☉廣西省南寧市四十二中 農(nóng)仕科

關(guān)于高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用研究

☉廣西省南寧市四十二中 農(nóng)仕科

高中新課標(biāo)中，利用導(dǎo)數(shù)分析和解決問(wèn)題，為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用價(jià)值的鮮明體現(xiàn).導(dǎo)數(shù)在應(yīng)用中始終貫穿著函數(shù)思想，且在應(yīng)用領(lǐng)域呈現(xiàn)不斷擴(kuò)大的態(tài)勢(shì).新課改在對(duì)高考題目的考查中，有逐漸加強(qiáng)的態(tài)勢(shì).

一、導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用

1.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值就是曲線在該點(diǎn)處的切線斜率，應(yīng)用中注意函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，曲線在該點(diǎn)處一定存在切線，但是曲線在某點(diǎn)存在切線，卻未必可導(dǎo)的特性.

例1 函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線的斜率.在求解中，設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，y0）處切線的斜率是f′（x0），相應(yīng)的切線方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）.

在該例題的切線方程求解中，就是根據(jù)導(dǎo)數(shù)所體現(xiàn)的幾何意義來(lái)求解的.

2.用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

在平面直角坐標(biāo)系中，導(dǎo)數(shù)代表的就是某條曲線在某一點(diǎn)的斜率.判斷函數(shù)的單調(diào)性，就可以根據(jù)一個(gè)切線上的斜率來(lái)判定，斜率都大于零，那么可以準(zhǔn)確判斷出其單調(diào)遞增的特征.尤其是在簡(jiǎn)單的一次函數(shù)中，當(dāng)曲線斜率為正時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，反之為負(fù)時(shí)就是單調(diào)遞減.

例2 一次函數(shù)y=kx-k在R上單調(diào)遞增，則它的圖象過(guò)第幾象限？

解析：易知函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（1，0），函數(shù)必過(guò)第一、四象限，又因?yàn)樵摵瘮?shù)單調(diào)遞增，所以有k＞0，所以，該函數(shù)也過(guò)第三象限.綜上所述，函數(shù)過(guò)第一，三、四象限.

從一次函數(shù)的單調(diào)性分析，函數(shù)圖像是在導(dǎo)數(shù)的定義中引申出來(lái)的.由導(dǎo)數(shù)特性分析函數(shù)單調(diào)性，是確立函數(shù)與象限關(guān)系的著力點(diǎn)，同時(shí)也可引申出函數(shù)單調(diào)區(qū)間問(wèn)題的解決策略.

例3 求函數(shù)f（x）=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間.

所以，函數(shù)在（-∞，-1］單調(diào)遞增，在［-1，1］單調(diào)遞減，在［1，+∞）單調(diào)遞增.求解函數(shù)單調(diào)性，更可以顯示導(dǎo)數(shù)公式的價(jià)值.在實(shí)際應(yīng)用中，還可以延伸出導(dǎo)函數(shù)“二次型單調(diào)性問(wèn)題”.

3.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

在例3中，已經(jīng)凸顯導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的應(yīng)用價(jià)值，在實(shí)施進(jìn)一步探討時(shí)，求解函數(shù)極值，也能從導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)入手加以應(yīng)用.

例4 求f（x）=x3-12x的極值.

解：函數(shù)定義域?yàn)镽.f′（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2）.

令f′（x）=0，得x=±2.

當(dāng)x＞2或x＜-2時(shí)，f（′x）＞0，所以函數(shù)在（-∞，-2）和（2，+∞）上是增函數(shù)；

當(dāng)-2＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，所以函數(shù)在（-2，2）上是減函數(shù).

所以當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)有極大值f（-2）=16，

當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極小值f（2）=-16.

利用導(dǎo)數(shù)求解簡(jiǎn)單函數(shù)極值時(shí)，從方程f′（x）=0著手，在進(jìn)一步探討定義域內(nèi)相關(guān)極值點(diǎn)時(shí)，就可準(zhǔn)確地得到極值.

