☉江蘇省天一中學(xué) 何志奇

演繹數(shù)學(xué)之美，彰顯文化價值
——“高考與斐波那契數(shù)列”的教學(xué)與感悟

☉江蘇省天一中學(xué) 何志奇

2013年11月18日，在江蘇省首屆“數(shù)學(xué)文化素質(zhì)教育論壇暨數(shù)學(xué)文化節(jié)”上，筆者應(yīng)邀開設(shè)了一節(jié)題為“高考與斐波那契數(shù)列”的數(shù)學(xué)文化探究課，授課的班級是江蘇省泰州中學(xué)高三理科班.在評課過程中，與會專家和教師對本節(jié)課表示了充分的肯定與高度的評價.現(xiàn)簡要地把自己的所思所想整理如下，拋磚引玉，以期同行不吝賜教.

一、本節(jié)課的設(shè)計理念

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》中明確指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會需求，社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神.數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀.”“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值”是高中數(shù)學(xué)新課程的一個基本理念.《“普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”解讀》則提出了在高中數(shù)學(xué)教材中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的兩條具體方案：一是在高中階段，要有選擇性地介紹一些數(shù)學(xué)家的曲折的人生故事和在數(shù)學(xué)的探索道路上不畏艱難、勇于進(jìn)取的精神；二是在編寫高中數(shù)學(xué)教材時，將與教材相關(guān)的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容合情合理地展示在教材中.那么，數(shù)學(xué)課堂如何用好教材組織教學(xué)，合情合理滲透“數(shù)學(xué)文化”的內(nèi)容，就成了教師迫切需要關(guān)注的問題.

二、精彩教學(xué)片段回放

片段1：師生共同探究斐波那契數(shù)列的通項公式

在學(xué)生觀察斐波那契數(shù)列特點的基礎(chǔ)上，筆者提出了如下的核心問題.

師：我們通過學(xué)習(xí)等差數(shù)列與等比數(shù)列，探求了它們的通項公式，是不是也可以來探求斐波那契數(shù)列的通項公式呢？（板書）已知數(shù)列{Fn}滿足：F1=F2=1，F(xiàn)n+2=Fn+1+Fn，求數(shù)列{Fn}的通項公式.

學(xué)生這時候不知所以了，老師進(jìn)一步提示：

這時，有同學(xué)說，這個數(shù)列很奇怪的，左邊是正整數(shù)，右邊是含有無理數(shù)的，應(yīng)該在通項那里再加加減減一點東西，才能得出通項公式.

師：很好，（問學(xué)生）你覺得設(shè)什么形式為好？

生：不妨設(shè)Fn由兩個等比數(shù)列組合而成：

師：為何這里設(shè)“減號”？

生：想在兩個等比數(shù)列的系數(shù)里消去無理數(shù).

師：這個式子對嗎？

學(xué)生自然認(rèn)為還沒有完成，繼續(xù)驗證①式滿足

滿足條件②的數(shù)列是唯一確定的，用數(shù)學(xué)歸納法容易完成證明：

至此，問題獲得解決.希爾伯特關(guān)于數(shù)學(xué)問題的論述對我們的教學(xué)有一定的指導(dǎo)意義：“一個數(shù)學(xué)問題應(yīng)該是困難的，但卻不應(yīng)是完全不可解決而致使我們白費力氣.在通往那隱藏的真理的曲折的道路上，它應(yīng)該是指引我們前進(jìn)的一盞明燈，最終并以成功的喜悅作為對我們的報賞.”

片段2：斐波那契數(shù)列通項公式的應(yīng)用

這個例題設(shè)計的核心原則是幫助學(xué)生的思維能力要得到進(jìn)一步的發(fā)展，提出一個任何參考書上都沒有的問題，讓學(xué)生來解決它，從而達(dá)到反思升華.

這個題目的本意是要學(xué)生靈活掌握知識，而不是死算.

三、思考與感悟

1.高三不應(yīng)成為數(shù)學(xué)文化探究課的“禁區(qū)”

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》在“前言”、“課程目標(biāo)”、“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和實施建議”中的每一個部分都有對數(shù)學(xué)文化的闡述，要求在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的觀念始終貫穿于整個課程標(biāo)準(zhǔn).課程標(biāo)準(zhǔn)的實施已經(jīng)多年，對于數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，在高中數(shù)學(xué)課程中要提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值，我們的老師已經(jīng)有了一定的認(rèn)識，但由于受到“一切為了高考”的“功利主義”的影響，我們的高中數(shù)學(xué)老師對數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識僅僅停留在理論上，于是在實際教學(xué)中出現(xiàn)了如下的畸形現(xiàn)狀：片面突出數(shù)學(xué)文化中的科學(xué)價值而忽略人文價值的滲透.奮斗在教育教學(xué)一線的廣大教師可以利用工作在一線這個得天獨厚的條件，立足課堂和教學(xué)的實際，充分挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)中的人文素材，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)乃至科學(xué)素養(yǎng)和人文素養(yǎng).

