張耀東

(重慶理工大學(xué)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400054)

亞指數(shù)索賠額下帶隨機(jī)收益的非齊泊松風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率

張耀東

(重慶理工大學(xué)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400054)

研究了非齊次泊松風(fēng)險(xiǎn)模型和帶隨機(jī)收益的更新風(fēng)險(xiǎn)模型中的有限時(shí)間的破產(chǎn)概率。當(dāng)初始資本趨近于無窮大，在索賠額服從亞指數(shù)分布時(shí)的假設(shè)下，得到了一個(gè)有限時(shí)間的漸近公式。主要在江濤2009年論文的基礎(chǔ)上，把正交變換子族的結(jié)論推廣到亞指數(shù)族的情形，并得到了一些結(jié)果。

隨機(jī)收益;非齊泊松;亞指數(shù);有限時(shí)間破產(chǎn)

1 模型的建立

1.1 基本模型

有一個(gè)由攝動(dòng)引起的簡(jiǎn)單的更新風(fēng)險(xiǎn)模型，在這個(gè)模型中索賠額{Xn，n=1，2，…}是由一組獨(dú)立同分布(i.i.d)的隨機(jī)序列且是非負(fù)的隨機(jī)變量，由共同的分布(d.f.)F=1-F與索賠到達(dá)的時(shí)間δn，n=1，2，…組成的一個(gè)更新計(jì)數(shù)過程 N(t)=max{n≥1：δn≤t}，t＞0。

它有常數(shù)的強(qiáng)度λ，習(xí)慣上記max{φ}=0。帶渉動(dòng)項(xiàng)δ0W0(t)的保險(xiǎn)公司在時(shí)間t時(shí)的總盈余為U(t)，它滿足方程

其中：u＞0為保險(xiǎn)公司的初始盈余;c為常數(shù)收取的保費(fèi)。{B0(t)，t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，如果索賠時(shí)間的間隔 δ1，δ2- δ1，…，δn- δn-1，n=2，3，…有共同的分布，那么該模型稱作 C-L 模型。

在C-L模型中，若參數(shù)λ是時(shí)間的函數(shù)，那么{N(t)，t≥0}稱作非齊的泊松過程，其中風(fēng)險(xiǎn)強(qiáng)度函數(shù)為{λ(t)，t≥0}。如果對(duì)任意的 t有 s＞0，則 N(t)滿足

其中，GΛ是Λ的分布函數(shù)，那么{N(t)，t≥0}稱作條件泊松過程。

在本文中如無特殊說明，所有的極限關(guān)系均為u→∞，A～B和A?B分別表示為=1和≥1。

1.2 隨機(jī)收益

許多人都在研究更新風(fēng)險(xiǎn)模型和重尾索賠下的更新風(fēng)險(xiǎn)模型，還有一些學(xué)者在風(fēng)險(xiǎn)模型中考慮了風(fēng)險(xiǎn)投資。如果保險(xiǎn)人將資本投資到風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)，就會(huì)產(chǎn)生風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，為了簡(jiǎn)單起見，假設(shè)資本價(jià)值可以看作一個(gè)特殊的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即

其中：{B(t)，t≥0}是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng);μ，δ分別稱作期望收益率和波動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)且滿足μ≥0，δ≥0。眾所周知，上式有下面的解：

因此，在時(shí)間t內(nèi)，投資達(dá)到風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)的盈余可表示為

這個(gè)模型與上文提到的由渉動(dòng)引起的簡(jiǎn)單的更新風(fēng)險(xiǎn)模型的主要區(qū)別在于：這里將帶有渉動(dòng)的隨機(jī)利率考慮進(jìn)去了。因此，將第1個(gè)盈余表達(dá)式代入到第2個(gè)盈余表達(dá)式中得到一個(gè)新的模型。

2 相關(guān)結(jié)果

重尾子族在保險(xiǎn)和金融風(fēng)險(xiǎn)中起著重要的作用，可以用來描述大的索賠額。下面給出幾個(gè)非常重要的重尾子族。

長(zhǎng)尾子族L：分布函數(shù)F屬于L，當(dāng)且僅當(dāng)

對(duì)任何t成立，等價(jià)于對(duì)t=1成立。

一個(gè)分布族屬于正交變換族R-α，當(dāng)且僅當(dāng)x)=x-αL(x)，當(dāng) x→∞時(shí)，L(x)為長(zhǎng)尾變化函數(shù)。

亞指數(shù)族S：分布函數(shù)F屬于S，當(dāng)且僅當(dāng)