4.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題

這是從導(dǎo)數(shù)公式引申出來(lái)的問(wèn)題，即在已知函數(shù)的單調(diào)性的條件下，求解參數(shù)的取值問(wèn)題.這種問(wèn)題的解決思路是在導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上，利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題.

若函數(shù)單調(diào)遞增，則f′（x）≥0；若函數(shù)單調(diào)遞減，則f′（x）≤0.

在已知函數(shù)的單調(diào)性的條件下，求解參數(shù)的取值問(wèn)題是常見(jiàn)的題型之一，解決此類問(wèn)題的方法主要是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題.

二、導(dǎo)數(shù)的實(shí)踐應(yīng)用價(jià)值

高中理科之間互相都有融合滲透，因?yàn)樵谖锢韺W(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中，一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)表示.從理科高三接觸的微積分來(lái)分析，顯示的自變量和變量之間的關(guān)系可以看出它應(yīng)用的身影.當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增量與自變量的增量之商的極限，在一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí)，稱這個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或者可微分.可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù).不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)，這甚至可以被認(rèn)為高中與高等數(shù)學(xué)銜接中最基礎(chǔ)的定義.

在物理中，導(dǎo)數(shù)可以表示運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度和加速度、可以表示曲線在一點(diǎn)的斜率、還可以表示經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際和彈性問(wèn)題.它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛應(yīng)用空間.它是研究增長(zhǎng)率、膨脹率、效率、密度、速度、加速度等現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的科學(xué).高中導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用過(guò)程，是讓學(xué)生感知瞬時(shí)變化率的過(guò)程.導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，正是實(shí)現(xiàn)由初等函數(shù)正常推導(dǎo)的過(guò)程，是從中規(guī)范導(dǎo)數(shù)實(shí)踐教學(xué)的過(guò)程，也是深度理解和認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)的過(guò)程.導(dǎo)數(shù)的實(shí)踐應(yīng)用事項(xiàng)，正是從導(dǎo)數(shù)的初等概念中衍生出來(lái)的，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)的過(guò)程，是鞏固數(shù)學(xué)的過(guò)程，也是規(guī)范求解和感受導(dǎo)數(shù)公式魅力的過(guò)程.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)是一個(gè)平均變化率極限問(wèn)題，求解函數(shù)必須明確掌握求導(dǎo)公式，尤其是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解問(wèn)題.

三、近年來(lái)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的考試大綱要求

近年來(lái)高考考試大綱的考點(diǎn)，有許多都與導(dǎo)數(shù)有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系.從導(dǎo)數(shù)引申出來(lái)的考點(diǎn)比重的上升，使得導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、微積分、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)之間的共通性愈加明顯，尤其是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)函數(shù)，以及函數(shù)圖像與導(dǎo)數(shù)特性的融合，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的考試范疇逐漸加大.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用內(nèi)容和形式的不斷變化，都離不開導(dǎo)數(shù)公式的可變性和便捷性，離不開導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用.

在區(qū)間里判斷函數(shù)圖形的凹凸性時(shí)，導(dǎo)數(shù)就充當(dāng)一個(gè)假想的角色，可以作為描繪函數(shù)圖形的切入點(diǎn).如在區(qū)間（a，b）內(nèi)，設(shè)函數(shù)f（x）具有二階導(dǎo)數(shù).當(dāng)f″（x）＞f（x）的圖形是凹的；當(dāng)f″（x）<0時(shí)，f（x）的圖形是凸的.這是由導(dǎo)數(shù)應(yīng)用凸顯的用一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性.

在初等函數(shù)的基本推導(dǎo)中從原函數(shù)到導(dǎo)函數(shù)之間的推導(dǎo)過(guò)程，顯示了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，要貫穿求導(dǎo)法則.

