☉福建省龍巖市第一中學(xué) 胡寅年

賞析以“四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐”為載體的立體幾何命題

☉福建省龍巖市第一中學(xué) 胡寅年

引例 已知矩形ABCD，AB=1，BC=.將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過(guò)程中（ ）.

A.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直

B.存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直

C.存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直

D.對(duì)任意位置，三直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直

這是2012年浙江卷選擇題最后一題，難度不小，旨在考查學(xué)生空間想象能力和分析問(wèn)題的能力.

如圖1，在硬紙板構(gòu)成的三棱錐B-ACD中，AB=DC=1，AD=BC=，BD=，顯然△ABD與△BCD都是直角三角形.當(dāng)AC的長(zhǎng)度恰好為1時(shí)，容易證明△ABD，△ACD也都是直角三角形，由此得到三棱錐B-ACD四個(gè)面都是直角三角形，于是BA⊥平面ACD，所以AB⊥CD.

有趣的是，以“四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐”為載體的立幾題，2013年又在多個(gè)省市高考試卷中出現(xiàn).如：

遼寧卷第18題、浙江卷第20題、湖北卷第19題、安徽卷第19題等.

為什么有關(guān)“四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐”問(wèn)題受到高考命題專家的如此青睞？道理十分明白：這類題①既源于課本，又高于課本；②基本圖形是最簡(jiǎn)單的幾何體之一——三棱錐；③覆蓋立體幾何中點(diǎn)、線、面的各種位置關(guān)系，以及各種角的計(jì)算，又突出了“垂直關(guān)系”這個(gè)主旋律，還能涉及平幾、代數(shù)、三角的大量知識(shí).因此，“四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐”是探究空間線線、線面、面面垂直關(guān)系的一個(gè)十分重要的基本圖形.

一、知識(shí)要點(diǎn)

如圖2，在三棱錐S-ABC中，只要滿足下列條件之一：

①SA、AB、BC兩兩互相垂直；

②SA⊥平面ABC，且AB⊥BC；

③SA⊥平面ABC，且SB⊥BC；

④SA⊥平面ABC，且平面SAB⊥平面SBC.

則它的四個(gè)面都是直角三角形.

顯然，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，具有非常豐富的線線、線面、面面垂直關(guān)系，比如：

①異面垂直（一組）：SA⊥BC.

②線面垂直（兩組）：SA⊥平面ABC，CB⊥平面SAB.

③面面垂直（三組）：平面SAB⊥平面ABC，平面SAC⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.

進(jìn)一步，若點(diǎn)A在SB、SC上的射影分別為N、M（如圖3），則三棱錐S-ANM的四個(gè)面也都是直角三角形.

此外，設(shè)∠SBA=θ1，∠ABC=θ2，∠SBC=θ，∠SCA=φ.則又有下列面角之間的關(guān)系：

以上結(jié)論請(qǐng)讀者自己進(jìn)行證明.

二、例題解析

例1（遼寧卷第18題）如圖4，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點(diǎn).

（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C-PB-A的余弦值.

分析：本題考查空間中面面垂直的證明和面面所成角問(wèn)題，考查考生的空間想象能力與推理論證能力.本題的直觀圖形把幾何體放到圓中證明算得上有一定新意，但試題總體難度不高.第一問(wèn)，面面垂直的證明轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，而線面垂直是線線、線面、面面垂直關(guān)系的樞紐與核心.第二問(wèn)，空間面面所成角問(wèn)題，一般情況宜優(yōu)先考慮建立空間直角坐標(biāo)系求解，當(dāng)然也可利用定義直接找到角來(lái)求解.然而由于本題的圖形中沒(méi)有“墻角”結(jié)構(gòu)存在，學(xué)生可能會(huì)因坐標(biāo)系選得不當(dāng)而導(dǎo)致計(jì)算比較麻煩，進(jìn)而導(dǎo)致整個(gè)二面角的計(jì)算錯(cuò)誤.

明顯地，上述解法源于對(duì)“四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐”，豐富的線面垂直關(guān)系的深入思考.

解法2：空間向量法，請(qǐng)讀者自己完成，并與綜合幾何方法進(jìn)行對(duì)比.

例2（浙江卷第20題）如圖6，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2.M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC.

（1）證明：PQ∥面BDC；

（2）若二面角C-BM-D的大小為60°，求∠BDC的大小.

分析：本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，考查二面角的計(jì)算，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.第一問(wèn)，空間線面平行關(guān)系的證明，突出的是轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，難度不大.第二問(wèn)，又是以“四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐”作為載體，考查學(xué)生對(duì)空間線面垂直關(guān)系的掌握程度.將三棱錐M-DCB分離出來(lái)，容易看出，問(wèn)題的情景與遼寧卷差別不大，建構(gòu)二面角的平面角也如出一轍，然而由于浙江卷注重考查學(xué)生的逆向思維能力，難度增大了一些.本題若運(yùn)用綜合幾何法去處理，思路反而更加自然.