對(duì)任何的n成立，等價(jià)于對(duì)n=2成立，其中Fn*(x)代表F的n重卷積，這些長(zhǎng)尾子族滿足如下的包含關(guān)系：

最終破產(chǎn)概率的漸近行為在風(fēng)險(xiǎn)理論中起著重要的作用。1982年Embrechts和Veraverbeke建立了一個(gè)非常著名的漸近關(guān)系，當(dāng)索賠額的分布為亞指數(shù)分布時(shí)，最終破產(chǎn)的概率滿足

江濤在文獻(xiàn)［5］和［6］中獲得了一些推廣的結(jié)果。本文應(yīng)用江濤在2009年論文中提到的方法，得到了一些新的結(jié)論。

3 幾個(gè)引理

下面的引理1來自Ross寫的隨機(jī)過程。

引理 1{N(T)}t≥0為 Poisson 過程，{δk，k≥1}為到達(dá)的時(shí)間，在 N(T)=n 的條件下，對(duì)任何 T ＞0，隨機(jī)向量(δ1，δ2，…，δn) 的分布與隨機(jī)向量(TU(1，n)…TU(n，n)) 的分布相同，其中(U(1，n，)，…，U(n，n)) 為(0，1)上獨(dú)立同分布的順序統(tǒng)計(jì)量，它們與隨機(jī)向量U1，…，Un具有一致的分布［5］。

引理2對(duì)于更新風(fēng)險(xiǎn)模型，如果F∈L∩D，那么有限時(shí)間T破產(chǎn)概率滿足［1］

引理3令{Xi，1≤i≤n)}是獨(dú)立同分布的亞指數(shù)族，有共同的分布F。那么0＜a≤b＜∞，對(duì)所有的 a≤ci≤b，1≤i≤n，有［1，7］

引理4對(duì)于更新風(fēng)險(xiǎn)模型，如果F∈L∩D，那么有限時(shí)間T破產(chǎn)概率滿足［1］

引理5如果B(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，那么B(t)的任意階矩存在［7］。

4 主要定理

定理1考慮參數(shù)為{λ(t)，t≥0}的非齊泊松模型，且假設(shè)資本價(jià)值滿足下面的隨機(jī)攝動(dòng)

那么，到時(shí)刻t的盈余為

如果索賠額的分布F∈S，那么

證明盈余表達(dá)式可變形為

成立，其中

由Ross［6］可知，N(t)是強(qiáng)度為λ(t)的非齊泊松過程，可以看作強(qiáng)度為λ的齊次泊松過程，其中λ(s)≤λ。N(t)對(duì)應(yīng)的事件Ai發(fā)生，相當(dāng)于在時(shí)間δi以概率λ(δi)/λ發(fā)生。

上面的等價(jià)式用到了引理3中亞指數(shù)索賠額的概率與求和可交換性，及更新函數(shù)m(t)=Fi(s)。

另一方面，

類似地，

評(píng)論1 這個(gè)結(jié)果與江濤在文獻(xiàn)［1］中假設(shè)F∈R-α得到的結(jié)論

有些類似，而在亞指數(shù)族時(shí)并不會(huì)有F(x)=x-αL(x)這樣的性質(zhì)。

定理2考慮條件泊松過程，即對(duì)任意的t，s＞0，N(t)滿足

其中Λ以GΛ為分布函數(shù)(d.f.)，其他條件同定理1，如果F∈S，那么

證明應(yīng)用條件概率公式

評(píng)論2 這個(gè)結(jié)果是江濤在文獻(xiàn)［1］中假設(shè)F∈R-α得到

結(jié)果的推廣。

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Ruin Probability for Subexponential Claimed Sizes Non-homogeneous Possion Risk Model with Stochastic Returns

ZHANG Yao-dong
(1.School of Mathematic，Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China)

We studied the ruin probability with stochastic returns for non-homogeneous Poisson risk model and subexponential claimed size in renewal risk model.An asymptotic formula for the ruin probability was divided when initial surplus approaches infinity and the claimed sizes obey subexponential distribution.Based on the conclusions of paper of Jiang Tao 2009［1］for the orthogonal transformation subfamily，we extend to the case of the subexponent，and get some results.

stochastic returns;non-homogeneous Poisson;subexponential;finite-time ruin

O211.9

A

1674-8425(2014)10-0137-06

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2014.10.026

2013-12-26

重慶市教委科技項(xiàng)目(KJI120805)

張耀東，男，碩士研究生，主要從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究。

張耀東.亞指數(shù)索賠額下帶隨機(jī)收益的非齊泊松風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014(10)：137-142.

format：ZHANG Yao-dong.Ruin Probability for Subexponential Claimed Sizes Non-homogeneous Possion Risk Model with Stochastic Returns［J］.Journal of Chongqing University of Technology：Natural Science，2014(10)：137-142.

(責(zé)任編輯 劉 舸)