☉浙江省衢州市實驗學(xué)校 詹金芳 王文森

演繹精彩 追求完美
——對一節(jié)圓的基本性質(zhì)復(fù)習(xí)課的思考

☉浙江省衢州市實驗學(xué)校 詹金芳 王文森

筆者有幸聽到某縣一節(jié)關(guān)于圓的基本性質(zhì)的單元復(fù)習(xí)課，感想頗多，現(xiàn)將教學(xué)基本過程和筆者的一些感悟整理成文，與同行分享交流.

一、教學(xué)過程的展現(xiàn)

1.知識回顧

教師在課堂開始時對圓的基本性質(zhì)這一章的知識要點進行梳理，重點圍繞圓的軸對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性而展開，通過這兩個性質(zhì)梳理出垂徑定理、圓心角定理和圓周角定理等知識，一方面對所學(xué)知識進行回憶，形成完整的知識結(jié)構(gòu)，另一方面為后續(xù)知識的應(yīng)用作了鋪墊.該環(huán)節(jié)花時5分鐘

2.典型例題

在完成基本知識的梳理后，教師給出如下例題，并讓學(xué)生獨立解決該例題.

例 如圖1，在⊙O中，AB為直徑，AC∥OD.求證：CD=BD.

學(xué)生獨立思考并書寫解題過程，8分鐘后，超過一半的學(xué)生已完成該題的證明，這時，教師讓學(xué)生把筆放下，進入?yún)R報交流環(huán)節(jié).

學(xué)生1：連接OC，如圖2.

由AC∥OD，得∠ACO=∠COD，∠A=∠BOD.由OA=OC，得∠ACO=∠A.

則∠BOD=∠COD.

則CD=BD.

教師根據(jù)學(xué)生1的解答進一步回顧解題過程中所用的知識點——平行線的性質(zhì)、圓心角定理等知識.

學(xué)生2：連接BC，如圖3.

教師梳理解題過程中所用的知識——直徑所對的圓周角是直角、垂徑定理等.

學(xué)生3：老師，我不用添加輔助線就能解決問題，大家請看圖1.

學(xué)生3的解答贏得了全班同學(xué)的掌聲，之后教師結(jié)合學(xué)生的解答進行了知識梳理——同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；在同圓或等圓中，弧相等，則弧所對的弦也相等.

教師在學(xué)生展示了三種方法之后，對三種解法所用的知識再次進行梳理，建立了如圖4所示的知識結(jié)構(gòu)圖，并強調(diào)各個等量之間相互轉(zhuǎn)化時應(yīng)注意的前提條件.

知識結(jié)構(gòu)梳理完整后，教師繼續(xù)追問：“同學(xué)們還有別的辦法嗎？誰來說說？”此時，教室內(nèi)再次安靜下來，幾分鐘后，教師提醒：“有想法或困惑的同學(xué)可以和其他同學(xué)交流討論.”而后，教師走向各個學(xué)習(xí)小組，進行個別輔導(dǎo).

“同學(xué)們，誰來說說別的證明方法？”教師繼續(xù)追問.

學(xué)生4：連接AD，如圖5.

學(xué)生6：連接OC，如圖1.

由AB為O的直徑，得∠BOC=2∠BAC（同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半）.

在教師不斷的鼓勵和引導(dǎo)下，學(xué)生還給出了四種解題方法，有的甚至添加了三四條輔助線，教師對每種解法所用的知識進行了歸納和總結(jié)，課堂氣氛十分活躍，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性很高，到離課堂結(jié)束還有六分鐘時，教師不得不“踩剎車”，匆匆進入課堂的第三環(huán)節(jié).

3.變式訓(xùn)練

因為時間關(guān)系，教師準備的其他幾個變式練習(xí)沒有進行展示，講完該練習(xí)題本節(jié)課就結(jié)束了.

二、筆者的反思

1.值得借鑒的方面

（1）一道題，一節(jié)課，理出一章的知識——值得學(xué)習(xí)的復(fù)習(xí)課模式.

