱為“練習(xí)（exercise）”，不同之處是：臺灣教材中每節(jié)都有一個測試卷，稱為“自我評量”，題型有選擇題、填空題、計算題、證明題等，而英國教材中只是每章有一個考試卷，稱為“考試題（examquestions）”，一般都是計算題和證明題，沒有選擇題、填空題這樣的客觀題.

2.兩地教材例題、習(xí)題數(shù)量各有特色

總體上看，臺灣教材中每個知識點(diǎn)配置的例題數(shù)量比英國教材多，但是英國教材中習(xí)題數(shù)量遠(yuǎn)多于臺灣教材，臺灣每節(jié)的“自我評量”，題量在10個以內(nèi)，英國的“考試題（exam questions）”大題題量一般在10個左右，部分大題包含幾個小題，小題題量在20個左右.以兩種教材均有的“負(fù)數(shù)的乘法和除法”一節(jié)為例，英國教材中有4個例題，負(fù)數(shù)乘法和除法各有2個例題，而臺灣教材中僅負(fù)數(shù)乘法就有9個例題，負(fù)數(shù)除法有6個例題，英國教材中復(fù)數(shù)乘法和除法的練習(xí)題數(shù)量為41個，本章最后“考試題（exam questions）”中沒有關(guān)于負(fù)數(shù)乘法和除法的習(xí)題，而臺灣教材中有關(guān)負(fù)數(shù)的乘法和除法的練習(xí)題有21個，再加上本節(jié)的“自我評量”試卷中包含的5個關(guān)于負(fù)數(shù)乘法和除法考試題，一共26個練習(xí)題，遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于英國教材中相同知識點(diǎn)的練習(xí)題.英國教材中習(xí)題數(shù)量多的特點(diǎn)恰恰體現(xiàn)了中國數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常提到的“精講多練”的理念.

五、結(jié)論

1.臺灣和英國教材都很重視知識點(diǎn)之間的結(jié)構(gòu)和邏輯聯(lián)系

在臺灣教材中，各個知識點(diǎn)的安排順序非常重視相關(guān)知識點(diǎn)之間的邏輯聯(lián)系.例如，臺灣教材中把學(xué)習(xí)二元一次方程和二元一次方程組的解法放在同一章中來學(xué)習(xí)，先學(xué)習(xí)二元一次函數(shù)及其圖形特征，然后根據(jù)二元一次函數(shù)的圖形特點(diǎn)來學(xué)習(xí)二元一次方程之間的幾何性質(zhì)，接著再通過兩個二元一次函數(shù)在坐標(biāo)系中的圖形之間的關(guān)系學(xué)習(xí)二元一次方程組的解法；英國教材中在利用方程對應(yīng)的線性函數(shù)圖形交點(diǎn)的方法解二元一次方程組時，也是先學(xué)習(xí)直線圖形與二元一次方程的對應(yīng)關(guān)系，再學(xué)習(xí)通過圖形確定二元一次方程，接著學(xué)習(xí)利用兩個二元一次方程對應(yīng)的函數(shù)圖像的交點(diǎn)來求二元一次方程組的解，學(xué)完線性函數(shù)與它的圖像的對應(yīng)關(guān)系后，再學(xué)習(xí)二次函數(shù)、雙曲線、三次函數(shù)、不規(guī)則函數(shù)等各類函數(shù)的圖像及其簡單性質(zhì)，層層推進(jìn)，難度逐步螺旋上升，前者是后者的基礎(chǔ)，后者是前者的延伸和升華，知識面廣泛而且符合初中學(xué)生的學(xué)習(xí)心理.

2.英國教材比臺灣教材更加“形式化”

從兩地教材知識點(diǎn)呈現(xiàn)方式看，臺灣教材比英國教材中有更多的現(xiàn)實生活和生產(chǎn)情境例題和背景知識來支持相關(guān)知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，而英國教材中很少見到現(xiàn)實情境的例題.例如，臺灣教材中學(xué)習(xí)坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)時，就舉了教室里各位同學(xué)座位的縱向和橫向位置符號數(shù)組來說明點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，用投籃時籃球拋出后的軌跡來說明拋物線的幾何意義，學(xué)習(xí)相似形時，是通過講述古埃及流傳的科學(xué)家與哲學(xué)家泰利斯（Thales）通過測量自己的影子的長度來度量金字塔的高度的故事來學(xué)習(xí)的.總體上看，不管是臺灣教材還是英國教材，都比大陸各個版本的數(shù)學(xué)新教材更加“形式化”.

