玉 強(qiáng)，吳保衛(wèi)

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062）

非線性系統(tǒng)的最小廣義Lyapunov函數(shù)定理

玉 強(qiáng)，吳保衛(wèi)

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062）

利用Zorn引理和LaSalle不變?cè)?，研究一般非線性系統(tǒng)最小廣義Lyapunov函數(shù)的存在性，證明了最小（非負(fù)）廣義Lyapunov函數(shù)和最?。ǚ秦?fù)）強(qiáng)廣義Lyapunov函數(shù)的存在性定理.

廣義Lyapunov函數(shù)；LaSalle不變?cè)?；Zorn引理；偏序；非線性系統(tǒng)

Lyapunov函數(shù)法和LaSalle不變?cè)恚?］是研究動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性的兩種主要工具.LaSalle不變?cè)聿灰驦yapunov函數(shù)的正定性，且放松了Lyapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)的嚴(yán)格負(fù)定要求.因而，能處理許多Lyapunov函數(shù)方法失效的情形.LaSalle不變?cè)硎欠治鲎灾蜗到y(tǒng)和周期系統(tǒng)穩(wěn)定性的有效工具［2－4］，但該原理不能直接應(yīng)用到非線性時(shí)變系統(tǒng)中，因?yàn)棣兀瓨O限集可能是一個(gè)時(shí)變集［2，5］.文獻(xiàn)［6－15］推廣了LaSalle不變?cè)?，使其能在更大范圍?nèi)得到應(yīng)用.

但目前研究結(jié)果中，多數(shù)Lyapunov穩(wěn)定性及不變集理論都要求系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且導(dǎo)函數(shù)負(fù)（半）定.而由于實(shí)際系統(tǒng)的復(fù)雜性，如混雜系統(tǒng)、切換系統(tǒng)和生態(tài)系統(tǒng)等，對(duì)Lyapunov函數(shù)的可導(dǎo)性通常不一定能滿足［6］.另一方面，目前關(guān)于LaSalle不變?cè)淼难芯恐饕性趯?duì)其使用條件及范圍的推廣，而關(guān)于如何選取及是否存在Lyapunov函數(shù)使得該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的區(qū)域“最接近”系統(tǒng)軌線的正極限集的研究報(bào)道較少.一般地，給定兩個(gè)Lyapunov函數(shù)V1和V2，稱V1“優(yōu)”于V2是指使得函數(shù)V1的導(dǎo)數(shù)為零的區(qū)域包含于函數(shù)V2的導(dǎo)數(shù)為零的區(qū)域.

本文發(fā)展了（最小）廣義Lyapunov函數(shù)和（最?。?qiáng)廣義Lyapunov函數(shù)等概念，這些概念不同于通常Lyapunov函數(shù)之處在于放寬了對(duì)Lyapunov函數(shù)正定性及具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的要求，給出了最?。ǚ秦?fù)）廣義Lyapunov函數(shù)存在性（唯一性）定理及最?。ǚ秦?fù)）強(qiáng)廣義Lyapunov函數(shù)存在性（唯一性）定理，從而推廣了LaSalle不變?cè)恚冶ＷC了“最優(yōu)”廣義Lyapunov函數(shù)的存在性.

1 系統(tǒng)模型及引理

考慮如下非線性動(dòng)力系統(tǒng)：

其中：x（t）∈D?Rn表示t時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)，D為包含0的開集；f：D→Rn為滿足Lipsitiz條件的連續(xù)函數(shù).設(shè)系統(tǒng)（1）的原點(diǎn)是其平衡點(diǎn).

若存在時(shí)間序列tn，當(dāng)n→∞時(shí)，tn→∞，使得當(dāng)n→∞時(shí)，x（tn）→p∈Rn，則稱p是x（t）的ω－極限點(diǎn)（正極限點(diǎn)）.x（t）所有ω－極限點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為x（t）的ω－極限集（正極限集）.本文用L表示x（t）的ω－極限集.

一個(gè)連續(xù)函數(shù)V（·）：D→R，若滿足對(duì)任意的t≥τ≥0，都有V（x（t））≤V（x（τ））成立，則稱V（·）為系統(tǒng)（1）定義在D上的廣義Lyapunov函數(shù).令E?｛x∈D：ΔV（x（t））＝0｝，ΔV（x（t））表示“存在τ＞t，使得對(duì)任意的t′∈（t，τ），有V（x（t））＝V（x（t′））”.一般地，由LaSalle不變?cè)碇?，L?E.如果存在廣義Lyapunov函數(shù)V（x（t）），使得L＝E，則稱V（x（t））為最小廣義Lyapunov函數(shù).

