魯 可，曹 毅，李秀娟

（河南工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河南 鄭州 450007）

0 引言

機(jī)器人的工作空間定義為在結(jié)構(gòu)限制下末端執(zhí)行器能夠達(dá)到的所有三維位置的集合[1]。工作空間也稱(chēng)為工作容積或者工作包絡(luò)面。機(jī)器人工作空間的大小代表了機(jī)器人的活動(dòng)范圍，它是衡量機(jī)器人工作能力的一個(gè)重要的運(yùn)動(dòng)學(xué)指標(biāo)[2]。

在機(jī)器人工作空間的計(jì)算中，我們最關(guān)心的是其相應(yīng)的形狀和體積。機(jī)器人工作空間的這兩方面非常重要，因?yàn)樗鼈冇绊懼僮鞅鄣脑O(shè)計(jì)和操作臂的靈活性。目前，機(jī)器人工作空間的求解方法主要有解析法、圖解法以及數(shù)值法[1]。分析法可以確定工作空間邊界曲面的閉合形式描述，但是這些方法通常與機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的非線(xiàn)性方程和倒置矩陣相關(guān)，因而非常復(fù)雜[3]。相對(duì)而言，數(shù)值法較為簡(jiǎn)單靈活。由于概率方法與逆雅可比計(jì)算無(wú)關(guān)，比較容易實(shí)現(xiàn)，因此研究人員通常所選擇的概率方法是蒙特卡洛方法[4,5]。本文主要是通過(guò)一種基于數(shù)值方法和三維實(shí)體建模的方法來(lái)確定三維操作臂工作空間的3D形狀和體積。

1 機(jī)器人操作臂的示例

本文列舉了一種機(jī)器人操作臂的例子來(lái)闡述3D 建模方法。機(jī)器人操作臂如圖1 所示，它包含一個(gè)回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和兩個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)（RPP 模型）。該機(jī)器人操作臂的前向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

圖1 一個(gè)RPP 機(jī)器人操作臂的模型Fig.1 A RPP robot manipulator model

對(duì)于RPP 模型來(lái)說(shuō)，回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)（J2）的活動(dòng)范圍沒(méi)有限制，兩個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)（J1 和J3）的移動(dòng)范圍分別為a1∈[0,1]和a3∈[0,1]。

2 主工作平面下的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

在模型中，如果第一個(gè)關(guān)節(jié)固定，那么機(jī)器人操作的其余部分可以視作一個(gè)平面機(jī)器人，也就是說(shuō)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)被限定在一個(gè)平面內(nèi)。當(dāng)機(jī)器人的第一個(gè)關(guān)節(jié)變量等于零時(shí)，定義這個(gè)平面為主工作平面。機(jī)器人在主工作平面上相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下所示：

假設(shè)機(jī)器人在主工作平面上的邊界閉合曲線(xiàn)可以得到，那么其3D 實(shí)體工作空間可以在Unigraphics 軟件中通過(guò)沿關(guān)節(jié)1 的Z0軸旋轉(zhuǎn)或伸展平面曲線(xiàn)計(jì)算得出。

由上述可知，獲得機(jī)器人的3D 工作空間有兩個(gè)重要步驟。首先是確定平面機(jī)器人的邊界閉合曲線(xiàn)，然后通過(guò)將閉合曲線(xiàn)輸入到Unigraphics 軟件中來(lái)生成3D 工作空間。

3 生成近似平面工作空間

本文依據(jù)從機(jī)器人關(guān)節(jié)空間到工作空間的運(yùn)動(dòng)學(xué)映射關(guān)系，采用蒙特卡洛方法[6]計(jì)算機(jī)器人的工作空間。工作空間生成的原理就是關(guān)節(jié)變量與工作空間的映射關(guān)系[7]。

（1）生成近似工作空間。操作臂的關(guān)節(jié)空間采用蒙特卡洛方法來(lái)獲得近似工作空間。一個(gè)由隨機(jī)點(diǎn)構(gòu)成的工作空間如圖2 所示。

圖2 蒙特卡洛點(diǎn)的分布圖Fig.2 Distribution of monte Carlo point

圖3 搜索輪廓點(diǎn)Fig.3 Search of outline points

（2）繪制邊界曲線(xiàn)。首先，我們將每一層的工作空間被劃分成不同的列。這樣問(wèn)題即簡(jiǎn)化成在一條線(xiàn)上尋找邊界點(diǎn)。由于每列至少有一個(gè)蒙特卡洛點(diǎn)，邊界點(diǎn)可以用以下步驟獲得：①沿著Y 軸尋找極值ymax, ymin和相應(yīng)的點(diǎn)Emax，Emin；②根據(jù)Y 坐標(biāo)的值，將蒙特卡洛點(diǎn)分配到相應(yīng)的列；③沿著X 軸在每一列上尋找邊界點(diǎn)；④連接邊界點(diǎn)建立邊界曲線(xiàn)。從點(diǎn)Emax,依次尋找最近的點(diǎn)，用直線(xiàn)連接，直到所有的點(diǎn)構(gòu)成閉合曲線(xiàn)為止。