因此，完全有理由說：數(shù)學(xué)文化探究課完全可以在任何一個年級開設(shè)，當(dāng)然也包括應(yīng)試味濃厚的高三.這實際上也向我們提出了一個深刻的話題：要實施“素質(zhì)教育”，一線教師應(yīng)當(dāng)如何深入實踐？對數(shù)學(xué)老師來說，這個話題變得更加實際、更為現(xiàn)實：在數(shù)學(xué)課堂里我們怎么進(jìn)行素質(zhì)教育？或者說，數(shù)學(xué)教育應(yīng)如何去貫徹、落實“素質(zhì)教育”這一總的教育方針呢？從本質(zhì)上來說，數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的重要內(nèi)涵就是要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化價值.

2.依托教材、活用教材，有效實施數(shù)學(xué)文化課程

必修5的數(shù)列學(xué)完后，在知識方面有個自然的延伸，那就是斐波那契數(shù)列.經(jīng)過調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)相當(dāng)一部分學(xué)生沒有仔細(xì)地去學(xué)習(xí)教科書知識拓展的延伸部分，感覺非常遺憾.基于以上考慮，筆者以“高考與斐波那契數(shù)列”為題，從以下三個方面設(shè)計了課堂教學(xué)：一是“經(jīng)典再現(xiàn)”側(cè)重介紹斐波那契數(shù)列的由來以及數(shù)學(xué)家斐波那契的典故；二是“好題賞析”主要是結(jié)合了等差、等比數(shù)列的知識，引導(dǎo)學(xué)生們推導(dǎo)探究斐波那契數(shù)列的通項公式，體現(xiàn)斐波那契數(shù)列在解題中的應(yīng)用，從而有效地促進(jìn)學(xué)生對知識體系的自主完善和建構(gòu)；三是“數(shù)學(xué)應(yīng)用”則重點展示生活中的斐波那契數(shù)列，從人類耳朵的黃金螺旋到“iphone”的圖標(biāo)和太陽能電池樹，讓人不由驚嘆：原來斐波那契數(shù)列無時無刻不在我們的身邊??！

3.教師教會學(xué)生“生活數(shù)學(xué)”還是“僵尸數(shù)學(xué)”

對于片段2的例題當(dāng)然也允許學(xué)生用計算器計算，因為筆者認(rèn)為我們給學(xué)生設(shè)計的題型模式、反復(fù)訓(xùn)練法實質(zhì)是一種偷懶——助長了他們思想上的懶惰，學(xué)生只要記記題型就萬事大吉了.我們常常擔(dān)心計算數(shù)據(jù)“差之毫厘，謬以千里”，殊不知簡單、機械的學(xué)習(xí)方法和孤立、分裂的學(xué)習(xí)目標(biāo)使學(xué)生對學(xué)習(xí)的認(rèn)識所產(chǎn)生的“差之毫厘，謬以千里”才更可怕.這種“謬誤”使學(xué)生徹底割裂了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，使他們遠(yuǎn)離了真正的數(shù)學(xué)精神，學(xué)到了一種幾乎無用的“僵尸數(shù)學(xué)”.一個人不會算數(shù)，只要頭腦清醒照樣可以生活；一個人只會算數(shù)，頭腦成了糨糊，恐怕就只能做當(dāng)代“孔乙己”了.我們不要大量的應(yīng)試高手，而要視野更開闊，思維要更靈活的學(xué)生.古人言“勤學(xué)善思”，多年來，我們卻是“勤”有余，“思”不足.

綜上所述，數(shù)學(xué)文化探究課可以讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的思想和精神，彰顯數(shù)學(xué)的文化價值；可以讓學(xué)生學(xué)會科學(xué)地提出問題、分析問題和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識；可以讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的美學(xué)價值；可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和文化素養(yǎng)，使學(xué)生終生受益.

·蘭州市高中數(shù)學(xué)謝立亞名師工作室·