☉江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 龐彥福

☉江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 潘海燕

☉江蘇省無(wú)錫市南湖中學(xué) 葛紅兵

從一道檢測(cè)題審視數(shù)學(xué)試題的命制

一、問(wèn)題的提出

☉江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 龐彥福

☉江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 潘海燕

☉江蘇省無(wú)錫市南湖中學(xué) 葛紅兵

八年級(jí)期中考試的數(shù)學(xué)試卷上，一道選擇題引來(lái)同學(xué)們一陣熱議和爭(zhēng)論.筆者拿來(lái)試卷饒有興趣地看了一下，該題目是：

顯然，這是一道用來(lái)全面考查學(xué)生對(duì)全等三角形的幾種判定方法掌握情況的一個(gè)“不錯(cuò)”的選擇題，考查的關(guān)鍵是根據(jù)圖形和條件，觀察、判別角與邊的位置關(guān)系是否符合判定的條件.對(duì)題目的評(píng)價(jià)，不僅教師有發(fā)言權(quán)，學(xué)生也會(huì)有自己不可小覷的看法.

二、學(xué)生的困惑

為此筆者找來(lái)了一位成績(jī)不錯(cuò)的學(xué)生進(jìn)行詢問(wèn).

筆者：數(shù)學(xué)考試的時(shí)候，同學(xué)們感覺(jué)試卷怎么樣？

學(xué)生：有一道題我覺(jué)得好像有問(wèn)題似的？龐老師，您看就是這道題是不是沒(méi)有答案呀？浪費(fèi)了我不少時(shí)間！

筆者：你認(rèn)為呢？

學(xué)生：因?yàn)楣策匒D=AD，當(dāng)∠ADB=∠ADC，BD= DC時(shí)，利用SAS可證明△ABD≌△ACD，所以B正確；當(dāng)∠B=∠C，∠BAD=∠CAD時(shí)，利用AAS可證明△ABD≌△ACD，所以C正確；當(dāng)BD=DC，AB=AC時(shí)，利用SSS可證明△ABD≌△ACD，所以D也正確；因此，排除下來(lái)就選擇A了.但是，細(xì)想想，選項(xiàng)A也能證明△ABD≌△ACD.

筆者：當(dāng)初為什么選擇A呢？

學(xué)生：沒(méi)有SSA這個(gè)判斷方法，兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

筆者：你為什么又能夠說(shuō)明選項(xiàng)A也能證明△ABD≌△ACD？

學(xué)生：連接BC，如圖2，由BD＝DC得到∠1＝∠2.

又∠3＝∠4，可以得到∠ABC＝∠ACB，所以就得到AB＝AC.

再利用SSS就可以證明△ABD≌△ACD.

……

從上述對(duì)話可以看出，學(xué)生的思考、認(rèn)識(shí)和理解都是很清晰的，推理過(guò)程也是完全正確的.為了謹(jǐn)慎起見(jiàn)，筆者用幾何畫板進(jìn)行驗(yàn)證，當(dāng)?shù)玫饺鐖D3的情形時(shí)，顯然△ABD與△ACD不全等，但是這已經(jīng)偏離了試題本身考查的本意.由這個(gè)圖形可以看出，從某種角度來(lái)考慮滿足選項(xiàng)A（即∠B＝∠C，BD＝DC）的條件可能會(huì)得出兩個(gè)圖形不全等，但并不能說(shuō)明此題沒(méi)有問(wèn)題.該題提供的是圖2的情形，通過(guò)添加輔助性，進(jìn)行二次全等的證明確實(shí)能證明△ABD與△ACD全等.

筆者在網(wǎng)上搜索一下，找到了這道題目的“原型”，是2011年南昌市中考試卷的第10題，與期中考試的題目不同的是原題多了兩個(gè)字“直接”，原題是“不能直接證明△ABD≌△ACD的是”.僅兩字之差，意義已經(jīng)不同，漏洞隨之產(chǎn)生，這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

三、試題命制的原則

《課標(biāo)（2011年版）》在“評(píng)價(jià)建議”部分指出：“評(píng)價(jià)的主要目的是全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程和結(jié)果，激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師教學(xué).評(píng)價(jià)應(yīng)以課程目標(biāo)和課程內(nèi)容為依據(jù)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的基本理念，全面評(píng)價(jià)學(xué)生在知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決和情感態(tài)度等方面的表現(xiàn).”考試是最常見(jiàn)的一種評(píng)價(jià)方式.數(shù)學(xué)試題的命制應(yīng)遵循一些基本的原則，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)和思想.關(guān)于數(shù)學(xué)題目，章建躍博士認(rèn)為：“真正的數(shù)學(xué)題應(yīng)該滿足一些基本條件，例如：反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，不糾纏于細(xì)枝末節(jié)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有發(fā)展性，表述形式簡(jiǎn)潔、流暢且好懂等.”