一個(gè)連續(xù)的函數(shù)V（·）：D→R，若滿足V（·）存在連續(xù)右導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的t≥0，都有D＋V（x（t））≤0成立，其中D＋V（x（t））表示V（x（t））的右導(dǎo)數(shù).則稱V（·）為系統(tǒng)（1）定義在D上的強(qiáng)廣義Lyapunov函數(shù).令E?｛x∈D：D＋V（x（t））＝0｝.如果存在強(qiáng)廣義Lyapunov函數(shù)V（x（t）），使得L＝E，則稱V（x（t））為最小強(qiáng)廣義Lyapunov函數(shù).

引理1設(shè)g∈C1（R＋，R），其中R和R＋分別表示全體實(shí)數(shù)和非負(fù)實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，C1（R＋，R）表示具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)g：R＋R全體.則

連續(xù)，且具有連續(xù)的右導(dǎo)數(shù).

證明：先證明f（t）的連續(xù)性，分兩種情形討論.

1）若存在t1＞t≥0，使得

由g（t）的連續(xù)性知，f（t）右連續(xù).

上述兩種情形表明，f（t）右連續(xù).同理可證明f（t）左連續(xù).因而f（t）連續(xù).

下面證明f（t）右導(dǎo)數(shù)存在，分兩種情形討論.

因而g（t）在t點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)g′（t）≥0.由導(dǎo)函數(shù)g′（t）的連續(xù)性知，存在t2＞t，使得對(duì)任意的t′∈（t，t2），有g(shù)′（t′）＞0.若不然，設(shè)存在t3＞t，使得對(duì)任意的t′∈（t，t3），有g(shù)′（t′）≤0，則有g(shù)（t）≥g（t′），這與對(duì)任意的t′＞t都有g(shù)（t）＜g（t′）矛盾.因而，存在t2＞t，使得對(duì)任意的t′∈（t，t2）有g(shù)′（t′）＞0.

由1′），2′）知，f（t）右導(dǎo)數(shù)存在.

最后證明f（t）右導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性.由證明f（t）右導(dǎo)數(shù)存在的兩種情形討論可知，f（t）右導(dǎo)數(shù)f′＋（t）或者為零或者等于g′（t）.無論哪種情形，都有

設(shè)A是一個(gè)集合，?是A上的一個(gè)嚴(yán)格偏序.若B是A的一個(gè)子集，c∈A，使得對(duì)于每個(gè)b∈B，都有b?c或c＝b，則稱c是B的一個(gè)上界.若m是A的一個(gè)元素，并且對(duì)于每個(gè)a∈A，m?a都不成立，則稱m是A的一個(gè)極大元.

類似極大元的定義，下面給出極小元的定義.設(shè)A是一個(gè)集合，?是A上的一個(gè)嚴(yán)格偏序.若B是A的一個(gè)子集，c∈A，使得對(duì)于每個(gè)b∈B，都有c?b或c＝b，則稱c是B的一個(gè)下界.若m是A的一個(gè)元素，并且對(duì)于每個(gè)a∈A，a?m都不成立，則稱m是A的一個(gè)極小元.

引理2（Zorn引理）［16］設(shè)A是一個(gè)嚴(yán)格偏序集，若A的每個(gè)全序子集都有上界，則A中必有一個(gè)極大元.

引理3設(shè)A是一個(gè)嚴(yán)格偏序集，若A的每個(gè)全序子集都有下界，則A中必有一個(gè)極小元.

證明：給定偏序集（A，?），定義新的偏序關(guān)系?′，其中?′滿足：若a，b∈A，且a?b，則b?′a.則偏序集（A，?）中的任一全序集必為偏序集（A，?′）的全序集，反之也成立.下證偏序集（A，?）中的極大元c為偏序集（A，?′）中的極小元.

設(shè)m是偏序集（A，?）的一個(gè)極大元，由極大元定義知，m∈A，且對(duì)任意的a∈A，都有m?／a.由偏序?與?′關(guān)系知，存在m∈A，且對(duì)任意的a∈A，都有a′?／m，從而m是偏序集（A，?′）的極小元.證畢.

