錢慶慶,吳 濤,宋 雷,許文浩
(安徽大學 a.數(shù)學科學學院;b.文典學院,合肥 230039)
隨著科學研究的不斷發(fā)展,人們發(fā)現(xiàn)很多問題往往存在著不確定性和模糊性,它們難以用傳統(tǒng)的數(shù)學工具加以描述和分析。為了研究并解決這些問題,模糊集理論[1-2]、區(qū)間數(shù)理論[3]、粗糙集理論[4]和概率論[5]等不確定理論應運而生并得到了很好的發(fā)展和應用,然而這些理論自身也存在著固有的局限性[7]。為了克服這些理論的局限性,Molodtsov首次提出了軟集[8]的概念,它是一種全新的處理不確定性的數(shù)學工具。由于軟集理論自身的優(yōu)越性,即能夠更加靈活、細膩地刻畫客觀世界的不確定性,近年來,人們已將軟集理論與其他不確定理論進行了結合并提出了模糊軟集、粗糙軟集等概念[9-11]。文獻[12 -13]研究了軟集之間的各種運算法則(交、并、補、子集等)。文獻[14-15]重新定義了文獻[7]中的軟集概念并討論了軟集間的運算法則,且在此基礎上定義了軟矩陣并討論了軟矩陣的相關性質(zhì)及運算。文獻[16-18]分別將軟集概念推廣到模糊軟集、直覺模糊軟集和區(qū)間型直覺模糊軟集,并討論了各自的相關性質(zhì)。同時通過設定閾值向量構造水平軟集[16],將模糊軟集和直覺模糊軟集轉(zhuǎn)化為經(jīng)典軟集,再通過計算論域中各對象的機會值得到最優(yōu)決策。
然而,上述研究基本上是從靜態(tài)角度去研究軟集理論和模糊軟集理論,而在實際生活中,時間的作用無法忽略。這使得決策者在決策過程中需要對問題進行動態(tài)的分析。因此,在此基礎上,文獻[19]在模糊軟集中引入時間參數(shù),并將其推廣到時序模糊軟集。理論上,時序模糊軟集反映的是決策信息隨時間變化的情況,不同時刻所對應的模糊軟集對最終的決策影響并不相同。據(jù)此提出了一種基于指數(shù)衰減模型的時間權重確定方法,認為:不同時刻決策者所掌握的信息不同,越靠近最終決策時刻,掌握信息量越大,對最終決策的影響越大,時間權重越大;反之越遠離最終決策時刻,對最終決策的影響越小,時間權重越小。但這種賦權方法具有主觀隨意性,不能反映出對象本身在動態(tài)狀況下的特點,因此需要提供一種新的時間權重賦值方法。屬性值因動態(tài)產(chǎn)生的這種變化通過橫向觀察每個對象在不同時刻的決策信息值可以反映出對象自身保持前一時刻屬性值的能力,而縱向觀察所有對象在同一時刻下的決策信息值則反映出對象間不同時刻的好壞差異程度,因此,將這種能力和差異程度綜合為對象集整體的穩(wěn)定程度。在同一時刻下,對象集越穩(wěn)定表明對象間差異較小,不能明顯反映出對象間的優(yōu)劣;反之,越不穩(wěn)定即離散程度越大,表明對象間有較明顯差異。鑒于此,本文首先考慮到不同屬性間物理剛量的差異,對每一個模糊軟集進行規(guī)范化預處理,將所有屬性歸一為綜合屬性,通過計算平均絕對離差獲得不同時刻模糊軟集的權重值,然后通過集成思想和水平軟集的方法,給出了一種新的基于時序模糊軟集的群決策方法。
定義1(軟集) 設U是非空有限集,E是一個參數(shù)集合,P(U)是U上的冪集,且A?E,則序?qū)?F,A)稱為U上的一個軟集,其中F:A→P(U)為一個參數(shù)子集A到P(U)的映射[8]。
定義2(模糊軟集) 設U是一個非空論域,E是一個參數(shù)集合,I=[0,1],IU表示U上的所有模糊集的全體,稱序?qū)?F,E)為論域U上的模糊軟集(FSs),其中F:E→IU為一個從參數(shù)集E到IU的映射,即對?e∈E[20],
其中,μF(e)(x)表示元素x屬于模糊集F(e)的隸屬度。
定義3(時序模糊軟集) 設U是非空論域,E是參數(shù)集,T是時間集合,I=[0,1],IU表示 U 上的所有模糊集的全體,稱序?qū)?F,E×T)為論域U上的時序模糊軟集(TSFSs),其中F:E×T→IU為一個參數(shù)集E×T到U上的映射,即對?(e,t)∈E × T,F(xiàn)(e,t)= {〈x,μF(e,t)(x)〉:x∈U}∈IU表示元素 x 屬于模糊集 F(e,t)的隸屬度[19]。
文獻[19]指出:時序模糊軟集就是一系列模糊軟集按照時間參數(shù)排列形成的整體,即對于固定時刻,時序模糊軟集其實就是一個普通的模糊軟集。根據(jù)模糊軟集的特點,每一個模糊軟集都可以用一個矩陣的形式表示出來,記作模糊軟矩陣(FSM),即
基于上述的基本運算法則,可以定義時序模糊加權幾何平均算子。
一般情況下,屬性類型分為效益型和成本型,而屬性類型的不同會在決策過程中造成難以避免的影響。為了減少這樣的影響,需要對每一個模糊軟集進行規(guī)范化預處理[2]的過程。
