☉浙江省義烏市第二中學 龔輝斌

遵循“兩個尊重” 提高數學作業(yè)講評有效性

☉浙江省義烏市第二中學 龔輝斌

作為數學日常教學的重要組成部分，作業(yè)講評在促進學生對于數學知識的理解、數學技能和方法的掌握、加速數學思想的領悟等方面具有重要的意義.然而，我們發(fā)現，作業(yè)講評教學普遍存在以下問題：缺乏以學生作業(yè)的實際解答情況為講評出發(fā)點的意識，導致講評的針對性不強；目標局限于單純的“糾錯”和“解惑”，導致講評的育人功能缺失……“數學是思維的科學.”［1］數學作業(yè)講評是思維活動的講評.上述問題的存在，不利于激發(fā)和維持學生數學學習的熱情，不利于學生思維能力的和諧健康發(fā)展.為實現數學作業(yè)講評的有效性，筆者以為遵循“兩個尊重”至關重要.

一、“兩個尊重”的涵義

1.尊重學生的思維

尊重學生的思維，包括兩個方面：一是尊重由作業(yè)反映的學生的思維特點和思維規(guī)律.這就是說，既要積極評價學生作業(yè)中有效的、高品質的數學思維活動，又要認真分析可能存在的思維缺陷、不足和錯誤，這是作業(yè)講評不可或缺的環(huán)節(jié)；二是尊重學生伴隨講評教學的思維發(fā)展權.作業(yè)講評的根本目的是發(fā)展學生的思維能力.講評教學并非單向的思維灌輸過程，而是在教師引領下學生對作業(yè)題再思考、對原解答再審視的過程，因而學生的思維活動占據了講評活動的重要成分，教師的“教”是為改進學生的解答、提升學生的思維品質服務的.總的來說，尊重學生的思維，要求我們既重視學生“作業(yè)中的思維”，又重視學生“課堂上的思維”，兩者互為聯系，并行不悖.

2.尊重數學的思維

尊重數學的思維，就是以具有普遍意義的、宏觀的數學思維方式作為作業(yè)講評的主旋律，以此引領學生糾正思維錯誤、彌補思維缺陷、開拓思維空間，幫助學生養(yǎng)成科學有效的思考習慣，形成對數學完整和深刻的認識.

尊重數學的思維，是追求作業(yè)講評的高品位、強化思想性教學的必然要求.囿于就題論題的作業(yè)講評有可能導致學生思維的低層次徘徊.尊重數學的思維，就是以數學中思考問題、分析問題的一般方法引導學生的思維再起步，以高影響力的策略性知識促使學生思維的升華，克服常見的“只見步驟，不見思想”的傾向，從根本上提升作業(yè)講評的境界，為學生謀取長遠的發(fā)展利益.

二、“兩個尊重”的落實

“兩個尊重”落實于具體的課堂教學，需要我們切實處理好數學方面和教育方面的關系，數學方面做到“內容深刻、到位”，教育方面做到“形式科學、高效”.

1.作業(yè)批改環(huán)節(jié)了解學生思維中的突出問題，講評伊始展示有典型意義的作業(yè)解答

作業(yè)講評，與其說講教師所知道的，倒不如說講學生正需要的.學生的作業(yè)解答為教師了解學生的數學學習狀況提供了最全面、最深刻的材料.在作業(yè)批改環(huán)節(jié)，從尊重學生的思維出發(fā)，把了解學生的思維狀況放在突出的位置是講評教學有的放矢、實現高效優(yōu)質的前提.為此，教師需要有“透過現象看本質”的意識和能力.這就是說，我們不僅要看到學生作業(yè)中的顯性表現，更要窺探其背后的思維過程，并對其思維品質作出恰當的評價.講評課上常見的“滿堂灌”、“無病呻吟”和“啟而不發(fā)”等不良現象，本質上與教師課前了解作業(yè)反映的學生思維現狀不夠密切相關.