（1）證明：如圖7，取MD的中點(diǎn)F，又M是AD中點(diǎn)，所以AF=3FD.因?yàn)镻是BM中點(diǎn)，所以PF∥BD，又因?yàn)锳Q=3QC，且AF=3FD，所以QF∥BD，所以面PQF∥面BDC，由于PQ?面BDC，所以PQ∥面BDC.

思考：1.“四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐”為線線垂直、線面垂直、面面垂直關(guān)系的（如下）相互轉(zhuǎn)化提供了豐富素材.

2.分離出來(lái)的三棱錐M-DCB，有四組線面垂直關(guān)系，①M(fèi)D⊥底面DBC；②BC⊥平面MDC；③CG⊥平面MBD；④MB⊥平面GHC，其中通過(guò)“平面MBD⊥平面BCD”得到的第三組線面垂直關(guān)系“CG⊥平面MBD”，是解決第（2）小題的關(guān)鍵所在.

3.“三棱錐C-GBH”本質(zhì)上是“四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐”的一個(gè)變式圖形，發(fā)現(xiàn)它對(duì)學(xué)生的空間想象能力也是一次很好的鍛煉.

例3（湖北卷第19題）如圖8，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，直線PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn).

（1）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明；

分析：本題考查空間線面位置關(guān)系的判斷與證明，考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等基本知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.第一問(wèn)，空間線面平行關(guān)系的判斷與證明，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用.第二問(wèn)，根據(jù)三種角的概念在圖中找出（或作出）三個(gè)角，用相關(guān)線段表示出三個(gè)角的正弦值，計(jì)算后可得出結(jié)論.

（1）直線l∥平面PAC，理由如下：

如圖9，連接EF，由三角形的中位線定理，得EF∥AC→EF∥平面ABC→EF∥l→l∥平面PAC.

（2）連接BD，由（1）l即為BD，因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以BD⊥BC.

容易看出，本題的第（2）問(wèn)，本質(zhì)上就是考查“四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐”面角之間的內(nèi)在關(guān)系.

例4（安徽卷第19題）如圖10，圓錐頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5°.AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°.

（1）證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；

（2）求cos∠COD.

分析：本題考查空間線面位置關(guān)系，以及線線、線面角的求解等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.本題與湖北卷19題有異曲同工之妙，第一小題源于必修2的一道復(fù)習(xí)題，考查學(xué)生對(duì)線面平行的性質(zhì)與判定定理的理解程度，思路很寬，方法多種多樣.第二小題考查基本圖形的基本計(jì)算，本質(zhì)上又是考查學(xué)生對(duì)“四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐”面角之間關(guān)系是否真正掌握.

（1）設(shè)平面PAB∩平面PCD=l，AB∥CD→AB∥平面PCD→AB∥l→l∥圓錐底面.

（2）如圖11，設(shè)G為CD的中點(diǎn)，容易證明CD⊥面POG，從而面POG⊥面PCD，于是三棱錐P-OCG的四個(gè)面都是直角三角形，所以∠OPG為OP與平面PCD所成的角，又∠PCO為母線PC與底面ODG所成的角，將三棱錐P-OCG分離出來(lái)，則此小題轉(zhuǎn)化為了“在三棱錐P-OCG中，已知PO⊥平面CGO，面POG⊥面PCG，∠OPG=60°，∠PCO=22.5°，求∠COG”的計(jì)算問(wèn)題.

思考：自從引入了空間向量，立體幾何的學(xué)習(xí)的確容易了許多.無(wú)論是線線、線面、面面等位置關(guān)系的判斷，還是夾角、距離等數(shù)量關(guān)系的計(jì)算，乃至多種多樣的探索性問(wèn)題，都可以轉(zhuǎn)化為向量來(lái)解決，并且可歸結(jié)為一系列模式化的解題程序.但是需要注意的是，向量方法并不是萬(wàn)能的，比如今年安徽卷第19題就不太適合向量方法，據(jù)《中小學(xué)數(shù)學(xué)》報(bào)道，此題安徽全省平均分2.2分，難度系數(shù)0.17，遠(yuǎn)低于命題預(yù)期.因此，立體幾何教學(xué)（尤其是高三總復(fù)習(xí)）中，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)綜合幾何法、空間向量法進(jìn)行卓有成效的整合，解題時(shí)宜揚(yáng)長(zhǎng)避短、相互融合，以發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)，不可（也沒(méi)有必要）厚此薄彼.

從以上的討論中可以看出，“四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐”的確是探究空間線線垂直、線面垂直、面面垂直關(guān)系，展開(kāi)空間想象的重要載體，而垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化、二面角的計(jì)算問(wèn)題、面角關(guān)系的靈活運(yùn)用，是其中的三個(gè)主要問(wèn)題，它們往往又以發(fā)現(xiàn)、構(gòu)建此基本圖形作為突破口.