一般而言,對象集的穩(wěn)定程度能反映出對象彼此之間的差異。在動態(tài)情況下,這種差異也表明了不同對象保持初始狀態(tài)的能力及對象間的優(yōu)劣差異程度。所以,對象集越穩(wěn)定表明對象間差異較小,不能反映出對象間的顯著優(yōu)劣;反之,越不穩(wěn)定即離散程度越大,表明對象間有較明顯差異。把這種時間的作用轉(zhuǎn)化為權重,然后給定時間權重。考慮到若計算不同對象各時間各屬性下的差異,將大大增加時間和空間上的復雜度,這里簡化算法,將多屬性集成為一個綜合屬性從而達到簡化的效果。下面考慮時序模糊多屬性決策問題:
假設屬性權重信息完全未知,記為 w=(w1,w2,…,wm),其中wj表示第j個屬性權重。文獻[2]中給出屬性賦權方法:w1=(1-α)m+α,wj=(1- α)m,j≠1 且 α∈[0,1]。
定義綜合屬性為e,則對象xi在tk時刻下的綜合屬性值為
tk時刻下的平均綜合屬性值為
tk時刻下的平均絕對離差為
根據(jù)“平均絕對離差M(tk)越大,該時刻時間權重越小,反之越大”的思想,給定權重公式:
于是,得到基于時序模糊軟集的決策方法的途徑:
Step 1 根據(jù)屬性的類型,利用本文2.1節(jié)的方法對原時序模糊軟集進行規(guī)范化預處理;
Step 2 利用式(2)、(3)、(4)分別計算綜合屬性值、平均綜合屬性值及平均離差;
Step 3 利用式(5)計算各時刻下的屬性值,并代入式(1)將時序模糊軟集集成為綜合模糊軟集;
Step 4 計算最大值閾值向量并根據(jù)定義計算最大值水平軟集;
Step 5 計算每個對象的機會值,從而得到最優(yōu)決策。
考慮航天設備的評估問題,有4種航天設備U={x1,x2,x3,x4}及評估指標(屬性)E={e1,e2,e3,e4},所有指標均為效益型。對這4種航天設備進行了為期 4 周 T={t1,t2,t3,t4}的考查,并將考核結果以時序模糊軟集的形式給出(見表1)。
因為4種指標(屬性)都是效益型,所以將表1中4個模糊軟集利用本文2.1節(jié)的方法進行規(guī)范化處理,得到規(guī)范化模糊軟集(見表2)。
這里取 α=0.2,則屬性權重為 w=(0.4,0.2,0.2,0.2),然后利用式(2)、(3)、(4)分別計算各對象各時刻下的綜合屬性及各時刻下的平均綜合屬性值(tk)、平均絕對離差M(tk),再利用式(5)計算各時間權重ωk,得到相關數(shù)據(jù)(見表3)。
表1 時序模糊軟集
表2 規(guī)范化模糊軟集
表3 相關數(shù)據(jù)
由表3知:時間權重向量為 ω={0.2400,0.4171,0.1304,0.2125},再利用式(1)將時序模糊軟集集成為綜合模糊軟集(見表4)。
計算最大值閾值向量為:δ(E)={0.9827,0.9765,0.9415,0.9172},從而得到最大值水平軟集。計算各航空設備的機會值:S1=1,S2=2,S3=1,S4=0,則最優(yōu)航空設備是 x2。
表4 綜合模糊軟集及機會值
本文主要研究時序模糊軟集,考慮時間在決策過程中所產(chǎn)生的影響。隨著時間的推移,不同對象的同一屬性值必定有所改變。這種改變一方面可以反映對象之間的好壞差異;另一方面也可以表現(xiàn)出對象保持原有屬性值的能力。本文基于這2種考慮,將這種差異和能力用可以量化的對象集整體在不同時刻下的穩(wěn)定程度來表示。由于不同屬性的量綱不同,所以先規(guī)范化處理原模糊軟集,再將不同屬性綜合為綜合屬性,然后通過平均絕對離差量化差異性并確定時間權重,利用集成思想及水平軟集的方法計算機會值,最后確定最優(yōu)對象。
[1]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control,1965,8(3):338 -353.
[2]Xu Z S.Uncertain Multiple Attribute Decision Making:Methods and Application[M].Beijing:Press of Tsinghua University,2004.
[3]Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1986,20(1):87 -96.
[4]Pawlak Z.Rough sets[J].International Journal of Information and Computer Sciences,1982,11:341 - 356.
