☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部 邢成云

經(jīng)驗打底 畫板助力
——八年級《13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題》教學(xué)設(shè)計

☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部 邢成云

一、前提

1.學(xué)情分析

（1）認(rèn)知基礎(chǔ).

在七年級已經(jīng)研究過“兩點(diǎn)之間，線段最短”、“垂線段最短”等最短路徑問題以及有關(guān)平移的基本知識，在本章的前面學(xué)生也初步掌握了作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)，所有這些內(nèi)容構(gòu)成了本節(jié)課的認(rèn)知基礎(chǔ).

（2）活動經(jīng)驗.

通過初中學(xué)段一年多的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)有了圖形變換以及模型構(gòu)建的意識，獲得了初步的數(shù)學(xué)化之思維轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，具備了一定的主動參與、合作交流的意識和初步的觀察、分析、歸納、猜想和解決問題的能力.

2.教材分析

本節(jié)是“課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題”，是本章的最后一節(jié).教科書在這一節(jié)中安排了兩個問題，分別是“牧馬人飲馬問題”和“造橋選址問題”，解決這兩個問題的關(guān)鍵是通過軸對稱和平移等變化把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于“兩點(diǎn)之間，線段最短”的問題，在解決這兩個問題的過程中滲透了“化歸”的思想.

3.教學(xué)目標(biāo)

通過探究1、探究2進(jìn)一步熟悉軸對稱作圖以及平移變換作圖等基本技能，體會如何以這些素材為載體，利用本章所學(xué)的軸對稱等知識解決一類實際問題——選擇最短路徑問題，在觀察、操作、想象、論證、交流的過程中，獲得解決此類問題的基本套路及經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念，激發(fā)內(nèi)在興趣.

4.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：探究1的思路獲取及問題解決是重點(diǎn).

難點(diǎn)：探究2的解決是難點(diǎn).

5.教學(xué)方法

問題——探究教學(xué)法（幾何畫板輔助）.

通過史料創(chuàng)設(shè)問題情景，給學(xué)生提供了廣闊的思考空間.引導(dǎo)學(xué)生在動手（作圖）操作中調(diào)整自己的思路、想法，探尋出解決問題的思維路徑，在幾何畫板的支持下，增進(jìn)體驗，幫助學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)、驗證等，然后在拓展活動中遷移使用所獲得的基本經(jīng)驗，力求達(dá)到深入領(lǐng)會其應(yīng)用價值的目的.

二、教學(xué)過程設(shè)計

1.以史創(chuàng)境，引趣入題

設(shè)計意圖：通過“將軍飲馬”問題，烘托問題情境，在歷史經(jīng)典中喚起學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生探尋的欲望.不求學(xué)生能立即獲得答案，主要定位于鼓舞斗志及問題的取向，把學(xué)生引領(lǐng)到研究的航道上來.

傳說在古羅馬時代的亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天，一位將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題.將軍每天都從軍營A出發(fā)（如圖1），先到河邊l飲馬，然后再去河岸的同側(cè)B開會，他應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？據(jù)說當(dāng)時海倫略加思索就解決了它.同學(xué)們，你知道問題的答案嗎？你能想象出海倫當(dāng)時是怎樣解決的嗎？

教學(xué)說明：一般來說，學(xué)生不會張口就能回答，除非已經(jīng)預(yù)習(xí).因此，不論學(xué)生怎樣回答，我們都要作積極地回應(yīng)，如適切的評點(diǎn)、激勵等，把學(xué)生的好奇心給撩撥起來，然后讓學(xué)生在這種積極心下展開探究，發(fā)揮好其助推作用.

2.問題引領(lǐng)，層級遞進(jìn)

設(shè)計意圖：為了落實好兩個核心探究，通過設(shè)置基本問題作為先行組織者，在溫故中實現(xiàn)引新，為展開探究提供知識、方法及經(jīng)驗的支持.

問題1：如圖2所示，從A地到B地有三條路可供選擇，選擇哪條路路程最短？你的理由是什么？

共識：線段AB，因為“兩點(diǎn)之間，線段最短”.

問題2：如圖3，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？原因是什么？

共識：連接AB，交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為泵站的位置.原因仍然是“兩點(diǎn)之間，線段最短”.