四、求導(dǎo)公式教后反思

從理解導(dǎo)函數(shù)概念出發(fā)，求解抽象化導(dǎo)函數(shù)，在課堂上，教師可以配置函數(shù)模型.讓學(xué)生充分了解常數(shù)函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)等概念，合理引導(dǎo)他們求解其導(dǎo)函數(shù)從形的角度借助圖像展開教學(xué)，重視課堂反饋，重視高中生學(xué)習(xí)思維和心理特點(diǎn).在理科班級(jí)教學(xué)中，要及時(shí)疏導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)困惑，迎合他們學(xué)習(xí)心理規(guī)律.引導(dǎo)他們學(xué)會(huì)借助圖像弄清切線斜率的變化隨x的變化情況，最后在腦海中自發(fā)的形成完善的解題思路，將復(fù)雜問(wèn)題從簡(jiǎn)單立足點(diǎn)出發(fā)，實(shí)現(xiàn)題型互換，得到最初解決思路.

導(dǎo)數(shù)公式的使用過(guò)程，需要學(xué)生有充分的適應(yīng)過(guò)程，是要學(xué)生統(tǒng)觀推導(dǎo)公式全局，從鞏固導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)，增強(qiáng)高中生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的信心和興趣.在課堂中，平衡學(xué)生心理素質(zhì)，及時(shí)形成共同學(xué)習(xí)的氛圍，對(duì)于后進(jìn)生，要從豐富他們的知識(shí)素養(yǎng)開始，開展幫扶制度，實(shí)現(xiàn)課堂節(jié)奏的一致性.

在教學(xué)中，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)的過(guò)程，必須把握其基本規(guī)律，按照具體的學(xué)習(xí)步驟，按部就班的實(shí)施教學(xué)，除了嚴(yán)格控制難度外，在高三階段可適當(dāng)與高等數(shù)學(xué)微積分接軌.從鞏固導(dǎo)數(shù)概念做起，避免過(guò)量的形式化運(yùn)算聯(lián)系，及時(shí)糾正推導(dǎo)函數(shù)中的不足之處.讓學(xué)生直觀的理解導(dǎo)數(shù)背景、思想和作用，可以充分感受利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)和實(shí)際問(wèn)題的巨大作用，從而在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用思想上實(shí)現(xiàn)經(jīng)久的價(jià)值.

在教學(xué)的難點(diǎn)方面，導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)函數(shù)之間的概念問(wèn)題，是必須重視的問(wèn)題.在函數(shù)可導(dǎo)和連續(xù)性之間，實(shí)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的規(guī)范化，弄清函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是因變量與自變量增量比之間的平均變化率，也是明確其可導(dǎo)性的有效方略.而導(dǎo)函數(shù)是相對(duì)于原函數(shù)而言存在的函數(shù)，是一個(gè)新函數(shù)在原區(qū)間的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)在期間只是一個(gè)值的作用.

五、結(jié)束語(yǔ)

導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值，主要顯現(xiàn)為運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解函數(shù)切線、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值，不僅便捷還省時(shí).高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式集中反映了導(dǎo)數(shù)公式應(yīng)用思想.導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)無(wú)窮小變量比的極限，反映函數(shù)的變化率.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)切線的斜率，在物理上體現(xiàn)瞬時(shí)速度.在結(jié)合課改和高中生身心發(fā)展現(xiàn)狀時(shí)，要培養(yǎng)學(xué)生的辯證思想和掌握導(dǎo)數(shù)的變化趨勢(shì)，成為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用領(lǐng)域必須關(guān)注的大事.這對(duì)于應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式解決高中生日常數(shù)學(xué)難題，具有積極地指導(dǎo)作用.

1.王彩霞，淺談三角函數(shù)的幾種解法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上）.2012（8）.

2.王利，鄧鵬.加強(qiáng)高中與大學(xué)導(dǎo)數(shù)公式知識(shí)的銜接［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（17）.

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4.程守權(quán).高效數(shù)學(xué)課堂的設(shè)計(jì)意圖展現(xiàn)——案例分析“應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值”［J］.高中數(shù)理化，2012（2）.