設(shè)Λ表示系統(tǒng)（1）全體廣義Lyapunov函數(shù)組成的集合.對(duì)Λ進(jìn)行如下分類.稱V1∈Λ與V2∈Λ同類，是指

2 主要結(jié)果

結(jié)合L x0?E和E?L x0可知，存在廣義Lyapunov函數(shù)V（x（t）），使得L x0＝E.證畢.

注1 顯然，最小廣義Lyapunov函數(shù)V（x（t））并不唯一.若用廣義Lyapunov函數(shù)等價(jià)類集合ˉΛ替換全體廣義Lyapunov函數(shù)組成的集合Λ，則可獲得最小廣義Lyapunov函數(shù)存在的唯一性定理.

注2 定理1對(duì)廣義Lyapunov函數(shù)連續(xù)性的要求可放寬到文獻(xiàn)［6］的下半連續(xù).

注3 定理1表明了最小廣義Lyapunov函數(shù)的存在性，但并未給出實(shí)際構(gòu)造或?qū)ふ易钚V義Lyapunov函數(shù)的方法.

可以將定理1中的結(jié)論2）加強(qiáng)為“對(duì)系統(tǒng)（1）存在非負(fù)廣義Lyapunov函數(shù)V（x（t）），使得L x0＝E＝｛x∈D：ΔV（x（t））＝0｝”.證明過程與定理1類似，只需將定理1及其證明中的“全體廣義Lyapunov函數(shù)組成的集合Λ”改為“全體非負(fù)廣義Lyapunov函數(shù)組成的集合Λ＋”，同時(shí)將1）中∈Λ＋即可.

定理2（最小非負(fù)廣義Lyapunov函數(shù)存在性定理）設(shè)Ω?D為緊集，x（t）是以x0為初態(tài)、系統(tǒng)（1）t時(shí)刻的狀態(tài)軌跡，且系統(tǒng)的解對(duì)于t＞0均停留在Ω內(nèi).L x0表示x（t）的ω－極限集，若系統(tǒng)（1）存在連續(xù)的正定函數(shù)V0（x（t））∈Λ＋，其中Λ＋表示全體非負(fù)廣義Lyapunov函數(shù)組成的集合.則：

1）系統(tǒng)原點(diǎn)x＝0是（Lyapunov意義下）穩(wěn)定的；

2）系統(tǒng)（1）存在非負(fù)廣義Lyapunov函數(shù)V（x（t））∈Λ＋，使得L x0＝E＝｛x∈D：ΔV（x（t））＝0｝.

系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)x＝0是半穩(wěn)定的，是指平衡點(diǎn)x＝0為Lyapunov穩(wěn)定的，且包含在平衡點(diǎn)x＝0某一鄰域內(nèi)的系統(tǒng)軌線收斂到一穩(wěn)定平衡點(diǎn).即平衡點(diǎn)x＝0是Lyapunov穩(wěn)定的，且包含平衡點(diǎn)x＝0某一鄰域內(nèi)的系統(tǒng)軌線的ω－極限集為單點(diǎn)集.因而有如下推論.

推論1設(shè)Ω?D為緊集，x（t）是以x0為初態(tài)、系統(tǒng)（1）t時(shí)刻的狀態(tài)軌跡，且系統(tǒng)的解對(duì)于t＞0均停留在Ω內(nèi).L x0表示x（t）的ω－極限集，系統(tǒng)（1）存在連續(xù)的正定函數(shù)V0（x（t））∈Λ，且若系統(tǒng)（1）存在廣義Lyapunov函數(shù)V（x（t）），使得E＝｛x∈D：ΔV（x（t））＝0｝＝｛a（x0）｝為單點(diǎn)集，其中a：D→Rn即對(duì)確定的初始狀態(tài)x0，a（x0）為唯一確定的值，則平衡點(diǎn)x＝0是半穩(wěn)定的.進(jìn)一步，若對(duì)任意的x0∈D，有a（x0）＝0，則平衡點(diǎn)x＝0是漸近穩(wěn)定的.

