☉江蘇省連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)東校區(qū) 姜曉剛

揭示本質(zhì) 挖掘思想 注重思維 提升素養(yǎng)
——例談蘇科版數(shù)學(xué)七下《平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）》復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)

☉江蘇省連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)東校區(qū) 姜曉剛

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是一種特殊的教學(xué)形式，在整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)中是一個(gè)十分重要的環(huán)節(jié)，其基本任務(wù)是：在教師的引導(dǎo)下，幫助學(xué)生系統(tǒng)地復(fù)習(xí)、梳理已經(jīng)學(xué)過(guò)的基礎(chǔ)知識(shí)，整合知識(shí)要點(diǎn)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，總結(jié)解題規(guī)律，熟練基本技能，掌握思想方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到完善，思維能力得到發(fā)展.怎樣科學(xué)、合理地設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容、精心地組織課堂教學(xué)呢？本文擬以蘇科版數(shù)學(xué)七下《平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）》進(jìn)行例說(shuō).

日前，學(xué)校組織教學(xué)檢查，聽(tīng)了七年級(jí)的幾節(jié)數(shù)學(xué)課，課題都是第七章《平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）》復(fù)習(xí)，幾乎都是按照以下的程序進(jìn)行：

（1）提前下發(fā)復(fù)習(xí)學(xué)案，學(xué)生提前預(yù)習(xí)和試做（一份復(fù)習(xí)學(xué)案8K紙正反面，大致分為平行線的性質(zhì)、平行線的判定、平移、三角形的概念、三角形的內(nèi)外角和等幾個(gè)部分，每個(gè)部分又大致分為知識(shí)重現(xiàn)（填空）、經(jīng)典例題（一道解答題）、針對(duì)性訓(xùn)練（填空、選擇、解答）等欄目）；（2）上課時(shí)，分小組派代表陳述答案或展示某題的解題過(guò)程，生與師共同評(píng)點(diǎn)；（3）遇到集體性的問(wèn)題或經(jīng)典性問(wèn)題，往往由教師主講；（4）最后由學(xué)生暢談本節(jié)課的收獲來(lái)結(jié)束復(fù)習(xí)課（有兩節(jié)課沒(méi)有完成預(yù)定的教學(xué)任務(wù)，沒(méi)有進(jìn)入到此環(huán)節(jié)）.

這樣進(jìn)行數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的優(yōu)點(diǎn)是極大地發(fā)揮了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主體性作用，較好地體現(xiàn)了學(xué)習(xí)小組的互幫互助的價(jià)值，較好地讓學(xué)生展示自我，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信.但是這樣的復(fù)習(xí)課缺乏“數(shù)學(xué)味”，如同之前的新授課的教學(xué)，沒(méi)有體現(xiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的內(nèi)涵和特色.

筆者認(rèn)為：復(fù)習(xí)不是知識(shí)的簡(jiǎn)單再現(xiàn)或分類，不是例習(xí)題的再現(xiàn)和重溫，而是要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行梳理，幫助學(xué)生對(duì)舊知識(shí)進(jìn)行回顧、深化，引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行系統(tǒng)整理要牽線成網(wǎng)，要充分發(fā)揮以題帶知識(shí)的作用，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移、綜合運(yùn)用，以期實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“揭示本質(zhì)、挖掘思想、注重思維、提升素養(yǎng)”的主旨.

筆者結(jié)合自己的教學(xué)認(rèn)識(shí)來(lái)談?wù)劚竟?jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì).

一、進(jìn)行知識(shí)梳理

數(shù)學(xué)知識(shí)之間彼此都是相互聯(lián)系的，在平時(shí)數(shù)學(xué)中，每課的知識(shí)點(diǎn)幾乎是孤立的，故在單元復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生從單元的整體出發(fā)，按各知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在邏輯關(guān)系進(jìn)行比較、歸類、概括、抽象，將分散零碎的知識(shí)系統(tǒng)起來(lái)，形成清晰、完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，由點(diǎn)連成線，由線織成網(wǎng)，能讓學(xué)生形成良好的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，鞏固所學(xué)知識(shí).

預(yù)習(xí)任務(wù)：

1.本章學(xué)習(xí)了哪些重要的知識(shí)和內(nèi)容，你能用自己喜歡的方式梳理一下嗎？試試看！

2.在本章學(xué)習(xí)的過(guò)程中，你學(xué)會(huì)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？能通過(guò)具體的實(shí)例說(shuō)明嗎？與同伴交流吧！

設(shè)計(jì)意圖：布魯納指出：“知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解，能使學(xué)生從中提高他直覺(jué)處理問(wèn)題的效果”.提前布置預(yù)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生用自己喜歡的方式梳理知識(shí)結(jié)構(gòu).上課伊始，可選擇部分學(xué)生的作品加以展示，并有目的地組織交流、組建結(jié)構(gòu)，教師再給予及時(shí)的評(píng)價(jià)指導(dǎo)，這樣既有利于對(duì)知識(shí)的理解，又可讓學(xué)生體驗(yàn)成功、增強(qiáng)自信.當(dāng)然在教學(xué)過(guò)程中教師也可對(duì)單元的知識(shí)進(jìn)行歸納整理，作為示范，潛移默化地影響學(xué)生學(xué)會(huì)組建知識(shí)結(jié)構(gòu).