本節(jié)課教師通過知識回顧、典型例題和變式訓(xùn)練三個環(huán)節(jié)完成了圓的基本性質(zhì)的整章復(fù)習(xí).知識回顧環(huán)節(jié)幫助學(xué)生提取記憶，為后面例題的解答作鋪墊，本環(huán)節(jié)一帶而過（有時候可以將此環(huán)節(jié)與例題講評穿插起來，邊分析問題邊回憶知識點）.而后進入本節(jié)課的重點環(huán)節(jié)——典型例題教學(xué).本環(huán)節(jié)中教師利用一道低起點、多切口的例題，讓學(xué)生用不同的方法進行解決，從而再次幫助學(xué)生回憶和梳理整章的知識，建立完整的知識結(jié)構(gòu)圖.課堂中，教師避免了枯燥的知識講解和大量的試題訓(xùn)練，把課堂的主動權(quán)交給了學(xué)生，真正起到了組織者的作用.學(xué)生的課堂參與性好，氣氛活躍，學(xué)得主動又輕松，學(xué)生的主體性地位得到充分的體現(xiàn).整節(jié)課主要圍繞著一個問題進行分析和講解，問題的起點低，幾乎所有學(xué)生都能解決，但它的切入口很寬，解決問題的方法多樣，不同的人在解決問題時會有不同的收獲和體會.最后再將例題進行變式訓(xùn)練，進一步深化問題，從而達到梳理整章知識并對知識進行拓展與應(yīng)用的目的，這是一種值得學(xué)習(xí)的有效的復(fù)習(xí)課教學(xué)模式.

（2）精心的預(yù)設(shè)，精彩的演繹——問題解決方法多樣化得以充分的展現(xiàn).

從本節(jié)課的教學(xué)構(gòu)思和課堂反映來看，教師對課堂進行了精心的預(yù)設(shè).從知識鋪墊來說，在進行例題教學(xué)之前，教師將本章知識作了簡單的回顧，幫助基礎(chǔ)較弱的學(xué)生重拾記憶，為后續(xù)的學(xué)習(xí)作好鋪墊.從例題的選擇與設(shè)計來說，題目本身難度不大，照顧到了班里的所有學(xué)生，解決問題的思路多樣化又為不同能力的學(xué)生提供了發(fā)展的空間，而各種解法所用的知識不盡相同，匯總各解法所用知識又覆蓋了本章所有重要知識點，可將本章知識進行系統(tǒng)整理，堪稱經(jīng)典例題.從時間預(yù)留方面來說，教師為學(xué)生留有足夠的時間思考問題（近8分鐘的時間獨立思考）和交流方法（花了大半節(jié)課），整節(jié)課就圍繞一個問題的解決，讓學(xué)生通過自身的獨立思考獲得問題解決的不同方法，而后在各自方法的交流匯報中，給所有學(xué)生呈現(xiàn)了多樣的問題解決方法，促進了學(xué)生對問題的多方面理解.對于多數(shù)學(xué)生，這樣的經(jīng)驗將促使他們從多個角度思考問題，形成多樣化的問題解決意識.比起教師引導(dǎo)的方法，學(xué)生往往對自己做過、思考過或表述過的方法要有更深刻的印象.從本節(jié)課的教學(xué)實際來看，學(xué)生的主體地位得以完整的體現(xiàn)，求異思維得到充分的展現(xiàn)，真正成為了課堂的主人，問題解決方法多樣化的教學(xué)理念得以充分的展現(xiàn)和演繹.

