☉江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校 李玉榮

需要列方程求解嗎？──三道幾何競(jìng)賽題的另解

☉江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校 李玉榮

平面幾何是研究平面圖形性質(zhì)的一門學(xué)科，據(jù)調(diào)查，很多人真正喜歡數(shù)學(xué)是從學(xué)習(xí)幾何開始的，歷史上一些著名的科學(xué)家，如阿基米德、牛頓、羅素、愛因斯坦，都曾被歐幾里德幾何迷住過，那一步步“怎樣才能得到”引人入勝，一行行“∵，∴”令人陶醉，更具魅力的是命題者自己都難以知道是否還有更多、更好的解法.

馬小為先生主編的《中學(xué)數(shù)學(xué)解題思想方法技巧（初中）》一書有這樣三道題：

例1 如圖1，已知四邊形ABCD為直角梯形，且AB= BC=2AD，PA=1，PB=2，PC=3，求直角梯形ABCD的面積.

解析：設(shè)⊙O的半徑為r，QO=m，則QP=m，QC=r+m，QA=r-m.

點(diǎn)評(píng)：注意到BA=BC且∠ABC=90°，利用旋轉(zhuǎn)變換，將PA、PB、PC集中到一個(gè)三角形中，再由勾股定理的逆定理判斷得出該三角形是一個(gè)直角三角形，進(jìn)而解決了問題.

點(diǎn)評(píng)：利用內(nèi)切圓的特點(diǎn)，得出DE=BD+CE，借用“相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比”避免了復(fù)雜的代數(shù)變形，問題很簡(jiǎn)潔地得解.

數(shù)學(xué)大師波利亞在《怎樣解題》一書中寫到：即便是相當(dāng)優(yōu)秀的學(xué)生，在得到了題目的解答，并將整個(gè)論證簡(jiǎn)潔地寫下來(lái)以后，就會(huì)合上書，去找別的事做.他們這樣的做法，遺漏了解題中一個(gè)重要而且有益的階段……盡管如此，錯(cuò)誤總是有可能存在的，尤其是當(dāng)論證冗長(zhǎng)且復(fù)雜時(shí)更是這樣，因此，需要進(jìn)行驗(yàn)證，如果存在著一些快捷而直觀的步驟可用于檢驗(yàn)結(jié)果或論證時(shí)，尤其不應(yīng)該忽視它.可見，要真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，十分有效的是在日常解題教學(xué)中創(chuàng)造并抓住機(jī)會(huì)，反復(fù)告誡學(xué)生：你能以不同的方式推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果嗎？FH