☉安徽省當(dāng)涂縣大隴初級(jí)中學(xué) 倪興隆 王小虎

例、習(xí)題的結(jié)論能否作為證明的依據(jù)
——使用滬科版數(shù)學(xué)教材的幾點(diǎn)困惑與思考

☉安徽省當(dāng)涂縣大隴初級(jí)中學(xué) 倪興隆 王小虎

何謂證明？滬科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)第78頁(yè)就明確規(guī)定：“從已知條件出發(fā)，依據(jù)定義、公理、已證定理，并按照邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出結(jié)論，這一方法稱為演繹推理（或演繹法），演繹推理的過(guò)程，就是演繹證明，簡(jiǎn)稱證明.”其中，定理是“從公理或其他真命題出發(fā)，用推理方法證明為正確的，并被選作判斷命題真假的依據(jù).”通常證明有三大步驟，即：（1）根據(jù)題意，畫出圖形；（2）根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知和求證；（3）經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出結(jié)論的途徑，寫出證明過(guò)程，并注明推理的依據(jù).但是在使用滬科版教材（或配套教學(xué)用書）教學(xué)時(shí)，竟然發(fā)現(xiàn)多處運(yùn)用例題或習(xí)題的結(jié)論作為證明依據(jù)的案例，給教師的教和學(xué)生的學(xué)帶來(lái)了許多困惑，現(xiàn)將課本原文部分摘錄，以饗讀者，供大家探討.

【案例1】滬科版教材八年級(jí)下冊(cè)第79頁(yè)例5

例題：求證：經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊.

課本中的證明過(guò)程略.

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中位線.

關(guān)于三角形的中位線，有如下的定理.

定理：三角形兩邊中點(diǎn)連線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

已知：如圖1，D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn).

同理，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交BC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為BC的中點(diǎn).

則四邊形DFCE為平行四邊形.

困惑：（1）定理中說(shuō)“連線平行于第三邊”沒(méi)有問(wèn)題，但能否說(shuō)“連線”等于第三邊的一半？“連線”與“連線段”有區(qū)別嗎？

（2）教科書中用例5的結(jié)論作為三角形中位線定理證明的依據(jù)，這與教科書之前給出的證明的含義相悖，這種做法有無(wú)違背證明的邏輯規(guī)則？

思考：（1）關(guān)于“連線”與“連線段”.

連線應(yīng)該是連接兩點(diǎn)的直線，連線段應(yīng)該是連接兩點(diǎn)的一條線段.直線沒(méi)有長(zhǎng)短，因此不能說(shuō)連線等于第三邊的一半.而線段與直線平行不矛盾，所以本人認(rèn)為定理的說(shuō)法有問(wèn)題，應(yīng)該改為：“三角形兩邊中點(diǎn)的連線段平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.”

（2）關(guān)于困惑（2）.

課本中例5實(shí)際上是平行線等分線段定理的一個(gè)推論.但滬科版教材八年級(jí)下冊(cè)第107頁(yè)A組復(fù)習(xí)題第13題，僅僅以習(xí)題的形式彰顯了平行線等分線段定理，真正以定理的形式呈現(xiàn)，還是在九年級(jí)上冊(cè)第61頁(yè).

人教版教材在編排上就非?？茖W(xué)合理，首先編排了平行線等分線段定理和推理，繼而才有三角形中位線定理和梯形中位線定理.因此，在證明三角形中位線定理時(shí)，就不會(huì)出現(xiàn)上述用例題結(jié)論作證明依據(jù)的尷尬局面.

平行線等分線段定理的證明，只需要具備三角形全等的知識(shí)就足夠了，所以滬科版教材要么根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，像人教版那樣調(diào)整一下編排順序，要么采用圖2的輔助線，利用全等三角形和平行四邊形的知識(shí)來(lái)證明，這樣就可避免這種令人困惑的事情發(fā)生.

【案例2】1.滬科版教材八年級(jí)下冊(cè)第100頁(yè)習(xí)題20.5第5題

ADC）.

（2）求證：梯形的面積等于中位線與高的積.

證明過(guò)程略.

2.滬科版教材八年級(jí)下冊(cè)第110頁(yè)C組復(fù)習(xí)題第10題

習(xí)題：（1）如圖4，從◇ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D向形外的任意直線MN作垂線AA′、BB′、CC′、DD′，垂足分別是A′、B′、C′、D′，求證：AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）如圖5，將直線MN向上平移，使得點(diǎn)A在直線一側(cè)，B、C、D三點(diǎn)在直線的另一側(cè)，這時(shí)，從A、B、C、D向直線MN作垂線，垂足分別為點(diǎn)A′、B′、C′、D′，那么垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間存在什么關(guān)系？

（3）如圖6，再將直線MN向上平行移動(dòng)，使兩側(cè)各有兩個(gè)頂點(diǎn)，從A、B、C、D向直線MN作垂線段AA′、BB′、CC′、DD′，它們之間又有什么關(guān)系？根據(jù)圖5、圖6寫出你的猜想，并加以證明.（圖5和圖6省略）

滬科版配套教學(xué)用書中的參考答案：（1）證明過(guò)程略；（2）CC′-AA′=BB′+DD′；（3）CC′-AA′=DD′-BB′.利用全等三角形或梯形中位線性質(zhì)證明.

