☉江蘇省蘇州高新區(qū)教研室 陳 勇

☉江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 丁益民

暴—露—從過(guò)一道程高三，范調(diào)研式試題引談起領(lǐng)

☉江蘇省蘇州高新區(qū)教研室 陳 勇

☉江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 丁益民

前不久，2014屆蘇州高三數(shù)學(xué)期初調(diào)研測(cè)試有如下一道題：

（1）略；

（2）如圖1，若k=2，試證明：AE，EF，F(xiàn)B成等比數(shù)列.

閱卷過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)該題的得分較低，全區(qū)均分僅5.9分（滿分16分），成為卡住大部分學(xué)生的難題.一直以來(lái)，解析幾何的解題教學(xué)成為高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中難以突破的問(wèn)題之一，師生付出了大量的時(shí)間與精力，但成效甚微.解析幾何解題教學(xué)究竟要講什么？怎么講？為此，筆者經(jīng)過(guò)調(diào)研和思考，認(rèn)為解析幾何解題教學(xué)要做到以下兩點(diǎn)：

一、暴露分析示范過(guò)程，提高問(wèn)題分析的現(xiàn)場(chǎng)執(zhí)行力

眾所周知，解析幾何試題的難點(diǎn)在于其繁雜的運(yùn)算，而學(xué)生在解析幾何試題上普遍畏難的表現(xiàn)多為怕算、算不到底、不會(huì)算等，這與教師側(cè)重于方法傳授，而忽視對(duì)算理算法的分析、示范與指導(dǎo)不無(wú)關(guān)系，特別是在教學(xué)中對(duì)條件的表征，信息的加工，運(yùn)算的優(yōu)化以及方法的生成與調(diào)整很少體現(xiàn)，導(dǎo)致學(xué)生僅僅形成固定模式化的思維認(rèn)知.我們認(rèn)為，只有深度地參與到與學(xué)生共同思維活動(dòng)的現(xiàn)場(chǎng)中去，并真實(shí)地剖析思維操作過(guò)程中的各個(gè)細(xì)節(jié)，對(duì)已有操作對(duì)象進(jìn)行合理的調(diào)控與展示，提高分析問(wèn)題的現(xiàn)場(chǎng)執(zhí)行力，才能讓學(xué)生深刻并真正地體會(huì)到思維的合理性與操作的認(rèn)同感.

如本題普遍是采取如下解法1：

S1：設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)；——（節(jié)點(diǎn)①）

S2：分別得到PC、PD的方程，進(jìn)而得點(diǎn)E、F坐標(biāo)；——（節(jié)點(diǎn)②）

S3：計(jì)算（表示）AE、EF、BF；——（節(jié)點(diǎn)③）

S4：驗(yàn)證三者關(guān)系

若按照上述流程按部就班講下去，學(xué)生可能聽(tīng)懂了，但讓學(xué)生自己獨(dú)立去做卻又出現(xiàn)問(wèn)題，原因就在于教師沒(méi)有對(duì)上述操作過(guò)程中的若干細(xì)節(jié)進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)分析與調(diào)整，并對(duì)方法進(jìn)行改善與改進(jìn).實(shí)際上，對(duì)上述過(guò)程我們可以引導(dǎo)學(xué)生分別對(duì)節(jié)點(diǎn)①、②、③進(jìn)行分析：

節(jié)點(diǎn)①的分析：設(shè)點(diǎn)P的方式有哪些？怎么設(shè)比較好？

節(jié)點(diǎn)②的分析：計(jì)算PC方程時(shí)是否可以通過(guò)類比迅速獲得？進(jìn)而迅速獲得F點(diǎn)坐標(biāo)？（②中兩個(gè)操作具體同構(gòu)的特征，可以從操作的一致性上進(jìn)行辨析.）

節(jié)點(diǎn)③的分析：計(jì)算AE的過(guò)程與BF的過(guò)程是否可以通過(guò)再次類比獲得？

通過(guò)上述的現(xiàn)場(chǎng)分析，充分暴露了師生在處理問(wèn)題過(guò)程中若干思維細(xì)節(jié)，并對(duì)這些細(xì)節(jié)進(jìn)行合適的再處理，學(xué)生在操作過(guò)程中發(fā)生了“操作的需求——操作的認(rèn)可”的心理活動(dòng)，并激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步的思考——是否可以進(jìn)一步優(yōu)化？一旦有了這樣的意識(shí)，下面的操作便應(yīng)運(yùn)而生：

反思：上述操作中引起運(yùn)算繁雜的主要原因在哪？

通過(guò)回顧上述操作流程，不難發(fā)現(xiàn)引起運(yùn)算繁瑣的原因是在求E，F(xiàn)坐標(biāo)的運(yùn)算上，這一運(yùn)算連鎖反應(yīng)導(dǎo)致了很多運(yùn)算的出現(xiàn)，可否回避這一運(yùn)算發(fā)生嗎？進(jìn)而形成解法2：

S1：設(shè)出P，E，F(xiàn)三點(diǎn)坐標(biāo)；

S2：分別由P、E、D三點(diǎn)共線和P、F、C三點(diǎn)共線，通過(guò)斜率或向量得到點(diǎn)F與P、C的坐標(biāo)關(guān)系和點(diǎn)E與P、D的坐標(biāo)關(guān)系；

S3：計(jì)算（表示）AE、EF、BF；

S4：驗(yàn)證三者關(guān)系.