證明：由定理1結(jié)合半穩(wěn)定及漸近穩(wěn)定定義即可得到.由E為單點(diǎn)集知x（t）→a（x0），由推論1的條件知，平衡點(diǎn)x＝0是Lyapunov穩(wěn)定的.再由半穩(wěn)定定義知，平衡點(diǎn)x＝0是半穩(wěn)定的.進(jìn)一步，若對(duì)任意的x0∈D，有a（x0）＝0，則x（t）→0.因而，平衡點(diǎn)x＝0是漸近穩(wěn)定的.證畢.

由引理1易知，定理1證明1）中選取的V u（x（t））連續(xù)，且具有連續(xù)右導(dǎo)數(shù).因此，V u（x（t））為強(qiáng)廣義Lyapunov函數(shù).因而，可將定理1加強(qiáng)為如下結(jié)論.證明過程同定理1.只需將定理1及證明中的“全體廣義Lyapunov函數(shù)組成的集合Λ”改為“全體強(qiáng)廣義Lyapunov函數(shù)組成的集合?！?

定理3（最小強(qiáng)廣義Lyapunov函數(shù)存在性定理）設(shè)Ω?D為緊集，x（t）是以x0為初態(tài)、系統(tǒng)（1）在t時(shí)刻的狀態(tài)軌跡，且系統(tǒng)的解對(duì)于t＞0均停留在Ω內(nèi).L x0表示x（t）的ω－極限集，若系統(tǒng)（1）存在連續(xù)的正定函數(shù)V0（x（t））∈Γ，則：

1）系統(tǒng)原點(diǎn)x＝0是（Lyapunov意義下）穩(wěn)定的；

2）系統(tǒng)（1）存在強(qiáng)廣義Lyapunov函數(shù)V（x（t））∈Γ，使得＝E＝｛x∈D：D＋V（x（t））＝0｝.

類似于定理2的說明，將定理3的結(jié)論2）加強(qiáng)為“對(duì)系統(tǒng)（1）存在非負(fù)強(qiáng)廣義Lyapunov函數(shù)V（x（t）），使得L x0＝E＝｛x∈D：D＋V（x（t））＝0｝”，則有如下結(jié)果.

定理4（最小非負(fù)強(qiáng)廣義Lyapunov函數(shù)存在性定理）設(shè)Ω?D為緊集，x（t）是以x0為初態(tài)、系統(tǒng)（1）在t時(shí)刻的狀態(tài)軌跡，且系統(tǒng)的解對(duì)于t＞0均停留在Ω內(nèi).表示x（t）的ω－極限集，若系統(tǒng)（1）存在連續(xù)的正定函數(shù)V0（x（t））∈Γ＋，則：

1）系統(tǒng)原點(diǎn)x＝0是（Lyapunov意義下）穩(wěn)定的；

2）系統(tǒng)（1）存在非負(fù)強(qiáng)廣義Lyapunov函數(shù)V（x（t））∈Γ＋，使得＝E＝｛x∈D：D＋V（x（t））＝0｝.其中T＋表示全體非負(fù)強(qiáng)廣義Lyapunov函數(shù)組成的集合.

例1考慮如下非線性系統(tǒng)：

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［2］ Khalil H K.Nonlinear Systems［M］.NJ：Prentice Hall PTR，1996.

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［16］ James R M.Topology［M］.New Jersey：Prentice Hall Inc，1975.

Minimal Generalized Lyapunov Function Theorems for Nonlinear Systems

YU Qiang，WU Baowei
（CollegeofMathematicsandInformationScience，ShaanxiNormalUniversity，Xi’an710062，China）

Based on Zorn’s lemma and LaSalle’s invariance principle，the existence of the minimal generalized Lyapunov function for nonlinear systems was considered.We developed the minimal generalized Lyapunov function theorems and the minimal strong generalized Lyapunov function theorems for nonlinear dynamical systems.

generalized Lyapunov function；LaSalle’s invariance principle；Zorn’s lemma；partial order；nonlinear system

O231.2

A

1671－5489（2014）03－0445－06

10.13413／j.cnki.jdxblxb.2014.03.08

2013－06－26.

玉 強(qiáng)（1979—），男，漢族，博士研究生，從事非線性分析及穩(wěn)定性的研究，E－mail：yuqiang111111＠126.com.通信作者：吳保衛(wèi)（1963—），男，漢族，博士，教授，從事控制理論及線性系統(tǒng)的研究，E－mail：wubw＠snnu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)：11171197）.

趙立芹）