2.有待商榷的方面

（1）問題解決的方法是否越多越好？如何恰當處理方法多樣化和方法優(yōu)化的關(guān)系？

新課程倡導(dǎo)問題解決方法的多樣化，那么是否方法越多越好，甚至不惜代價地追求多樣的方法呢？

本節(jié)課教師給出一個例題，盡情地展示學(xué)生不同的解決方法，在學(xué)生匯報完三種方法之后，教師覺得不夠，在教師的不斷“鼓勵與引導(dǎo)”下，花上將近一節(jié)課的時間，終于如愿以償，出現(xiàn)了“盛世的繁華”，精心預(yù)設(shè)的十余種方法得以“完美的演繹”.我們不禁要問，這樣的“投資”值嗎？是否有點兒為多樣化而刻意追求多樣化？多樣化并非教學(xué)的目的，而只是一種手段，關(guān)鍵在于獨立思考.問題解決方法多樣化主要體現(xiàn)學(xué)生的主動參與精神，利于學(xué)生求異、求新思維的發(fā)展，但是過分追求方法多樣化其作用會大打折扣.學(xué)生的思維是多樣化不竭的源泉，本節(jié)課我們不禁為學(xué)生這些多種多樣的、多角度的方法而驚嘆，但師生一對一地匯報這些方法，花去了大量時間，一節(jié)課的時間已所剩無幾，這樣去追求方法多樣化其教學(xué)效果必然低下.從學(xué)生的解答中我們不難看出，有的方法是雷同的（學(xué)生6和學(xué)生3的），有的是在前一種方法的啟發(fā)下得出的（學(xué)生4和學(xué)生1的），有的甚至是思維層次從高到低的（學(xué)生5的），有的是為了教師的“還有嗎”再去“創(chuàng)造”的（最后匯報的幾種方法）.

由此可見，在課堂教學(xué)中，應(yīng)具體看學(xué)生的方法是不是通性通法，是不是有價值，如果是為多樣化而多樣化，那就不值得提倡.為此，我們在倡導(dǎo)方法多樣化的前提下，有必要對方法進行優(yōu)化，并恰當?shù)靥幚砗梅椒ǘ鄻踊c優(yōu)化的關(guān)系，從而實現(xiàn)課堂效率最大化.我們不妨借助本節(jié)課的例題教學(xué)加以說明.

本節(jié)課教師可以讓學(xué)生展示幾種比較通用的方法，如前三位學(xué)生的解答，他們的解答方法是常用方法，也是通法（在圓中證明兩條弦相等，通常從圓心角、圓周角、弧、弦心距等入手，學(xué)生1是從圓心角入手，學(xué)生3是從弧入手；出現(xiàn)直徑時通常構(gòu)造直角，學(xué)生2的思路是這樣形成的），至于后面出現(xiàn)的許多方法，基本上可以回歸到前面三種方法上來，或者當學(xué)生出現(xiàn)其他解法后，讓學(xué)生對各種方法進行比較，歸納出通用的、簡潔的解法，從而達到優(yōu)化方法的目的.對于學(xué)生出現(xiàn)添加好幾條輔助線的方法，教師應(yīng)作適當引導(dǎo)，舍簡求繁不可取，方法不通用沒有介紹的必要，或?qū)⑵湓須w結(jié)到前面的方法之中，一言以代之.在例題教學(xué)上若能這樣去處理，既關(guān)注方法的多樣化，又對方法進行優(yōu)化，那么教學(xué)效果定能明顯提高，既能節(jié)省出時間去落實變式訓(xùn)練，又幫助學(xué)生歸納提煉了思考問題的一般方法和途徑.

值得注意的是，在方法優(yōu)化的過程中，我們要避免為形成一種統(tǒng)一的方法而急于擇優(yōu)的現(xiàn)象，在學(xué)生回答了一兩種方法后，教師就順勢開始引導(dǎo)學(xué)生去比較這些方法，得到一個認為高效的有利于每個學(xué)生掌握的方法，然后鞏固并加以強化.這種過早擇優(yōu)也會帶來一些負面的影響，如學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性提不起來，不愿意參與課堂討論，甚至有時還會為猜測教師的意圖而思考等.