如果學(xué)生暫時(shí)不具備單獨(dú)進(jìn)行梳理的能力，也可提供如下的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，讓學(xué)生學(xué)習(xí)理解和模仿.

二、著重變式訓(xùn)練

變式訓(xùn)練就是對(duì)數(shù)學(xué)中的命題、例題、習(xí)題進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，從而暴露問(wèn)題的本質(zhì)特征，揭示不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系的一種教學(xué)方法.通過(guò)變式例題、習(xí)題教學(xué)，可達(dá)到一題多用、一題多解、一法多用、多題歸一的效果，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，拓寬學(xué)生的思維空間.

變式訓(xùn)練是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課揭示本質(zhì)、挖掘思想、注重思維、提升素養(yǎng)的一種有效的方式和途徑.

進(jìn)行完知識(shí)梳理后，可出示以下例題并作系列變式.

例題 如圖1，在△ABC中，∠A=60°，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB，求∠P的度數(shù).

如果將條件“∠A=60°”改為“∠A=α”，則∠P的度數(shù)如何表示？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)∠A求∠P，主要涉及三角形內(nèi)角和定理，起點(diǎn)較低，難度不大，由數(shù)字到字母，體現(xiàn)了解法的一般性和結(jié)論的一般性.該題為學(xué)困生準(zhǔn)備，也是下面系列變式和拓展的起點(diǎn).

變式一：如圖2，在△ABC中，∠A=60°，BP、CP分別平分∠DBC和∠ECB，求∠P的度數(shù).

至此，問(wèn)題得以順利解決，從中也體會(huì)到由“例題”一路進(jìn)行變式（從內(nèi)角平分線到外角平分線、從角平分線到角的三等分線、從三角形到四邊形）的價(jià)值，洞悉了圖形變化的本質(zhì)，凸顯了解題的規(guī)律和思想.所以在復(fù)習(xí)教學(xué)中，例題的講解不能就題論題，要增加變式和解題反思環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，學(xué)會(huì)觸類旁通、舉一反三，內(nèi)化其解題思想和方法，提高解決問(wèn)題的能力和靈活應(yīng)變的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而實(shí)現(xiàn)有效復(fù)習(xí)和高效復(fù)習(xí).

著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門(mén)戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”這其實(shí)與我們常用的變式教學(xué)是一脈相承的.

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課擔(dān)負(fù)著“知識(shí)結(jié)構(gòu)的組織”和“數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用、數(shù)學(xué)思想方法的提煉”的雙重任務(wù).前者是為了建構(gòu)知識(shí)之間的關(guān)系，后者是為了鞏固知識(shí)，培養(yǎng)應(yīng)用知識(shí)和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.因此，在建構(gòu)知識(shí)和查漏補(bǔ)缺之后，應(yīng)該強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用和數(shù)學(xué)思想方法的提煉，選擇具有典型性、層次性和綜合性的問(wèn)題，以題目代知識(shí)，以知識(shí)點(diǎn)歸類題型，以題型挖掘解題規(guī)律和數(shù)學(xué)思想方法，真正引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

三、巧設(shè)數(shù)學(xué)活動(dòng)

荷蘭教育家弗賴登塔爾曾說(shuō)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)行再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)；教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生.”

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》明確提出：“數(shù)學(xué)要讓學(xué)生在參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)和具體情境中，初步認(rèn)識(shí)對(duì)象的特征，獲得一些體驗(yàn).因此在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，如果能設(shè)置一些數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題，嘗試運(yùn)用已有的知識(shí)解決問(wèn)題，既能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，又能起到復(fù)習(xí)鞏固和提高的作用，何樂(lè)而不為呢！

在《平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）》復(fù)習(xí)時(shí)，可設(shè)置如下的數(shù)學(xué)活動(dòng).

數(shù)學(xué)活動(dòng)1：給你一張長(zhǎng)方形紙片，任意折出一條折痕，請(qǐng)?jiān)僬鄢鲆粭l折痕，使它與前一條折痕平行，并解釋其中的數(shù)學(xué)道理.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生可能會(huì)給出這樣三種折法：

第一種：連續(xù)對(duì)折兩次后展開(kāi)（如圖15），三條折痕均平行，理由是同位角（都是90°）相等或同旁內(nèi)角（都是90°）互補(bǔ)，兩直線平行；第二種：將兩條短邊分別翻折到長(zhǎng)邊上（如圖16），所得折痕平行，理由是同位角（都是45°）相等，兩直線平行；第三種：通過(guò)折任一條折痕的兩條垂線（七上知識(shí)，如圖17），從而這兩條垂線（折痕）平行.