1.科學(xué)性

數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，題目的編制與呈現(xiàn)應(yīng)當(dāng)遵循數(shù)學(xué)的原理和規(guī)律，準(zhǔn)確把握試題的基礎(chǔ)性與科學(xué)性，不違背常理，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的真正價(jià)值.命題應(yīng)體現(xiàn)課標(biāo)理念，科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性是最基本的要求.根據(jù)考試的層次不同（如月考（有的學(xué)?；虻胤竭€有“周考”）、期中聯(lián)考、縣（區(qū)）級(jí)統(tǒng)考或調(diào)研測(cè)試、學(xué)期末測(cè)試、學(xué)年末測(cè)試、模擬、中考等），試題命制的要求和規(guī)格也會(huì)不同.階段性測(cè)試往往更重視基礎(chǔ)性、針對(duì)性、易錯(cuò)點(diǎn)等.

譬如學(xué)習(xí)過(guò)等腰三角形之后，筆者設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)題目：已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，那么這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)為________.

設(shè)計(jì)這個(gè)題目不僅是為了考查學(xué)生對(duì)分類討論思想的理解，而且還要考慮到學(xué)生對(duì)等腰三角形的概念的理解及掌握情況.如果同學(xué)們對(duì)三角形的分類不能信手拈來(lái)的話，就未必能考慮到銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形兩種情況（直角等腰三角形顯然不符合題意），從而出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象，同時(shí)也能進(jìn)一步固化鈍角三角形的高.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)是很重要的，基礎(chǔ)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和發(fā)展的基石，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要理解，需要學(xué)會(huì)思維的方法.

2.適宜性

學(xué)生是有差異的，學(xué)校不同、班級(jí)不同，命制試題的難易程度當(dāng)然是有區(qū)別的.對(duì)于基礎(chǔ)好的學(xué)生做的試卷，如果拿來(lái)給基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生當(dāng)作考試卷，能不難嗎？基礎(chǔ)不一樣，接受的能力當(dāng)然是有區(qū)別的，如果還用同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行衡量、評(píng)價(jià)當(dāng)然是不適宜的.《課標(biāo)（2011年版）》明確指出：“評(píng)價(jià)結(jié)果的呈現(xiàn)和利用應(yīng)有利于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展.評(píng)價(jià)結(jié)果的呈現(xiàn)，應(yīng)該更多地關(guān)注學(xué)生的進(jìn)步，關(guān)注學(xué)生已經(jīng)掌握了什么，獲得了哪些提高，具備了什么能力，還有什么潛能，在哪些方面還存在不足.”因此，階段性的測(cè)試考試試卷的命制與設(shè)計(jì)要充分考慮學(xué)生的實(shí)際情況，命制出合理的、適宜的、有針對(duì)性的試卷，才能有利于發(fā)現(xiàn)教師教學(xué)中存在的問(wèn)題，有助于發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的遺漏或制約因素，更好地為教師的教學(xué)及學(xué)生的學(xué)習(xí)提供改進(jìn)的措施.

3.規(guī)范性

試題由題設(shè)到提問(wèn)，作為一個(gè)整體，必須嚴(yán)謹(jǐn)無(wú)漏洞，不產(chǎn)生歧義，不存在邏輯上的錯(cuò)誤，不會(huì)引起考生不必要的猜測(cè)和誤解，才能保證考試的正常發(fā)揮，否則會(huì)降低考試的功能和效度.數(shù)學(xué)試題的命制必須符合數(shù)學(xué)的規(guī)范要求.

4.導(dǎo)向性

考試試題的命制要有明確的指向性.考試是為了檢查過(guò)去的教與學(xué)，更是為了指向今后的教與學(xué).

請(qǐng)看2012年麗水市中考數(shù)學(xué)試題填空題中的壓軸題：

如圖4，在梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6.在底邊AB上取點(diǎn)E，在射線DC上取點(diǎn)F，使得∠DEF=120°.

（1）當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，DF=________；

（2）若射線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則AE=________.

第（1）問(wèn)比較容易得出.

解得x=2或5.故答案為2或5.

四、試題命制的方法

考試試卷上的題目來(lái)源是有多種渠道的，遴選和改編試題是命制試題的核心性工作.考題可以是教科書上的原題，可以是教材（包括教輔用書）內(nèi)容、各地測(cè)試題、中考題的改編題，可以是命制者的原創(chuàng)題.無(wú)論是哪類題都要認(rèn)真考慮，仔細(xì)推敲，避免出現(xiàn)科學(xué)性錯(cuò)誤或與實(shí)際不相符合的表述.