困惑：（1）上述第5題的第一問(wèn)就是梯形中位線的性質(zhì)定理，其他版本教材中都是以定理的形式呈現(xiàn)給學(xué)生的，為什么滬科版卻以習(xí)題的形式給出？在解決梯形的相關(guān)計(jì)算和證明時(shí)，能否用該習(xí)題的結(jié)論作為解題的依據(jù)呢？

（2）第5題的第二問(wèn)實(shí)際上是梯形中位線定理的推論，問(wèn)：在以后計(jì)算梯形面積時(shí)能否直接套用該公式？

（3）C組復(fù)習(xí)題中的第10題，雖然用三角形全等的知識(shí)能解決，但在證第二問(wèn)和第三問(wèn)時(shí)非常麻煩，如果采用梯形中位線的性質(zhì)來(lái)證明，就簡(jiǎn)單扼要多了.而梯形中位線的性質(zhì)，課本中沒(méi)有作為定理向?qū)W生傳授，學(xué)生能用、會(huì)用或敢用嗎？

思考：（1）上百度網(wǎng)搜索初中常用的數(shù)學(xué)定理，明確記有平行線等分線段定理、三角形中位線定理和梯形中位線定理以及它們的推論.那么，滬科版教材為什么不能將梯形中位線性質(zhì)及推論以定理的形式呈現(xiàn)給學(xué)生呢？

（2）根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，完全可以將這些定理及推論編排在平行四邊形和梯形的學(xué)習(xí)內(nèi)容中.這樣既可以為學(xué)生的解題提供簡(jiǎn)潔、快捷的方法，也可以開(kāi)發(fā)學(xué)生的思維，拓展學(xué)生的知識(shí)面.

（3）滬科版教材其課程內(nèi)容沒(méi)有呈現(xiàn)部分定理和推論，估計(jì)是受到課程標(biāo)準(zhǔn)的影響.筆者仔細(xì)閱讀課程標(biāo)準(zhǔn)，發(fā)現(xiàn)課程內(nèi)容中只是安排了“探索并證明三角形的中位線定理”，而沒(méi)有設(shè)計(jì)與梯形相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容.但是，課程標(biāo)準(zhǔn)又明確規(guī)定，教材編寫應(yīng)體現(xiàn)科學(xué)性和整體性，教材的整體設(shè)計(jì)要呈現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián).一些數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在邏輯順序，教材編寫應(yīng)有利于學(xué)生感悟這種順序.

（4）滬科版教材既然已經(jīng)將梯形作為一個(gè)單元編排在課本內(nèi)容當(dāng)中，并將梯形中位線定理設(shè)計(jì)于習(xí)題之中，就不妨按照“平行線等分線段定理及推論——三角形中位線定理——梯形中位線定理及推論——例、習(xí)題”的邏輯順序來(lái)設(shè)計(jì)教材內(nèi)容，這樣就不會(huì)出現(xiàn)運(yùn)用例、習(xí)題的結(jié)論來(lái)作為證明依據(jù)而有違邏輯規(guī)則的事情了.

數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識(shí)結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源.雖然教材編排提倡凸顯特色，積極探索教材的多樣化，但是，必須在不違背數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯關(guān)系的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律、知識(shí)背景和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，合理安排學(xué)習(xí)內(nèi)容，形成自己的編排體系，體現(xiàn)出自己的風(fēng)格和特色.同時(shí)，數(shù)學(xué)教材又是教師進(jìn)行教學(xué)的重要資源，是專家們精挑細(xì)選出來(lái)供學(xué)生學(xué)習(xí)的材料……因此，作為教師，在理解教材時(shí)，要根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行創(chuàng)造性地靈活運(yùn)用；要讀懂知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，找出一條主線統(tǒng)領(lǐng)相關(guān)內(nèi)容體系，創(chuàng)造性地引出、發(fā)現(xiàn)并證明結(jié)論.

以上觀點(diǎn)不知是否正確，敬請(qǐng)各位專家同仁批評(píng)斧正！

1.陳金紅.“理解教材”的靈動(dòng)思考與教學(xué)創(chuàng)新［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（8）.

2.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)·八年級(jí)·下冊(cè)［M］.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2009.