☉湖北襄陽市襄城區(qū)教研室 張少艷

☉湖北襄陽市第七中學(xué) 魏世勇

一道課本習(xí)題教學(xué)的實(shí)踐與思考
——關(guān)于例、習(xí)題教學(xué)有效性的探討

☉湖北襄陽市襄城區(qū)教研室 張少艷

☉湖北襄陽市第七中學(xué) 魏世勇

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開講題，如何講題，才能真正體現(xiàn)例、習(xí)題的作用，凸顯例、習(xí)題的價(jià)值？為此，我們通過“十分鐘講題”活動(dòng)，對(duì)如何提高例、習(xí)題教學(xué)的有效性進(jìn)行了一些實(shí)踐和探索，旨在引導(dǎo)教師鉆研教材，重視教材例、習(xí)題的研究與挖掘，切實(shí)提高例、習(xí)題教學(xué)的效率.現(xiàn)以課本一習(xí)題的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談點(diǎn)兒體會(huì)，供參考.

題目：如圖1，正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，求所圍成的圖形（陰影部分）的面積S.

一、習(xí)題分析

本題是人教版九年級(jí)上冊(cè)第114頁習(xí)題24.4第3題，是在學(xué)生已學(xué)習(xí)了三角形、矩形、正方形、圓、扇形、弓形等圖形的面積之后，給出的一道傳統(tǒng)的經(jīng)典習(xí)題，該題計(jì)算方法靈活多變且滲透了豐富的數(shù)學(xué)思想，深受歷來教材編審者的青睞.立足此題，可歸納出求解陰影面積的常用方法.

題目的難點(diǎn)是解題方法的構(gòu)思，即如何將陰影部分的面積化為規(guī)則圖形面積的和或差，要求學(xué)生有一定的觀察能力和計(jì)算能力.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指钆c轉(zhuǎn)化.

學(xué)生從小學(xué)開始就經(jīng)常接觸到此類求陰影部分面積的題目，因此對(duì)解題方法并不陌生，但由于學(xué)習(xí)時(shí)碰到的不少題目都有一定的難度，要求學(xué)生有較強(qiáng)的觀察能力，所以不少學(xué)生難免有畏難情緒，不愿意作深入思考.不過此類題目往往一點(diǎn)就透，看清楚后有一種豁然開朗的感覺，如果教師能適當(dāng)加以引導(dǎo)，也極易調(diào)動(dòng)學(xué)生的探究欲望.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

為方便起見，以下把陰影中兩個(gè)小弓形組成的圖形稱作一個(gè)花瓣，每兩個(gè)花瓣與正方形的一邊之間的部分稱作一個(gè)空白.

1.直接求部分陰影的面積

（1）求一個(gè)小弓形的面積.

分析：每個(gè)花瓣由2個(gè)小弓形組成，把陰影部分看成8個(gè)小弓形的和.可以計(jì)算一個(gè)小弓形的面積，然后乘以8，而一個(gè)小弓形的面積等于一個(gè)扇形減一個(gè)三角形的面積.

解法1：如圖3，取AB的中點(diǎn)E.

（2）求兩個(gè)小弓形的面積的和.

分析：把兩個(gè)小弓形的面積作為一個(gè)整體來看待，計(jì)算兩個(gè)小弓形的面積S1+S2，然后乘以4.

2.求空白的面積

（1）求半個(gè)空白的面積.

分析：每個(gè)空白由2個(gè)半個(gè)空白組成，把所有空白看成8個(gè)半個(gè)空白的和.可以計(jì)算半個(gè)空白的面積，用小正方形BEOF減去扇形FOB可求S3，然后乘以8，得到所有空白的面積，陰影的面積等于正方形的面積減去所有空白的面積.

（2）計(jì)算2個(gè)半個(gè)空白面積的和.

分析：利用矩形的面積減去一個(gè)半圓的面積可以得到2個(gè)半個(gè)空白面積的和.

（3）求1個(gè)空白的面積.

分析1：利用曲邊形AmOnCB的面積減去半圓的面積，從而得到一個(gè)空白的面積S4.由于該曲邊形包含有兩個(gè)空白，兩個(gè)花瓣，所以它的面積是正方形的一半.