尊重學生的思維，需要讓學生個體感受到老師對其思維活動的關注.具體地說，作業(yè)批改時，發(fā)現了學生作業(yè)中的思維閃光點，教師應該及時用文字或符號給予熱情的評價，同時做好摘錄，以便在后來的課堂講評時與全班同學共享，并“發(fā)揚光大”；而對于學生思維中存在的問題，教師不應該簡單地以“錯”、“壞”評價之，而應該作出具體的分析.比如，作業(yè)中的一些錯誤表面上看與學生對知識的理解、技能的掌握有關，可能根本的原因還是不良的思維品質和習慣，為此，教師作出簡短的點評和提示是必要的.

2.把數學概念的內涵、數學方法的作用和數學思想的本質等作為講評的核心內容，以此占據講評教學的制高點

“有些題目的難度是由題目本身和所用的數學方法決定的，倘若不從數學方法上下功夫，僅僅從教學方法的角度出發(fā)，學生學習起來仍然很辛苦.”［2］尊重數學的思維，要求教師圍繞學生的作業(yè)表現，以數學概念、方法和思想為載體，不僅把其中的思維講清楚，更要講深刻.史寧中先生指出，“一個學者或發(fā)明家得到的最后結論可能是非常完美，但頭腦中思考的是非常簡潔的東西.”［3］高層次的作業(yè)講評就是要讓學生學會像學者和發(fā)明家那樣簡潔地思維.

3.平衡“學”和“教”兩個方面的作用，追求作業(yè)講評效益最大化

遵循“兩個尊重”，要求我們緊緊圍繞“糾錯和解惑”這一短期目標和“發(fā)展學生的認識力和思維力”這一長期目標，積極處理好學生的主體性和教師的主導性關系.

具體地說，一方面，作業(yè)講評要自始至終強調學生思維的實質性參與，強化學生的思維體驗.實踐證明，學生糾正作業(yè)中的錯誤、克服作業(yè)中的困難并不能單純依靠他人的講授，而主要是一個思維引領和行為操作相結合的自我否定、自我發(fā)展的過程.事實上，不經過思考的不是數學，作業(yè)講評給予了學生再學習再創(chuàng)造的機會.

另一方面，作業(yè)講評要充分發(fā)揮教師對數學理解深刻的優(yōu)勢，強化示范和引領作用.數學問題的復雜性、數學思維的抽象性和學生智力的局限性決定了單純依靠學生自己的努力往往很難取得根本性的糾錯和問題關鍵處的突破.教師必須抓住時機，理直氣壯、毫不含糊地以自己的理解力培養(yǎng)學生的理解力，以自己的思維力發(fā)展學生的思維力，體現教師的實質性作用.例如，學生作業(yè)中的錯誤和困難常常源于數學的形式化特征.形式化的表達具有簡潔、深刻的特點，是一種文化繼承行為.然而，數學的形式化遠離了學生的原有經驗和生活實際，自然會給學生的理解和運用帶來困惑，造成學生作業(yè)中這樣那樣的錯誤和困難.如果教師不采取針對性的主導措施，學生可能永遠也明白不了問題的本質，走不出迷霧.

三、案例：一道“解含參不等式”作業(yè)的講評

學完了人教A版必修5第三章“不等式”，筆者在一次綜合練習中布置了下面的作業(yè)題

通過批改，發(fā)現了2種有代表性的（不正確）解答.講評伊始，利用投影儀，這2種解答展示如下：

課堂活動片段之一：用數學概念引領思維活動

師：解答1存在什么問題嗎？

教室很安靜，看來學生處于困惑之中.

師：請大家看一看它的推理過程.推理有問題嗎？

學生一致認為推理沒有錯誤.

師：既然推理沒有錯誤，看來問題出在解題目標的實現上.誰來說一說，“解不等式”的含義是什么？

課堂上請了一位采用解答1的學生A來回答.

生A：就是把滿足該不等式的x的值找出來.

師：是部分找出來，還是全部找出來？

生A：當然是全部找出來.

師：解答1最終把滿足不等式的x值都找出來了嗎？

生A：哦，我明白了！我是分“x>2”和“x<2”這兩段來找的，我還應該把這兩段內的x值“并”起來.