[5]Miao B Q,Hu T Z.Probability Theory(The Second Edition)[M].Hefei:Press of University of Science and Technology of China,2009.
[6]吳永,邵明陽.重尾索賠下常利力更新風險模型的破產(chǎn)概率[J].重慶理工大學學報:自然科學版,2010,24(10):97-100.
[7]Molodtsov D.Soft set theory-First results[J].Computers and Mathematics with Application,1999,37:19 -31.
[8]Maji P K,Biswas R,Roy A R.Soft sets theory[J].Computers and Mathematics with Application,2003,45:555 -562.
[9]Ali M I.A note on soft sets,rough soft sets and fuzzy soft sets[J].Applied Soft Computing,2011,11:3329 -3332.
[10]Feng F,Li C X,et al.Soft sets combined with fuzzy sets and rough sets:A tentative approach[J].Soft Computing,2010,4:899 -911.
[11]Feng F,Liu X Y,et al.Soft sets and soft rough sets[J].Information Sciences 2011,181:1125 -1137.
[12]Ali M I,F(xiàn)eng F,et al.On some new operations in soft set theory[J].Computers and Mathematics with Applications,2009,57:1547 -1553.
[13]Sezgin A,Atagun A O.On operations of sets[J].Computers and Mathematics with Application,2011,61:1457-1467.
[14]Cagman N,Enginoglu S.Soft set theory and unint decision making[J].European Journal of Operational Research,2010,207:848 -855.
[15]Cagman N,Enginoglu S.Soft matrix theory and its decision making[J].Computers and Mathematics with Applications,2010,59:3308 -3314.
[16]Feng Feng,Young Bae Jun,et al.An adjustable approach to fuzzy soft set based decision making[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2010,234:10-20.
[17]Jiang Y CH,Tang Y,Chen Q M.An adjustable approach to intuitionsitic fuzzy soft sets based decision making[J].Applied Mathematical modeling,2011,35:824 -836.
[18]Jiang Y CH,Tang Y,et al.Interval-valued intuitionisitic fuzzy soft sets and their properties[J].Computers and Mathematics with Applications,2010,60:906 -918.
[19]Mao J J,Yao D B,et al.Group decision-making method based on time-series fuzzy soft set[J].Systems Engineering-Theory & Practice,2014,34(1):182 -189.
[20]Majumdar P,Samanta S K,On similarity measures of fuzzy soft sets[J].International Journal of Advances in Soft Computing and Its Application,2011,2:1 -8.