☉浙江省杭州春蕾中學(xué) 鄭 妤

從開放題到開放的解題教學(xué)

☉浙江省杭州春蕾中學(xué) 鄭 妤

鄭毓信教授一直倡導(dǎo)從開放題到“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”（見文1、2、3），并指出“開放題的應(yīng)用事實上只是為我們改進數(shù)學(xué)教育提供了新的更大的可能性，但其本身卻并不能保證這種可能性的實現(xiàn)，這也就是指，學(xué)習(xí)空間的開拓并不等于已經(jīng)取得好的教學(xué)效果.”受到啟發(fā)，筆者結(jié)合新近一些解題教學(xué)案例中的有效追問、成果擴大，例談開放的解題教學(xué)，與廣大同行研討.

一、案例展示

案例1：平行四邊形新課后的例題教學(xué)片斷.

例1如圖1，E、F是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AE=CF，DF= BE，DF∥BE.

（1）求證：△AFD≌△CEB；

（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

教學(xué)故事：第（1）問很簡單，一般學(xué)生利用此前學(xué)習(xí)的全等（SAS）知識可以證明.第（2）問安排學(xué)生講解思路如下：

生1：第（2）問由△AFD≌△CEB，證得AD=BC且AD∥BC.

師：理由是？

生1：根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

師：如果連接DE、BF，四邊形DEBF是平行四邊形嗎？

生2：是平行四邊形，由前面得到的△AFD≌△CEB，容易得出DF=BE且DF∥BE.

師：正確！如果再連接BD，你們還能得到怎樣的結(jié)論呢？

生3：AC與BD互相平分.

生4：EF與BD也互相平分.

師：很好.學(xué)會變式思考和深入追問，往往能從“做一題”到“會一類”，提高解題能力.

案例2：等腰三角形習(xí)題課上的教學(xué)片斷.

例2 已知，點O到△ABC兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB=OC.

（1）如圖2，若點O在邊BC上，求證：AB=AC；

（2）如圖3，若點O在△ABC內(nèi)部，求證：AB=AC.

教學(xué)故事：第（1）問利用全等很快證出（在圖2中添加兩條垂線段構(gòu)造直角三角形）；第（2）問的教學(xué)對話如下：

生5：如圖3，過點O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分別是垂足.

師：（打斷生5繼續(xù)表達）你怎么想到添加這樣的輔助線？

生5：受到上一問的影響，也添加這兩條輔助線，這樣可以得到全等三角形.

師：很好，講解思路時，特別是輔助線的添加要說清楚為什么想到的？是基于什么念頭？

生5：由題意知，OE=OF.根據(jù)“HL”可證Rt△OEB≌Rt△OFC，從而∠OBE=∠OCF.又由OB=OC，知∠OBC=∠OCB，所以∠ABC=∠ACD，所以AB=AC.

師：正確！同學(xué)們再思考若點O在△ABC外部，AB= AC成立嗎？請畫圖表示.

（學(xué)生獨立思考5分鐘后，小組內(nèi)交流2分鐘）

生6：不成立，我畫出了一種圖形，如圖4.

生7：也有可能成立，如圖5.

師：大家認(rèn)為怎樣回答這個問題更完整呢？

生7：應(yīng)該答不一定成立，然后給出圖4、圖5兩種圖形進行解釋.

師：很好！生7的解答值得大家學(xué)習(xí)，建議大家記一下他的規(guī)范解答.這種問題和設(shè)問方式在不少綜合題中都有體現(xiàn).

案例3：習(xí)題選自文4.

【閱讀理解】

【問題解決】

（1）如圖6，在△ABC中，BC=2.5，AC=6，AB=6.5.請用“海倫公式”求△ABC的面積.

（2）小怡同學(xué)認(rèn)為（1）中的運算太繁，并想到了一種不同的解法.你知道他想到了什么方法？請寫出來.

師：完成得很好，特別是第（2）問對特殊的“勾股數(shù)組”保持著敏感，很快洞察出這道問題的簡潔算法.這兩天我們剛學(xué)過平行四邊形這一章，老師還想追問一個問題：

（3）將（1）中的△ABC沿一邊翻折，求得到的四邊形的對角線的長.

（學(xué)生經(jīng)過5分鐘的獨立演算后）

生9：我得到一個矩形，所以對角線的長都是6.5.

師：大家怎么看生9的解答？

師：不錯，對于完整解答似乎還缺少點什么？

生11：應(yīng)該分三種情況，若沿邊長為2.5的邊翻折，此時得到一個三角形；若沿邊長為6的邊翻折，此時也得到一個三角形；若沿邊長為6.5的邊翻折，就是剛才生10的解答了.

師：正確！生11的分類意識很強，盡管最后解答只是生10的那一組解，但在完整解答時并不能漏去所有可能的情況，也就是這類問題需要“先分類、再取舍”，分類的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)火熱的思考.