引導(dǎo)學(xué)生預(yù)估這一算法的運(yùn)算長(zhǎng)度，并對(duì)上述兩種解法進(jìn)行比較：解法2是否比解法1得到改善與改進(jìn)？進(jìn)步在哪里？是否還可以進(jìn)一步優(yōu)化等.如此對(duì)已有的操作設(shè)計(jì)進(jìn)行必要的剖析與比較，能使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步優(yōu)化思維對(duì)象的意識(shí)，并對(duì)每一次優(yōu)化的過(guò)程進(jìn)行比較與調(diào)控，真正讓思維走向細(xì)節(jié)達(dá)到提升.

二、用范式引領(lǐng)思維的發(fā)生，促進(jìn)數(shù)學(xué)探索意識(shí)的形成

正如前文所述，當(dāng)前解析幾何解題教學(xué)的癥結(jié)在于對(duì)思維對(duì)象的形式固化，即思維的認(rèn)知呈現(xiàn)出封閉的或狹窄的傾向，問(wèn)題出在課堂教學(xué)中教學(xué)視野的狹窄與封閉，只有課堂中將思維的訓(xùn)練向四面八方打開(kāi)，才有可能引發(fā)學(xué)生的思維熱情，才有可能培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的意識(shí)與能力.當(dāng)然，打開(kāi)思維必須有一定規(guī)范的思維范式作指引，學(xué)生通過(guò)思維范式的引領(lǐng)加以一定量的理解與實(shí)施，逐步地會(huì)形成數(shù)學(xué)探索的意識(shí).

如解答完本題中，我們可以讓學(xué)生從兩個(gè)基本方向展開(kāi)探究：

方向1：是否可以逆向看問(wèn)題？

——若AE，EF，F(xiàn)B成等比數(shù)列，則k=2嗎？

實(shí)質(zhì)上，該問(wèn)題是將原問(wèn)題表達(dá)中常量置換為變量，通過(guò)條件解方程即可獲解，具體如下：

過(guò)點(diǎn)P作AD、BC的垂線，垂足為G、H，由三角形相似知識(shí)（三組相似）分別表示出AE、EF、BF，僅僅是將其中的AD長(zhǎng)度用kb代換，然后通過(guò)已有信息EF2=AE·BF運(yùn)算即可.

逆向探究是進(jìn)行數(shù)學(xué)探究常用的范式，是尋求數(shù)學(xué)命題具有邏輯依據(jù)的“逆向”表征，通過(guò)原問(wèn)題與逆向問(wèn)題的雙向研究，真正找到理解問(wèn)題本質(zhì)的通道.

方向2：是否可以進(jìn)一步看問(wèn)題？

——矩形ABCD，AB=2a，AD=2b，E、F是邊AB上兩點(diǎn)，且AE，EF，F(xiàn)B成等比數(shù)列，直線DE、CF交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的軌跡是什么？

很明顯地這一問(wèn)題就是結(jié)合方向1進(jìn)一步拓展地看問(wèn)題，其操作的思路與上述一致：

設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用相似知識(shí)分別表示出AE、EF、BF，根據(jù)已有信息EF2=AE·BF，將得到含有點(diǎn)P坐標(biāo)的式子進(jìn)行操作（相乘并化簡(jiǎn)）便可獲得點(diǎn)P的軌跡方程.

拓展探究是進(jìn)行解析幾何解題教學(xué)時(shí)一種重要的“范式”，通常是對(duì)原問(wèn)題中已有信息進(jìn)行合理或合適的重組、整合、變換等操作，使得在已有操作中進(jìn)行問(wèn)題本質(zhì)探求的新的操作活動(dòng).不難看出，經(jīng)過(guò)“拓展探究”可使學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解和認(rèn)識(shí)更開(kāi)闊更靈活，更為重要的是教給了學(xué)生如何進(jìn)行思維或?qū)λ季S對(duì)象進(jìn)行新的表征的途徑，真正地打開(kāi)了學(xué)生思維向四處伸展的枷鎖，激發(fā)了學(xué)生探求的方向與動(dòng)力.

1.丁益民.從一道高考填空題談思維［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2010（6）.

2.丁益民.從一道高三模擬題談解析幾何解題教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2013（7）.