為此，我們應(yīng)反思：方法比較的目的是什么？是否存在大家公認的最優(yōu)方法？

方法比較的目的，首先應(yīng)是通過方法的交流、匯報、比較，使學(xué)生從多個角度思考問題，形成多樣化的問題解決意識；其次才是使學(xué)生明確各種方法的特點，從而有助于學(xué)生根據(jù)自身的思維特征、認知水平和喜好選擇適合自己的解決問題的方法.從這個意義上講，方法的優(yōu)劣是相對于學(xué)生個體而言的，而非針對學(xué)生群體的.由于學(xué)生自身的喜好和思維特征存在著很大的差異，因而，難以存在一個統(tǒng)一的大家都認可的優(yōu)越方法.此外，一定程度上，簡捷的方法往往是經(jīng)過了人為的加工和抽象、概括，因而可能并非本質(zhì)的方法.任何一個方法都有一定的局限性，這也許就是解題中的辯證法.當然，教學(xué)中，對學(xué)生所提供的各種方法給予適當?shù)谋容^與評判，使得學(xué)生對各種方法有個比較全面的、客觀的認識，然后根據(jù)自身的特點選擇各自喜歡的方法，這是十分必要的.學(xué)生的評價會對方法的優(yōu)化做出一個比較好的詮釋.

（2）教師如何做好解題后的歸納總結(jié)與提煉升華？

歸納總結(jié)、提煉升華是解題教學(xué)必不可少的環(huán)節(jié)，可謂是點睛之筆.好的歸納與提煉在教學(xué)中花時不長，卻能收到良好的教學(xué)效果：有的能迅速提高學(xué)生的解題能力，有的能讓學(xué)生產(chǎn)生頓悟.因此，如何更好地做好解題后的歸納和提煉是值得教師研究的課題.

本節(jié)課中，教師對每一位學(xué)生的解答都進行了歸納總結(jié)，總結(jié)了每種解法所用的知識點，多種解法所用的知識將整章的知識點連成了一張網(wǎng)，可以說教師的總結(jié)及時、有效，整個知識脈絡(luò)清晰、流暢，但是，教師的歸納總結(jié)始終停留在知識層面，而忽略了其他的方方面面.如前面所述的方法優(yōu)化的過程就是一個解題方法方面的歸納總結(jié)，這一環(huán)節(jié)的缺失，必然對學(xué)習(xí)產(chǎn)生事倍功半的影響.若在方法多樣化的前提下，讓學(xué)生進行比較，對方法進行優(yōu)化，學(xué)生定能分析出適合自己又通用、簡潔的方法，學(xué)習(xí)就會達到事半功倍的效果.再如，本節(jié)課從未對學(xué)生解題思路形成方面作歸納與提煉，學(xué)生從開始到結(jié)束都是天馬行空式的搜索解題思路，缺乏必要的引導(dǎo)和提煉.若指導(dǎo)學(xué)生從已知出發(fā)、從結(jié)論出發(fā)、從已知和結(jié)論綜合考慮的角度思考問題，學(xué)生的證明思路定能更加快速的形成，在學(xué)生匯報解法后追問一句“你是怎么想到的？”也許效果會更好.在完成證明以后，教師若能幫助學(xué)生歸納提煉出“在證明圓中弦相等的問題的一般思路，以及由弦相等過渡到圓周角相等、圓心角相等等數(shù)量關(guān)系上的一般思路”，學(xué)生的學(xué)習(xí)會更輕松，學(xué)習(xí)效果會更加好.

因此，我們在解題教學(xué)中要善于歸納總結(jié)，并力爭達到提煉升華的目的.我們不僅要總結(jié)知識的生成、建構(gòu)與拓展，還要歸納解題的思路、方法與技巧，提煉出解題過程中滲透的數(shù)學(xué)思想，并在這一過程中提升學(xué)生的能力.

以上是筆者對本節(jié)課的一些不成熟的想法和認識，敬請專家學(xué)者批評指正！

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2.詹金芳，方玉芬，鄭志奎.知其然 知其所以然“然”何而來［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2011（8）.

3.張偉俊.先思后展變式感悟教學(xué)策略的實踐與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2012（9）.

4.張優(yōu)幼.感受理念 關(guān)注個體［J］.中小學(xué)教材教學(xué)，2004（1）.WG