通過(guò)上述四個(gè)步驟，可以得到RPP 機(jī)器人在主工作平面的邊界曲線(xiàn)，如圖4 所示。

保存所得到的連續(xù)的邊界曲線(xiàn)到一個(gè)以.dat 為后綴的文件中。這個(gè)文件格式總共包含3 列，第1 列為x 軸坐標(biāo)，第2 列為y 軸坐標(biāo)，第3 列為z 軸坐標(biāo)。

4 確定3D 工作空間

圖4 RPP 機(jī)器人在主工作平面的邊界曲線(xiàn)Fig.4 Boundary curve of main workspace of RPP robots

機(jī)器人的工作空間的3D 模型可以幫助人們更好的理解3D 空間中工作空間的形狀和體積。在這里我們選用Unigraphics 軟件來(lái)建立機(jī)器人工作空間的3D 模型。

我們將主工作空間平面的邊界曲線(xiàn)輸入到Unigraphics 軟件中。利用該軟件菜單“Insert→Curve→Spline”，在Spline popup 菜單中單擊“Through Points”，然后在“Spline Through Points”中選擇“Spline Through Points”，并設(shè)置曲線(xiàn)維度為1，單擊“Points from file”。我們選擇包含邊界點(diǎn)的文件，單擊“OK”即可。在菜單“Insert→Design Feature→Revolute”中，選擇邊界曲線(xiàn)為部分幾何，單擊Z 軸作為旋轉(zhuǎn)軸，然后輸入轉(zhuǎn)動(dòng)角度為（-90°, +90°），就可以得到3D 工作空間的實(shí)體模型。

對(duì)于RPP 機(jī)器人，其主工作平面的工作空間的邊界曲線(xiàn)如圖4 所示。采用上述步驟，將邊界曲線(xiàn)輸入到Unigraphics 軟件中，由于第一個(gè)關(guān)節(jié)為棱柱，我們可以將邊界曲線(xiàn)沿Z 軸第一個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍a1（0,1）旋轉(zhuǎn)，生成RPP 機(jī)器人的工作空間。如圖5 所示，RPP 機(jī)器人的3D 工作空間是一個(gè)實(shí)體的圓柱。

在Unigraphics 軟件中選擇菜單“Analysis →Mass properties”，然后點(diǎn)擊實(shí)體空間，可以得到RPP 機(jī)器人的工作空間的體積為3.1325。

我們還可以通過(guò)分析方法進(jìn)一步的計(jì)算工作空間的體積。通過(guò)以下公式計(jì)算RPP 機(jī)器人的工作空間體積：

圖5 RPP 機(jī)器人的實(shí)體工作空間Fig.5 Entity workspace of RPP robot

其中Va是分析表達(dá)式所求的體積，相應(yīng)的體積值為π，約為3.1416。

通過(guò)數(shù)值分析和建模所得到的體積與分析方法所得到的體積偏差約為0.289%。顯然，從工程的角度來(lái)看，這點(diǎn)偏差是微不足道的。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于數(shù)值算法和實(shí)體建模的綜合方法，介紹和分析了機(jī)器人操作臂的工作空間。該算法基于蒙特卡洛方法，并用3D 軟件Unigraphics 進(jìn)行建模。數(shù)值算法利用了從關(guān)節(jié)坐標(biāo)系到任務(wù)坐標(biāo)系的映射函數(shù)的性質(zhì)，來(lái)獲得由點(diǎn)云構(gòu)成的主工作平面的近似2D 工作空間。主工作平面的邊界點(diǎn)和曲線(xiàn)由平面機(jī)器人工作空間的切片得到。該方法利用隨機(jī)概率和實(shí)體建模軟件，為機(jī)器人操縱臂的設(shè)計(jì)和評(píng)價(jià)提供了一個(gè)有效和簡(jiǎn)單的工具。

[1]劉海濤，楊樂(lè)平，朱彥偉，韓大鵬.空間機(jī)器人工作空間研究[J].組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2011，8.

[2](美)理查德.摩雷；李澤湘（譯），等.機(jī)器人操作的數(shù)學(xué)導(dǎo)論[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1998.

[3]W. Yunfeng, G. S. Chirikjian, A diffusion-based algorithm for workspace generation of highly articulated manipulators, in Proc. of IEEE Int. Conf. of Robotics and Automation. Washington D.C，2002.

[4]D. Alciatore and C. Ng , Determining manipulator workspace boundaries using the monte carlo method and least squares segmentation,In Proc.of ASME Robotics:Kinematics,Dynamics and Controls，1994.

[5]J. Rastegar and D. Perel, Generation of manipulator workspace boundary geometry using the Monte Carlo method and interactive computer graphics, ASME J. of. Mechanical Design，1990.

[6]S.Samuel,M.Kelley,A,Pragada,Practical UNIGRAPHICS NX2 modeling for engineers[C].Wiley India Pvt.ltd, New Delhi-110002 india,2005.

[7]曹毅，李秀娟，寧祎，楊冠英.三維機(jī)器人工作空間及幾何誤差分析[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2006，12.