4.覆蓋的方法

分析：用四個(gè)半圓去覆蓋這一個(gè)正方形，其中陰影部分覆蓋了兩次.所以，4S半圓＝S＋S正.

5.代數(shù)法

分析：設(shè)每個(gè)花瓣的面積為x，每個(gè)空白的面積為y，可列方程組.

解法10：如圖11，設(shè)每個(gè)花瓣的面積為x，每個(gè)空白的面積為y.

三、設(shè)計(jì)說明

1.歸納解題規(guī)律

通過直接求小弓形、間接求空白、割補(bǔ)、覆蓋、設(shè)元等手段，歸納出求陰影部分面積的基本方法，即將組合圖形的面積化為基本圖形面積的和或差.通過多題一解，培養(yǎng)學(xué)生的觀察，化歸能力；通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和深刻性.通過該題諸多方法、規(guī)律的小結(jié)、梳理，以一當(dāng)十，觸類旁通.

2.滲透思想方法

通過適時(shí)小結(jié)，螺旋上升，使學(xué)生的思維在一定程度上趨于有序、條理化，同時(shí)也為一些新思路的出現(xiàn)作鋪墊.求半個(gè)空白，2個(gè)半個(gè)空白，1個(gè)空白，2個(gè)空白的面積，就充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想；把2個(gè)小弓形、2個(gè)半個(gè)空白或2個(gè)空白放在一起計(jì)算，又體現(xiàn)了整體思想；而陰影面積往往涉及復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，所以有時(shí)通過設(shè)元溝通，及時(shí)滲透方程的思想也是有必要的.

3.關(guān)注學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)

不少學(xué)生受過去錯(cuò)誤解題經(jīng)驗(yàn)的束縛，或觀察能力不夠，缺乏對(duì)圖形的精準(zhǔn)把握，不能準(zhǔn)確地把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形的組合，從而帶來思路的錯(cuò)誤，而方法選擇的不合理容易導(dǎo)致運(yùn)算量的增加，致使解題出錯(cuò)或出錯(cuò)的幾率加大，因此在學(xué)生掌握基本方法的基礎(chǔ)上，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生靈活、合理地使用方法.當(dāng)然，基本運(yùn)算的過關(guān)是前提.

四、關(guān)于有效性的思考

1.注重技能目標(biāo)的落實(shí)

數(shù)學(xué)基本技能是指關(guān)于數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算、作圖（繪圖）、推理、表達(dá)、操作和一些技巧等，是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后直接可以獲得的結(jié)果.幫助學(xué)生掌握必要的基本技能是數(shù)學(xué)教學(xué)必須達(dá)成的目標(biāo).例、習(xí)題不僅是教師講課時(shí)用以闡明數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)命題的基礎(chǔ)性材料，也不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為基本技能的附件，更重要的是它還是“解決問題”在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的重要表現(xiàn)形式.

在例、習(xí)題教學(xué)中，教師應(yīng)啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生思考和尋找眼前的問題與自己已有知識(shí)體驗(yàn)之間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生經(jīng)歷回想、聯(lián)想、猜想的探究過程，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、概括、演繹推理等思維過程，體驗(yàn)、琢磨解題的思路、方法、技能的形成過程.教師還要注意在知識(shí)與技能形成的關(guān)鍵處給學(xué)生以必要的引導(dǎo)和點(diǎn)撥，讓學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)之后進(jìn)行理性的總結(jié)歸納，課堂上留給學(xué)生獨(dú)立思考和獨(dú)立完成作業(yè)的時(shí)間，通過應(yīng)用知識(shí)、訓(xùn)練形成技能.學(xué)生在知識(shí)和技能的不斷掌握與遷移的過程中，認(rèn)知結(jié)構(gòu)逐步得以同化或改組，數(shù)學(xué)能力也相應(yīng)得到了發(fā)展和提高.

2.注重解題方法的梳理與歸納

在例、習(xí)題教學(xué)過程中，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，盡量讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與知識(shí)、方法的探究過程，通過自己的閱讀、思考、觀察、操作、探索、想象、質(zhì)疑等豐富多彩的認(rèn)識(shí)過程來獲得知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想，獲得解題經(jīng)驗(yàn).