這三種折法，學(xué)生能夠想到，也能說(shuō)出理由.老師可以出示如圖18所示的折法（如有學(xué)生想到則更好），讓學(xué)生判斷并說(shuō)理（其中涉及平行線的性質(zhì)和判定）.通過(guò)折紙活動(dòng)，既積累學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

數(shù)學(xué)活動(dòng)2：（1）給你一張三角形紙片，能否通過(guò)折紙的方法將它分成面積相等的四個(gè)部分？若能，請(qǐng)說(shuō)明其中的數(shù)學(xué)道理.

（2）給你一張四邊形紙片，能否通過(guò)折紙的方法將它分成面積相等的四個(gè)部分？若能，請(qǐng)說(shuō)明其中的數(shù)學(xué)道理.

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)2（1）主要是讓學(xué)生從解決問(wèn)題的各種結(jié)果（如圖19）中感悟到三角形的中線具有平分三角形面積的性質(zhì).如果活動(dòng)到此為止，那數(shù)學(xué)價(jià)值就大打折扣了，所以緊接著活動(dòng)2（2），類似提出一個(gè)分四邊形面積為四個(gè)相等部分的問(wèn)題，試圖讓學(xué)生通過(guò)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將四等分四邊形面積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為四等分三角形面積的問(wèn)題（如圖20），可凸顯數(shù)學(xué)思想的價(jià)值和作用，也為學(xué)生日后解決類似的問(wèn)題提供了思考的策略和方法.

數(shù)學(xué)活動(dòng)3：（1）給你一張三角形紙片（事先設(shè)定好三個(gè)內(nèi)角分別為50°、60°和70°），請(qǐng)你任選一個(gè)角，按照?qǐng)D21所示的方式折疊（使被折角的頂點(diǎn)落在三角形的內(nèi)部），產(chǎn)生了∠1和∠2，再度量這兩個(gè)角和所折角的度數(shù)，并計(jì)算∠1+∠2.操作后與同伴交流結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？能用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋嗎？

（2）如果將上述的三角形紙片按照?qǐng)D22所示的方式折疊，產(chǎn)生六個(gè)角，這六個(gè)角的和是多少？你是如何得到這個(gè)結(jié)果的？

（3）取一張四邊形紙片，按照如圖23所示的方式折疊，產(chǎn)生八個(gè)角，這八個(gè)角的和是多少？你是如何得到這個(gè)結(jié)果的？

思考：如果是一張一百邊形的紙片，進(jìn)行類似地折疊，將會(huì)產(chǎn)生200個(gè)角，那么這200個(gè)角的和會(huì)是多少？說(shuō)說(shuō)你的想法.

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)3（1）通過(guò)學(xué)生的操作和交流，發(fā)現(xiàn)∠1+∠2等于被折角的2倍，進(jìn)而引發(fā)數(shù)學(xué)思考，嘗試運(yùn)用已有的知識(shí)（途徑一：由鄰補(bǔ)角、三角形的內(nèi)角和直接計(jì)算；途徑二：連接被折角的前后位置的兩個(gè)頂點(diǎn)，運(yùn)用外角等于兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角和計(jì)算）解決，實(shí)現(xiàn)由合情推理到演繹推理的過(guò)渡.活動(dòng)3（2）、活動(dòng)3（3）既可以直接度量操作可得結(jié)果，也可運(yùn)用活動(dòng)3（1）的結(jié)論計(jì)算得到結(jié)果.當(dāng)然選擇的不同，彰顯了思維層次上的差異.活動(dòng)3（3）的思考，則是將提升了思維的深度和力度，因?yàn)閷で鬁y(cè)量操作已行不通，只能通過(guò)數(shù)學(xué)縝密的說(shuō)理和計(jì)算來(lái)獲得結(jié)果，從而揭示這類題組的本質(zhì).故數(shù)學(xué)活動(dòng)是載體，經(jīng)歷操作、發(fā)現(xiàn)和思考，滲透的是數(shù)學(xué)思想，提升的是思維品質(zhì).

如有可能，還可以出示圖24，讓學(xué)生繼續(xù)探究∠1+∠2與被折的兩個(gè)角存在著某種數(shù)量關(guān)系嗎？甚至繼續(xù)探究圖20中的頂點(diǎn)折至三角形的外部時(shí)，∠1、∠2與被折角存在著某種數(shù)量關(guān)系嗎？

綜上，如果數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課能恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行知識(shí)梳理、著重變式訓(xùn)練、巧設(shè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，可凸顯數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)內(nèi)涵和特色，以期揭示本質(zhì)、挖掘思想、注重思維、提升素養(yǎng).

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.姜曉剛.基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的幾何復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（9）.

3.姜曉剛.初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)的研究與實(shí)踐［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2013（10）.FH