☉浙江省象山中學(xué) 祝益鋒

讓解題思路來的更自然些
——從兩道高考題說起

☉浙江省象山中學(xué) 祝益鋒

筆者在做2013年遼寧高考卷（理科），發(fā)現(xiàn)遼寧兩道壓軸題考生得分不高，筆者認(rèn)為得分低的主要原因是學(xué)生未能較好的掌握通性通法，而這又是因為有相當(dāng)一部分教師在教學(xué)或研究中有意或無意的顯示自己在解題方面的“特技”，不注重對學(xué)生通性通法的指導(dǎo)，使學(xué)生受到潛移默化的影響所致，學(xué)生看到這些題目時首先考慮的不是通性通法，而是特殊技巧，思路混亂，解題時一旦遇阻就毫無章法.借此筆者談?wù)勗跀?shù)學(xué)解題中怎樣使解題思路自然而然地展開，少一些技巧，多一點自然.

A.有極大值，無極小值

B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值

D.既無極大值也無極小值

上述的解題思路說明一個道理：自然而然、水到渠成的解題過程，常常源自思維方法上的質(zhì)樸！

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

本文主要分析第（2）問，我們先看給的標(biāo)準(zhǔn)答案（摘錄部分）如下：

感悟：《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.”人們在解決問題時，經(jīng)歷了猜想，再著手驗證的過程，從局部到整體，層次分明，逐次漸進(jìn)，并且后者與前者有密切的邏輯聯(lián)系，就像爬坡一樣拾級而上.思路也隨著問題的出現(xiàn)而逐漸深入，但每步都是那么自然和順利成章.當(dāng)我們遇到“難題”和新穎的試題而一籌莫展無從下手時，不妨先把問題簡化一下，以突出其關(guān)鍵信息，特別地“把一個比較復(fù)雜的問題，‘退’成最簡單最原始的問題，把這個最簡單、最原始的問題想通了、想透了”，然后再歸納、綜合而實現(xiàn)飛躍，“這是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅”.解答任何一個有困難的數(shù)學(xué)問題都應(yīng)該從簡單的情形開始！教育數(shù)學(xué)的先行者張景中院士一向主張為教育而數(shù)學(xué)，改造數(shù)學(xué)使之更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)，解題數(shù)學(xué)何嘗不是這樣，讓解法是自然的，平易近人的.

但是，有些教師在解題中過于渲染解題技巧，至于技巧怎么來的，其中又蘊含著怎樣的數(shù)學(xué)思想方法，往往不作解釋，或語焉不詳，讓人只能停留在“欣賞”層面，不會產(chǎn)生心領(lǐng)神會的心靈共鳴.筆者認(rèn)為從基本概念、原理出發(fā)，以基礎(chǔ)知識為依托、以基本方法為技能，按照既定的步驟，逐步推出問題和解答，解法思想順乎一般思維規(guī)律，其具體操作過程應(yīng)該為多數(shù)學(xué)生所掌握.

題3（2008年浙江高考第8題改編）已知cosα+2sinα=，求tanα的值.

許多文章都對此題做了多種解答，不乏有精彩的，但又有些值得商榷，比如有導(dǎo)數(shù)法，左右兩邊求導(dǎo)得出，-sinα+2cosα=0，tanα=-2，馬上得出結(jié)果，解法之快，不得不佩服，但此方法是否具有“普適性”呢？請看下面同樣是浙江省的高考題：

如果用導(dǎo)數(shù)法，此方法在此題中就失靈了.這兩題都是考查基本的兩角和正、余弦公式，所以自然的想法就是逆用正、余弦公式，解法如下：

當(dāng)然還有其他解法這里不再例舉.

正如著名數(shù)學(xué)史學(xué)家M.克萊因曾說，“把函數(shù)的連續(xù)性說成是一條可以用鉛筆不間斷移動所畫出的曲線，比起ε-δ的定義來，要容易掌握得多??！”，“數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過是它微不足道的方面：它們遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠(yuǎn)不能當(dāng)作繪畫一樣.技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物.”

用最簡單的、最直觀的方法說明最深刻的道理，才是數(shù)學(xué)之精髓，才是大道.

1.王芝平，王敬華.讓解題思路來的更自然一些［J］.數(shù)學(xué)通報，2013（2）.

2.章建躍.注重通性通法才是好數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2011（11）.