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        一道環(huán)球城市數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的推廣

        2014-02-01 02:32:40廣州大學(xué)計(jì)算機(jī)教育軟件研究所劉鳳鳴朱華偉
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2014年2期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)

        ☉廣州大學(xué)計(jì)算機(jī)教育軟件研究所 劉鳳鳴 朱華偉

        一道環(huán)球城市數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的推廣

        ☉廣州大學(xué)計(jì)算機(jī)教育軟件研究所 劉鳳鳴 朱華偉

        1983環(huán)球城市數(shù)學(xué)競(jìng)賽秋季賽第一題:

        題目 考慮正方形ABCD中的一點(diǎn)M,證明:三角形ABM,BCM,CDM和DAM的中線交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形.

        證明:如圖1,設(shè)E,F(xiàn),G,H分別是△ABM,△BCM,△CDM和△DAM的重心,P,Q,R,S分別是AB,BC,CD,DA邊的中點(diǎn),顯然,四邊形PQRS是正方形.

        評(píng)注:通過觀察發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)M不在正方形ABCD內(nèi)時(shí),這個(gè)結(jié)論仍然成立,證明的方法同上.

        下面我們來討論對(duì)于正三角形這一結(jié)論是否成立.如果成立的話,重心所構(gòu)成的正三角形與原三角形是相似的,它們的面積比又等于多少呢?

        命題1:已知正三角形ABC和平面上一點(diǎn)M(不與點(diǎn)A,B,C重合),那么三角形ABM,BCM和CAM的重心構(gòu)成一個(gè)正三角形.

        證明:如圖2,設(shè)點(diǎn)O,P,Q分別是三角形ABM,BCM和CAM的重心,點(diǎn)X,Y,Z分別是AB,BC和CA邊的中點(diǎn).

        我們不妨對(duì)原題進(jìn)行推廣,看看其他正多邊形是否也有這種性質(zhì),并進(jìn)一步思考:連接重心得到的正多邊形與原正多邊形的面積比為多少?

        命題2:已知正n邊形A1A2…An和平面上一點(diǎn)P(不與點(diǎn)A1,A2,…,An重合).求證:△PA1A2,△PA2A3,…,△PAnA1的重心也構(gòu)成一個(gè)正n邊形.

        證明:如圖3,設(shè)G1,G2,…,Gn為△PA1A2,△PA2A3,…,△PAnA1的重心,點(diǎn)M1,M2,…,Mn為A1A2,A2A3,…,AnA1的中點(diǎn).

        那么正n邊形G1G2…Gn與正n邊形A1A2…An的面積又有什么聯(lián)系呢?設(shè)正n邊形A1A2…An的面積為SA,正n邊形G1G2…Gn的面積為SG,正n邊形M1M2…Mn的面積為SM.

        1.中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克委員會(huì).環(huán)球城市數(shù)學(xué)競(jìng)賽問題與解答第1冊(cè)[M].北京:開明出版社,2004.

        2.包恩萍.正n邊形中關(guān)于面積的一個(gè)數(shù)列通項(xiàng)[J].讀寫算(教育教學(xué)研究),2011(16).

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