對(duì)解題方法進(jìn)行梳理與歸納，就是學(xué)生的一個(gè)學(xué)習(xí)反思的過程，通過反思解決問題的可能性和有效性，讓學(xué)生在自己的大腦中將知識(shí)與技能、過程與方法內(nèi)化為自己的學(xué)習(xí)能力，享受情感與態(tài)度上帶來的成功的快樂，就能有效地深化對(duì)知識(shí)的理解.對(duì)學(xué)生的發(fā)展而言，學(xué)習(xí)的價(jià)值不只是記住幾個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，解決幾個(gè)習(xí)題而已，而是讓學(xué)生在解決問題的過程中體會(huì)到解決問題是可以有不同策略的，這些解決問題的策略，滲透著數(shù)學(xué)的思想方法在里面.當(dāng)學(xué)生能用自己的語言表達(dá)對(duì)問題的理解，對(duì)常見的數(shù)學(xué)思想方法有一定認(rèn)識(shí)的時(shí)候，學(xué)生的思維才能真正得到升華.

3.關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的滲透

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的“靈魂”.“在解決具體問題中，數(shù)學(xué)思想往往起著主導(dǎo)作用，尤其是它對(duì)產(chǎn)生一個(gè)好‘念頭’，一種好‘思路’，一種好‘猜想’提供了方向”.中學(xué)數(shù)學(xué)主要涉及的數(shù)學(xué)思想有：轉(zhuǎn)化的思想，化簡(jiǎn)的思想，分類討論的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)與方程的思想，數(shù)學(xué)建模思想等.在例、習(xí)題講解時(shí)，教師不僅要告訴學(xué)生有哪些數(shù)學(xué)思想和方法，它們各自有什么作用，而且更重要的是向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和方法的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程.著名數(shù)學(xué)家波利亞說：“一個(gè)專心鉆研教材的老師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”事實(shí)上，數(shù)學(xué)的很多思想方法都隱藏在課本的例、習(xí)題中，在教學(xué)中，教師如果能對(duì)課本上的例、習(xí)題進(jìn)行必要的挖掘，往往會(huì)起到意想不到的效果，有利于學(xué)生知識(shí)的建構(gòu).

4.關(guān)注數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成

解題思維活動(dòng)中充滿著新舊認(rèn)知結(jié)構(gòu)的矛盾，已知與未知不斷變化發(fā)展的矛盾，老背景與新情景的矛盾.若沒有正確的思維，解題只能永遠(yuǎn)停留在模仿層次上.在教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生打開思維的翅膀，通過一題多解、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣.本節(jié)課在處理求陰影部分的面積時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用五種不同的方法來解決問題，從不同的角度來思考問題，學(xué)生會(huì)學(xué)得有滋有味，思維、能力都得到提升.這樣，學(xué)生掌握的將不是一道題的解法，而是一類題的解法.他們收獲的不僅僅是知識(shí)，還有興趣和思維.

例、習(xí)題教學(xué)是學(xué)生鞏固知識(shí)、發(fā)展能力、掌握思想方法的重要渠道，讓學(xué)生在潛移默化的例、習(xí)題探索過程中學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，進(jìn)而解決問題；領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的研究方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，從而達(dá)到“做一題，通一類，會(huì)一片”，體驗(yàn)“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的意境，才能游刃有余，以不變應(yīng)萬變.

這樣，我們的課堂教學(xué)才會(huì)更有效.

附：反饋練習(xí)

1.如圖12，正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，則圖中陰影部分的面積S=_______.

2.如圖13，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以AB為直徑在△ABC的同側(cè)作半圓，求圖中陰影部分的面積.

3.如圖14，已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線長分別為12、16，分別以每邊為直徑向形內(nèi)作半圓，求四個(gè)半圓弧所圍成的花瓣形的面積.

4.如圖15，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分別以AC、BC為直徑作半圓，求圖中陰影部分的面積.

5.如圖16，正方形的邊長為a，分別以兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)為圓心、以a為半徑畫弧，求圖中陰影部分的面積.

6.如圖17，扇形的圓心角為90°，且半徑為a，分別以O(shè)A、OB為直徑在扇形內(nèi)作半圓，P和Q分別表示兩個(gè)陰影部分的面積，那么P和Q的大小關(guān)系是____________.