1.制定雙向細(xì)目表

凡事預(yù)則立，無(wú)預(yù)則廢，試題命制也應(yīng)如此.首先要從思想上認(rèn)識(shí)到命制試卷的重要性，要明白“命題”和“組卷”的區(qū)別，命制試卷體現(xiàn)的是責(zé)任心，是業(yè)務(wù)水平.命制試卷時(shí)，應(yīng)該先制定雙向細(xì)目表，依據(jù)課標(biāo)、教材等教學(xué)內(nèi)容與擬考試的內(nèi)容有效地進(jìn)行融合，將要考查的內(nèi)容、知識(shí)點(diǎn)以最恰當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)出來(lái).選題不能“眉毛胡子一把抓”，一份試卷題量有限，基本題，中等題，較難題比例要適宜，既要涵蓋學(xué)生應(yīng)該掌握的主要知識(shí)點(diǎn)，又要把重要的核心知識(shí)點(diǎn)充分體現(xiàn)出來(lái)，把學(xué)生容易弄錯(cuò)的地方暴露出來(lái)，把引領(lǐng)教學(xué)導(dǎo)向的思想方法彰顯出來(lái).

2.精選原題

教科書選擇的題目基本上是教育教學(xué)專家及課程專家經(jīng)過(guò)深思熟慮而選定的，具有一定的代表性、典型性和普適性，各種類型的考試都可以選擇一定量的教材中的原題作為考試試卷中的題目.譬如：

設(shè)AB、CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，若⊙O的半徑為5，AB=8，CD=6，則AB與CD之間的距離為_____________.

這是“圓”一章中的一個(gè)經(jīng)典題目了，不同版本的教科書都曾出現(xiàn)過(guò)類似的“影子”，或是填空，或是選擇，或是解答.命制試卷選用這樣的經(jīng)典題目對(duì)教學(xué)也是一種導(dǎo)向，意在引導(dǎo)我們的教學(xué)要重視課本，立足課堂，注重基礎(chǔ).當(dāng)然，作為選擇題或填空題時(shí)，要變化一下教科書中的數(shù)據(jù)，以免有的學(xué)生剛剛做過(guò)且記住了答案，就不思考了.

3.改編試題

改編試題的方法有很多，同樣一道題目經(jīng)不同的老師改編后的結(jié)果也會(huì)各種各樣.但無(wú)論怎么變化，評(píng)價(jià)試題質(zhì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)是該題的科學(xué)性、合理性以及有效性，其質(zhì)量和水平是教師專業(yè)能力的體現(xiàn).將已有的一些現(xiàn)成的好題經(jīng)過(guò)適當(dāng)改編形成新的試題，改編題可以來(lái)源于陳題、舊題，可以是課本上的例題、習(xí)題、資料典型題、熱點(diǎn)問(wèn)題為主，力求“問(wèn)題在書外，而根在書本”，讓人感到能在課本中找到問(wèn)題的“影子”，也可選一些學(xué)生常常出現(xiàn)錯(cuò)誤的題目.

下面是利用黃金分割改編的問(wèn)題.

如圖5，已知AB=1，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC）.

（1）試用一元二次方程的求根公式求出黃金比.

（2）如圖6，取線段AC的黃金分割點(diǎn)C1（AC1＞CC1），計(jì)算BC1的長(zhǎng)度，并據(jù)此判別點(diǎn)C1是否為線段AB的另一黃金分割點(diǎn).

4.原創(chuàng)試題

好的原創(chuàng)題往往是一份試卷的亮點(diǎn)，原創(chuàng)題的立意更為重要，一個(gè)立意好的原創(chuàng)試題，既能正確地診斷出學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中存在的知識(shí)漏洞和認(rèn)知方法上的欠缺，還能為學(xué)生參加大型考試積累過(guò)程性經(jīng)驗(yàn)，更能有效地引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)和思考.原創(chuàng)題要以學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，立意新穎，著重考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力.

命制試題與課堂教學(xué)一樣，是一門藝術(shù)，而且是一門遺憾的藝術(shù).對(duì)于平時(shí)的階段性考試或者是區(qū)域性的學(xué)業(yè)水平測(cè)試來(lái)說(shuō)，有機(jī)會(huì)參與命題的老師，應(yīng)該珍惜機(jī)會(huì)，做到細(xì)心思考、苦心經(jīng)營(yíng)、精心設(shè)計(jì).在命制試題時(shí)，切實(shí)把握好數(shù)學(xué)的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性和實(shí)用性.因?yàn)橐环菘荚嚲砑仁强疾閷W(xué)生的學(xué)情反饋，更是發(fā)展教師引領(lǐng)教學(xué)的風(fēng)向標(biāo).

1.符永平，劉東升.命題應(yīng)該追問(wèn)“數(shù)學(xué)”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（7）.

2.章建躍.發(fā)展數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，為學(xué)生謀取長(zhǎng)期利益［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（2）.

3.鐘珍玖，龐彥福.初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)策略再探——談二輪復(fù)習(xí)的選題原則、方法和評(píng)價(jià)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（11）.

4.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

5.龐彥福，鐘珍玖，武益燕.從解題策略審視運(yùn)算錯(cuò)誤［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（8）.

6.龐彥福.教師寫作的素材從哪里來(lái)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)參考（中），2012（10）.FH

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