二、教學(xué)反思

上述案例是近期解題教學(xué)中的積累，一個共同點就是初始問題都具有封閉性，但經(jīng)過有效追問、師生對話，使得原本相對封閉的數(shù)學(xué)題得到開放、發(fā)展，追求了開放的解題教學(xué).以下再圍繞上述三個案例所追求的開放的數(shù)學(xué)教學(xué)展開相關(guān)反思.

反思之一：重視變式教學(xué)，促進自主學(xué)習(xí)

張奠宙教授曾說：“在中國的數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，變式問題從來不是紙上談兵式的理論研究，而是具有廣泛的課堂教學(xué)實踐基礎(chǔ)的課題.”［5］如，20世紀(jì)80年代顧泠沅在總結(jié)青浦?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗的《學(xué)會教學(xué)》一書中，就對變式教學(xué)進行了系統(tǒng)而深入的研究與理論分析，并將數(shù)學(xué)變式分為概念性變式和過程性變式兩類.［6］上文三個案例在追問、對話中，都實現(xiàn)了初始問題的變式發(fā)展，追求了開放的數(shù)學(xué)教學(xué).值得指出的是，我們應(yīng)該通過課堂上教師追問下變式的示范，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解答問題時學(xué)會自主變式，將問題生長、發(fā)展，即讓學(xué)生在潛移默化中學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會反思，學(xué)會發(fā)展，善于探究和深入思考.

反思之二：善于引導(dǎo)追問，展示火熱思考

眾所周知，教師與醫(yī)生一樣，都是專業(yè)技術(shù)人員.一線教師需要在課堂上與學(xué)生充分對話，并根據(jù)對話的內(nèi)容做出即時的決策，常常要對預(yù)設(shè)內(nèi)容做出調(diào)整，或按課前預(yù)設(shè)的核心主線展開有效追問與引導(dǎo)，提高教學(xué)效益.而有效引導(dǎo)或追問的前提是知道、了解學(xué)生已經(jīng)知道了什么，掌握到什么程度，這正是美國教育心理學(xué)家戴維·奧蘇貝爾的觀點：“影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么，要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進行教學(xué).”［7］在此基礎(chǔ)上，通過追問將學(xué)生的思考展示出來，把冰冷的答案形式恢復(fù)成火熱的思考是我們應(yīng)該追求的.如在上文“案例2”中，當(dāng)學(xué)生6回答出另一種可能后，如果倉促結(jié)束問題，可能不少學(xué)生對這類問題的完整解答仍然沒有深刻的理解，將來還會出現(xiàn)“一錯再錯”的現(xiàn)象.但是引導(dǎo)和追問生7“怎樣回答這個問題更完整呢？”于是，生7用完整的解法示范了這類問題的規(guī)范解答.

反思之三：倡導(dǎo)認(rèn)真傾聽，思辨他人思路

日本著名教育學(xué)者佐滕學(xué)指出：“教師的關(guān)鍵不在于說而在于聽.我也認(rèn)識到當(dāng)今世界很多優(yōu)秀的教師，大家都認(rèn)為教師的工作重心是傾聽.對學(xué)生來講同樣如此，只有更好的傾聽，才能達到更好的學(xué)習(xí)效果.我們需要明確的是‘互相學(xué)習(xí)’和‘互相說’是完全不同的兩件事.”［8］佐滕學(xué)提出師生需要學(xué)會傾聽的建議是值得重視的.當(dāng)然，認(rèn)真的傾聽是為了更好的理解，然后對他人的思路做出思辨、評價和取舍是更重要的.在上文“案例3”中，生9的解答出錯，生10的解答不全面，這時如果師生對他們的解法沒有進一步的思辨，難以保證這樣的開放式教學(xué)有什么好的效果，一定意義上，反而會產(chǎn)生負面效應(yīng).在這個意義上，所謂的開放的數(shù)學(xué)教學(xué)，需要教師作為專業(yè)人士駕馭全局，認(rèn)真傾聽、敏于診斷、即時追問和引導(dǎo)，并帶動學(xué)生注意思辨他人的思路，唯有這樣堅持下去，一方面能提高解題教學(xué)的效果，達到“做一題，會一類，通一片”的效果，另一方面，也是培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑、批判的思辨意識，對學(xué)生的“長遠利益”也是大有好處的.

1.鄭毓信.開放題與開放式教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2001（3）.

2.鄭毓信.再論開放題與開放式教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2002（6）.

3.鄭毓信.“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.

4.夏盛亮.引導(dǎo)回歸教材，倡導(dǎo)開放教學(xué)——一次縣級期末卷的命題取向分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（1）.

5.張奠宙，于波.數(shù)學(xué)教育的“中國道路”［M］.上海：上海教育出版社，2013.

6.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1）.

7.［美］戴維·奧蘇貝爾.教育心理學(xué)：一種認(rèn)知觀點［M］.北京：人民教育出版社，1994.

8.［日］佐滕學(xué).21世紀(jì)學(xué)校改革的方向［J］.人民教育，2014（1）.FH