3.英國教材比臺灣教材更加體現(xiàn)出“精講多練”的教學(xué)思想

從兩種教材中配置的例題和習(xí)題的數(shù)量比較看，英國教材更加注重學(xué)生對相關(guān)問題的練習(xí)，英國教材設(shè)計出的練習(xí)題不但數(shù)量多，而且體現(xiàn)出“變式”訓(xùn)練思想，各種練習(xí)題題型多樣，通過多次習(xí)題的訓(xùn)練不斷強(qiáng)化學(xué)生對概念的理解.這種模式值得我國教材在完善過程中思考.

六、對我國教材改革的啟示

1.英國教材引導(dǎo)和總結(jié)結(jié)構(gòu)模式有利于學(xué)生自學(xué)和提高學(xué)習(xí)效率

英國教材中每章、每節(jié)都有學(xué)習(xí)目標(biāo)、關(guān)鍵詞等，章末有總結(jié)和概括，有利于引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，同時也有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中參照學(xué)習(xí)目標(biāo)和概括，掌握各個知識點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系，加深對各個相關(guān)知識點(diǎn)之間基礎(chǔ)和遞進(jìn)關(guān)系的理解，提高學(xué)習(xí)效率.我國各個版本數(shù)學(xué)教材一般均有章末總結(jié)和概括，但是缺乏章首、節(jié)首學(xué)習(xí)目標(biāo)的列舉和引導(dǎo)，如果能夠?qū)W習(xí)英國教材模式，增加章首和節(jié)首的引導(dǎo)，應(yīng)該會有更好的學(xué)習(xí)效果.

2.教材中生活、生產(chǎn)實際情景與數(shù)學(xué)理論知識結(jié)合要恰當(dāng)和適時

英國教材部分章節(jié)結(jié)束后有“問題解決（solving problem）”一節(jié)，專門培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，臺灣教材中也有很多數(shù)學(xué)與實際問題結(jié)合的例子.對照我國大陸地區(qū)各個版本的數(shù)學(xué)教材，實際情景與數(shù)學(xué)理論結(jié)合的程度要遠(yuǎn)高于臺灣和英國教材，實際情景的例子也更多，對于初中學(xué)生而言，能結(jié)合實際問題情境來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，但是要恰當(dāng)?shù)剡x擇合適的實際問題，不能牽強(qiáng)附會，也不能數(shù)量過多，畢竟，“形式化”是數(shù)學(xué)的基本特征之一，不能為情景化而情景化，過猶不及.

3.英國教材中的學(xué)習(xí)內(nèi)容知識面寬廣的特點(diǎn)值得借鑒

從英國教材內(nèi)容看，英國教材中專門有“證明”一章，而且分為代數(shù)證明和幾何證明兩類，三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，英國教材知識面比較寬泛，不但有平面幾何圖形中的三角函數(shù)，而且也同時學(xué)習(xí)立體幾何圖形中的三角函數(shù)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像、正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用等，而且學(xué)習(xí)數(shù)列及其通項公式，英國教材的做法可以讓學(xué)生開闊視野，了解到三角函數(shù)寬廣的使用范圍，讓初中學(xué)生從總體上一次性領(lǐng)略三角函數(shù)的各種性質(zhì)，雖然可能容量過大，但是如果學(xué)習(xí)方法得當(dāng)，應(yīng)該會對數(shù)學(xué)功底較扎實、數(shù)學(xué)興趣較高的同學(xué)有很大幫助，為他們今后的持續(xù)學(xué)習(xí)奠定寬廣的基礎(chǔ).

*該文是全國教育科學(xué) “十二五”規(guī)劃2012年度單位資助教育部規(guī)劃課題：“高中數(shù)學(xué)教科書整體知識結(jié)構(gòu)國際比較研究（FDB20423）”的成果之一.