教學(xué)說明：問題1的回答估計沒有問題，但對于問題2可能會出現(xiàn)一類錯誤：由A向直線l作垂線段，垂足為C，認(rèn)為C是泵站的位置.此時可通過追問緣由的方式引起學(xué)生對最短的探尋，實際上這個狀態(tài)對應(yīng)的管線長為AC+CB，而連接AB交直線l于點(diǎn)C時的管線長為線段AB，很顯然，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“三角形中，任意兩邊之和大于第三邊”，可以推翻原有的錯誤認(rèn)識.總之，要關(guān)注現(xiàn)場的生成資源并有效利用，以保預(yù)設(shè)與生成的和諧.

三、畫板支持，手腦并用

探究1：如圖4，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后回到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

設(shè)計意圖：設(shè)置問題1增進(jìn)遷移，實現(xiàn)同側(cè)最值問題向異側(cè)最值問題的轉(zhuǎn)化，問題2通過驗證與證明實現(xiàn)合情推理向邏輯推理的過渡，期間需要幾何畫板的功能支持.

問題1：前面我們已經(jīng)解決了A、B兩點(diǎn)在直線兩側(cè)的最短問題，下面請同學(xué)們思考并嘗試，若這兩點(diǎn)居于直線的同側(cè)，該怎樣找到那樣的點(diǎn)P，使得AP與BP的和最小？

分析：在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A、B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和.現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的那個點(diǎn)來.

預(yù)設(shè)思路：（化異側(cè)為同側(cè)）先作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接BA′，交l于P，則P點(diǎn)即為所求.

問題2：若找到了那樣的點(diǎn)，請證明結(jié)論的正確性.

教師用幾何畫板驗證后再展開證明的探索.

證明如下.

證明：如圖5，在直線l上取一點(diǎn)P′（異于點(diǎn)P）.

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可知AP′= P′A′，AP=PA′.

則AP′+P′B=A′P′+P′B＞A′P+ PB=AP+PB.

由此可知：A到B經(jīng)P點(diǎn)距離最短.

教學(xué)說明：通過學(xué)生的嘗試，提出大膽的猜想，而后利用幾何畫板的測量功能，度量出AP+BP，然后拉動點(diǎn)P，記作點(diǎn)P′，度量出AP′+P′B ，呈現(xiàn)它們的大小，印證AP+BP最短.最后通過師生交流，形成兩條基本經(jīng)驗：（1）此類問題的解答，實際上就是通過軸對稱變換，把A、B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”加以解決；（2）在證明最大或最小問題時，往往需要另找一個量與要求證的最大或最小量進(jìn)行比較來證明.

同步練習(xí)：

（1）對課始的問題來說，你知道海倫是怎樣解決的嗎？

（2）八年級某班同學(xué)做游戲，在活動區(qū)域邊放了一些球，如圖6，則小明按怎樣的路線跑，去撿哪個位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A處？

答案：（1）如圖7所示的方案.

（2）如圖8所示：路線為小明—P—A.

教學(xué)說明：有了探究1的引路，要求學(xué)生獨(dú)立完成兩個練習(xí)，然后交流結(jié)果，以印證解題的基本套路，鞏固剛剛獲得的基本經(jīng)驗.

探究2：（造橋選址問題）如圖9，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋應(yīng)造在何處，才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

設(shè)計意圖：通過設(shè)置問題3、4，在探究1獲得的經(jīng)驗基礎(chǔ)上，把問題引向深入，使得平移變換自然呈現(xiàn)，進(jìn)一步體現(xiàn)圖形變換在最短路徑問題中的價值.

問題3：本問題又變成了點(diǎn)在直線兩側(cè)的問題，但一條直線拓寬成了一條河，請同學(xué)們思考，要在河上造一座橋MN，橋應(yīng)造在何處，才能使從A到B的路徑AMNB最短？

分析：由于河岸寬度是固定的，造的橋要與河垂直，因此路徑AMNB中的MN的長度是固定的.可用幾何畫板探測這樣的最小值是否存在.若存在，探測在哪里取得.現(xiàn)場具體操作如下.

（1）畫直線a，過a外一點(diǎn)畫直線b∥a，用a、b表示河兩岸，在河岸的兩側(cè)各取一點(diǎn)A、B ，在a上任取一點(diǎn)M，作MN⊥直線b，垂足為N，MN即可表示橋的位置，連接AM、NB，則AMNB可表示A到B的路徑，如圖10；

（2）度量線段AM、MN、NB的長度，并計算它們的和；

（3）拖動點(diǎn)M，可以發(fā)現(xiàn)AM+MN+NB的值會發(fā)生變化，且有一個最小值.

