☉江蘇省海安縣立發(fā)中學 丁佐宏

由一道抽獎問題總覽概率全貌

☉江蘇省海安縣立發(fā)中學 丁佐宏

從近幾年高考命題來看，概率創(chuàng)新題層出不窮.例如2013年北京理空氣質(zhì)量問題；2013年江西理以平面幾何為載體，2013年陜西理投票問題…….從位置來看都是解答題前三道大題中的第2或第3道，可見命題人至多是將其列為中等題型.但由于背景創(chuàng)新層出不窮，使考生有應接不暇之感.備考中只要我們相應的概率模型，將其本質(zhì)進行透徹研究，即可以不變應萬變，下面以一道抽獎問題為例總覽概率問題全貌.

題目：某商場因店慶臨近特舉行抽獎活動，店慶日在店內(nèi)消費的顧客均可憑消費票據(jù)參加抽獎.抽獎箱內(nèi)共有四種小球，分別標有“生”“意”“興”“隆”四個字，顧客每抽獎一次，操作流程為任意取出一個小球并記錄小球上的漢字，然后將小球放回抽獎箱繼續(xù)取出小球記錄漢字，重復上述操作至多四次；如取出的小球上標有“隆”字，則抽獎環(huán)節(jié)結束，不再重復取球至四次.獎勵的規(guī)則為：一等獎獲得者需取到“生”“意”“興”“隆”四個字的小球，且取球順序與詞組順序固定相同；二等獎獲得者需取到“生”“意”“興”“隆”四個字的小球，取球順序不限；三等獎獲得者需取到“生”“意”“興”三個字的小球.

（1）求某人抽獎一次獲得二等獎的概率；

（2）甲、乙兩人參與抽獎，則兩人均獲得一等獎的概率；

（3）求某人抽獎一次，中獎的概率；

（4）求某人抽獎三次，恰有二次中獎的概率；

（5）設摸球次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望.

一、中獎概率的求解看計數(shù)原理及排列組合的運用

解：（1）設“摸到二等獎”為事件A.

點評：此問為有序問題，故在計算相應事件數(shù)時應采用排列方式.

二、由同時中獎看獨立事件同時發(fā)生

解∶（2）設“某人摸到一等獎”為事件B，則

點評：甲、乙兩人均中一等獎相互獨立，獨立事件同時發(fā)生用乘法計算.

三、由中獎結果的互斥看概率的加法

解∶（3）某人抽獎一次，中獎的結果可能為一等獎、二等獎、三等獎，且中一等獎、二等獎或三等獎為互斥事件，互斥事件至少有一個發(fā)生的概率用加法求解.

設獲得三等獎為事件C，其包含的情況有：“生，意，興”三個球外加“生”、“意”、“興”三種情況.

故某人抽獎一次，中獎的結果可能為一等獎、二等獎或三等獎的概率為：

點評：如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，那么事件A或B發(fā)生的概率為二者之和P（A+B）=P（A）+P（B）；同理，如事件A，B，C，…，X互斥，那么這些事件發(fā)生的概率同樣為各事件發(fā)生概率之和，P（A+B+C+…+X）=P（A）+P（B）+ P（C）+…+P（X）.

題目變式：某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，規(guī)則為每位顧客消費滿100元可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次（如圖所示），轉(zhuǎn)盤指針停留區(qū)域的數(shù)字為返券金額.指針可能停在轉(zhuǎn)盤的任何位置，停在A、B、C三個區(qū)域返券金額分別為60元、30元、0元.顧客轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)為實際消費金額/100的整數(shù)倍，累計返券金額為每次轉(zhuǎn)盤返券金額之和.某顧客消費220元，他參與轉(zhuǎn)盤活動獲得的返券金額為X（元），求其分布列與數(shù)學期望.

由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次.隨機變量X的可能值為0，30，60，90，120.

所以，隨機變量X的分布列為：

30 60 90 120 1 P0 X1 43 5 1 8 1 9 1 3 6

四、由中獎次數(shù)看事件的對立

點評：在一次抽獎過程中，中獎與不中獎不可能同時發(fā)生，所以這兩個事件也是互斥事件.但中獎和不中獎必然會發(fā)生其中一種情況，可將其視為對立事件，即二者發(fā)生其一的概率為100%，如事件A的對立事件為，那么P（A）+P）=1.

由此可以看出，互斥事件未必為對立事件，但對立事件必為互斥事件，可將互斥作為對立事件的必要不充分條件，對立作為互斥事件的充分不必要條件.

五、由摸球次數(shù)引出離散型隨機變量概率分布

故取球次數(shù)ξ的分布列為：

ξ1234 P1 4 3 1 6 9 6 4 27 64

點評：將隨機變量的取值及其概率用分布列形式寫出后，還需要進行檢驗來確保分布列正確，檢驗公式為：（1）pi≥0（i=1，2，…）；（2）p1+p2+p3+…+pn=1.數(shù)學期望：E（ξ）=x1p1+x2p2+…+xnpn.ξ的數(shù)學期望是ξ各種取值的平均數(shù)，如ξ的不同值概率相等就是簡單平均數(shù)，若ξ的不同值概率不全相等就是加權平均數(shù).

綜上所述，所謂概率學，就是對事物發(fā)生的可能性進行研究的一門科學，我們在生活和工作學習中必然會遇見各種各樣的“事件”，這些事件的發(fā)生有一定的規(guī)律可供我們掌握，通過學習概率學知識，有助于我們盡可能的避免有害事件的發(fā)生，提高有益事件的發(fā)生概率，從而提高妥善應對不同事件的能力.在學習過程中，命題形式各有不同、千變?nèi)f化，但問題本質(zhì)相同，正所謂萬變不離其宗，我們在解題訓練過程中一定要注意基礎知識的扎實掌握和解題技巧的靈活運用，便可以有效的提高實際解題能力.除文中所述的解題思路和技巧外，我們還可以運用分類討論等數(shù)學思想，不斷拓寬解題思路，從而不斷提高數(shù)學知識的運用能力.

1.陳忠懷.骰子賭博揭開概率統(tǒng)計之謎［J］.中學數(shù)學（上），2011（8）.

2.悅?cè)鹁?離散型隨機變量分布列問題的尋解歷程［J］.高中數(shù)理化，2013（7）.

3.徐君華.創(chuàng)設概率背景 凸顯命題立意［J］.中學數(shù)學（上），2013（8）.