師：你講得很對！先來看“x>2”這一段吧！那么，你把“x>2”這一段內的x值找出來了嗎？

生A：好像還沒有.

師：“x>2”這一段內的x要滿足什么條件？為此，你需要做點什么？

反思 批改作業(yè)時，筆者發(fā)現不少學生的解答類似于上面的解答1.表面上看是學生的能力問題，其實，根本的原因還是學生對于“什么是解不等式”“解不等式的要求是什么”等常識性知識缺乏清晰的認知.我們說數學是自然的，首要表現在數學的思維是自然的，思維活動引領下的數學方法也是自然的.要讓學生的思維自然起來，需要教師借助實例使學生感受到“從概念出發(fā)，就是按概念確定的規(guī)則辦事”和“數學概念是數學方法的源泉”，從而培養(yǎng)學生重視數學概念的學習和理解的好習慣.上面的教學中，學生一旦明白了“解不等式就是把滿足不等式的x值無一遺漏地找出來”，后續(xù)的“為什么要討論”、“何時討論”和“怎樣討論”等分類討論難題便迎刃而解.解題就像是一次遠行，常常是數學概念決定了“要走怎樣的路”，以及“怎樣才算到達了目的地”.作業(yè)講評就是要讓學生的數學思維回歸自然，畢竟自然的思維是數學最本質的東西.

課堂活動片段之二：闡釋操作方法背后的數學思考

師：現在，我們來看解答2.采用這個解答的同學是怎么想的呢？

學生B不是一位采用解答2的學生，但他要求發(fā)言.

生B：我想，他是希望把這個不等式不斷地化簡.

師：是的.在解不等式時，我們經常會發(fā)現不等式中多個位置出現x的情形，x隱藏得很深，而解不等式的最終要求是寫出x的取值范圍，從這個角度來說，解不等式的過程其實是一個不斷化簡的過程.為此，解答2采取了“分離常數”、“求倒數”和“兩邊同乘以一個數”等一系列步驟，不斷朝著“確定x的取值范圍”的目標前進，這種方法是很合理的.

師：現在，請同學們仔細檢查一下這些步驟，操作過程有什么問題嗎？為什么？……

反思 數學方法常常表現為操作性步驟，數學方法的背后是數學思考.上面的講評，教師引導學生透過顯性的方法操作，闡釋其隱性的數學思考，并評析其合理性（或不合理性），這是保證學生思維參與并不斷深入、促使學生個體的思維向學生集體的思維轉化的教學形式，是大面積提高學生思維能力的有效舉措.從內容上看，不同于解答1的講評，教師一針見血地指出“解不等式的過程是一個逐步化簡的過程”，這就點出了“分離常數”、“求倒數”和“兩邊同乘以一個數”等一系列步驟的思維出發(fā)點，是尊重數學思維的集中體現.同時，也讓學生感受到了數學觀的教育，即“數學就是追求簡單”.

課堂活動片段之三：用數學思想開啟新思維

師：本章，我們學習了一元二次不等式的解法.把陌生的、較難的問題轉化為熟悉的、較易的問題，是數學中常用的思維策略.請同學們想一想，可以把這個分式不等式轉化為一元二次不等式來解嗎？

反思 抓住時機不斷推進學生的思維發(fā)展，是發(fā)揮作業(yè)蘊含的育人功能、體現教師主導性的重要方面.本題中，為幫助學生學會用聯系的觀點看待數學知識和數學方法，提升思維水平，教師及時提出了數學思想方面（轉化思想）的“學”的要求，提高了課堂講評的思想性.不僅如此，教師還對不等式轉化過程中的具體思維形式（抽象概括）給予了總結和強調，從而把發(fā)展學生的抽象思維意識落到了實處.

1.單墫.數學是思維的科學［J］.數學通報，2001（6）.

2.張景中，彭翕成.一線串通的初等數學［J］.數學通報，2010（2）.

3.史寧中.《數學課程標準》的若干思考［J］.數學通報，2007（5）.

4.李邦河.數的概念的發(fā)展［J］.數學通報，2009（8）.