獲得結(jié)論：確實存在一個位置，使得AM+MN+NB的值最小，此時對應(yīng)著路徑AMNB最短.

方案探索：從幾何畫板呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)以及剛才的分析可知，無論橋建在何處，其長度是固定的，因此要使AM+ MN+NB的值最小，只需AM+NB的值最小即可，關(guān)鍵是這一段如何體現(xiàn).實際上可把這段寬度看作是一條直線變寬形成的，如此一來就和平移掛起鉤來，這樣方案就有了.

既成畫法：（1）將點(diǎn)A沿與河垂直的方向平移MN的距離到A1；

4.反觀課堂，提煉小結(jié)

問題清單如下所示.

（1）將軍飲馬類問題解決的基本套路？

達(dá)成共識：就是通過軸對稱變換，把兩點(diǎn)在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線兩側(cè)的問題，從而可利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”加以解決.

（2）通過探究2和拓展練習(xí)，我們在造橋選址問題上已經(jīng)獲得了哪些經(jīng)驗？

達(dá)成共識：對于造橋選址問題，要使所得到的路徑最短，就是要通過平移變換，使除橋長不變外所得到的其他路徑經(jīng)平移后在一條直線上.

（3）解決路徑最短問題時，我們常用的圖形變換是什么？目的何在？

達(dá)成共識：通常借助軸對稱變換、平移變換等，把問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的模型去解決.

5.布置作業(yè)

略.

6.拓展練習(xí)

（1）如圖18，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，點(diǎn)P是底邊AC上一個動點(diǎn)，M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，若PM+PN的最小值為2，則△ABC的周長是（ ）.

（2）如圖19，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對稱點(diǎn)，線段MN交OA、OB于點(diǎn)E、F，若△PEF的周長是20cm，則線段MN的長是________.

三、評價與反思

本節(jié)課通過經(jīng)典史料設(shè)問，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，而后利用“線段公理”這一先行組織者，從學(xué)生已有的知識出發(fā)，通過問題引路，借助幾何畫板，進(jìn)行了兩個探究活動的教學(xué)設(shè)計，整節(jié)課充滿學(xué)生的嘗試、辯駁，合情與邏輯攜手、預(yù)設(shè)與生成和聲，現(xiàn)代技術(shù)的支持為課堂增色.整體觀之，有三大特色.

1.已有經(jīng)驗的先行組織

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗充實了與時俱進(jìn)的新“四基”，要展開探索與研究，學(xué)生已有的知識經(jīng)驗起著先導(dǎo)的作用，有效利用能發(fā)揮它們的引領(lǐng)作用.引橋的搭建、思維缺口的彌合都離不開經(jīng)驗的策動力，大膽的猜想源于借助已有經(jīng)驗的認(rèn)知分析，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗涉及數(shù)學(xué)活動中的體驗、理解和感悟等，活動經(jīng)驗的遷移，也是厚積薄發(fā)的過程，這種能遷移的活動經(jīng)驗，是憑借已有經(jīng)驗，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，把經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為新情景下的思路，通過往復(fù)“留痕”及反復(fù)強(qiáng)化、沉淀形成的，這樣的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，其遷移性能才會好.三個教學(xué)環(huán)節(jié)中的問題解決過程設(shè)計，就充分展現(xiàn)了已有經(jīng)驗不斷遷移應(yīng)用的歷程，有濃濃的課題學(xué)習(xí)的味道.

2.幾何畫板的開發(fā)與利用

本課時是一節(jié)課題學(xué)習(xí)，是軸對稱及平移等圖形變換的價值體現(xiàn)，自然盈滿幾何作圖，同時兩個問題都帶有一定的挑戰(zhàn)性、探索性，為幾何畫板的使用提供了條件，整節(jié)課處處有畫板的痕跡，幾何畫板的探測與驗證功能與邏輯推理的聯(lián)袂，呈現(xiàn)出強(qiáng)大的優(yōu)勢，化解了本節(jié)課的難點(diǎn).

3.問題情境貫徹始終

“問題”就是暫時的矛盾，是指一個人在有目的地追求而尚未找到合適手段時所感到的心理困境.問題烘托情境，情境凸顯問題，問題驅(qū)動思維，思維演繹精彩.整個課堂以“問題”為主脈，驅(qū)動著學(xué)生積極介入探索，在解決問題的同時，獲得了解決最短路徑問題的基本套路，形成后繼學(xué)習(xí)的新經(jīng)驗，這些經(jīng)驗具有較強(qiáng)的遷移效能.WG