☉江蘇省泰興中學(xué) 吳衛(wèi)東

雙參換元，構(gòu)造二次曲線巧解含根式問題

☉江蘇省泰興中學(xué) 吳衛(wèi)東

一般來說，利用代數(shù)方法解決含根式的問題比較繁瑣，因?yàn)閷?duì)根式而言，變形的主要方法是平方.由上面的簡(jiǎn)單例子可以看出，函數(shù)與方程之間存在著必然的聯(lián)系.本文結(jié)合近幾年來的競(jìng)賽或高考試題，通過引入兩個(gè)變量，即雙換元的方法，將代數(shù)中的根式問題轉(zhuǎn)化為解析幾何中的二次曲線問題，總結(jié)出幾種常用的轉(zhuǎn)化途徑.

途徑1 轉(zhuǎn)化為二次曲線上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離問題

點(diǎn)評(píng)：引入雙參數(shù)后，轉(zhuǎn)化為圓上的動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離的范圍問題.

途徑2 轉(zhuǎn)化為二次曲線的動(dòng)點(diǎn)到一定直線的距離問題

點(diǎn)評(píng)：（1）引入雙參數(shù)，轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定直線的距離的范圍問題；

途徑3 轉(zhuǎn)化為過二次曲線的點(diǎn)的直線系的縱截距問題

例3（2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西預(yù)賽）

途徑5 轉(zhuǎn)化為二次曲線上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率問題

總之，通過引入雙參數(shù)，將根式變?yōu)橛欣硎?，充分挖掘代?shù)式所隱含的幾何特征（如距離、截距、斜率等），構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系與二次曲線，利用點(diǎn)、直線與二次曲線的的關(guān)系（相切、過曲線弧的端點(diǎn)等），巧妙地將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題去求解.