王海蓮，王良龍

（1.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601；2.巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽巢湖 238000）

三階p－Laplacian中立型泛函微分方程的周期解

王海蓮1，2，王良龍1

（1.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601；2.巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽巢湖 238000）

周期解；Mawhin重合度；三階；p－Laplacian方程

0 引 言

泛函微分方程周期解的存在性在生態(tài)學(xué)、物理和控制理論等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［1－4］.文獻［5－6］證明了二階p－Laplacian中立型方程周期解的存在性；文獻［7］研究了四階p－Laplacian方程：

的周期解問題；文獻［8］得到了如下三階p－Laplacian方程

的周期解問題.基于文獻［5－8］的研究結(jié)果，本文考慮一類更一般的具有多個偏差變元的三階p-Laplacian方程.利用Mawhin重合度理論，研究一類三階p－Laplacian中立型泛函微分方程周期解的存在性問題，給出了這類方程存在一個T周期解的充分性條件.考慮方程：

1 引 理

引理5［6］若g∈CT，τ∈CT∩C1（R，R），且τ′（t）＜1，?t∈［0，T］，則g（μ（t））∈CT，這里μ（t）是t－τ（t）的逆算子.

引理6［9］設(shè)L是指數(shù)為零的Fredholm算子，且L滿足下列條件：

1）對任意的λ∈（0，1），x∈?Ω∩domL，L（x）≠λN x；

2）N x?ImL，?x∈?Ω∩KerL；

3）deg｛QN x，Ω∩KerL，0｝≠0.

則方程L x＝N x在domL∩ˉΩ中至少有一個解.

2 主要結(jié)果

從而對于任意的x∈?Ω∩KerL，μ∈［0，1］，H（x，μ）＝φx＋（1－μ）J QN x≠0.因此，

再由引理6知，方程（1）有一個T周期解.證畢.

根據(jù)定理1可知，方程（35）至少存在一個π周期解.

［1］ WANG Lianglong，WANG Zhicheng，ZOU Xingfu.Periodic Solutions of Neutral Functional Differential Equations［J］.J London Math Soc，2002，65（2）：439－452.

［2］ WANG Lianglong，WANG Zhicheng.Controllability of Abstract Neutral Functional Differential Systems with Infinite Delay［J］.Dynamics of Continuous，Discrete and Impulsive Systems，Series B：Applications ＆Algorithms，2002，9（2）：59－70.

［3］ LU Shiping，GUI Zhanjie，GE Weigao.Periodic Solutions to a Second Order Nonlinear Neutral Functional Differential Equation in the Critical Case［J］.Nonlinear Analysis：Theory，Methods ＆Applications，2006，64（1）：1587－1607.

［4］ LU Shiping，GE Weigao.Periodic Solutions of Neutral Differential Equation with Multiple Deviating Arguments［J］.Applied Mathematics and Computation，2004，156（3）：705－717.

［5］ ZHU Yanling，LU Shiping.Periodic Solutions forp－Laplician Neutral Functional Differential Equation with Deviating Arguments［J］.J Math Anal Appl，2007，325（1）：377－385.

［6］ LU Shiping.Existence of Periodic Solution for ap－Laplician Neutral Functional Differential Equations［J］.Nonlinear Analysis：Theory，Methods ＆Applications，2009，70（1）：231－243.

［7］ 劉丙鐲，劉文兵.四階p－Laplician中立型泛函微分方程周期解的存在性［J］.吉林大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2011，49（3）：430－436.（LIU Bingzhuo，LIU Wenbing.Existence of Periodic Solutions for a Fourth－Orderp－Laplacian Neutral Functional Differential Equation［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2011，49（3）：430－436.）

［8］ 沈欽銳，周宗福.一類具偏差變元的三階p－Laplician方程周期解的存在性［J］.吉林大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2012，50（1）：27－34.（SHEN Qinrui，ZHOU Zongfu.Existence of Periodic Solutions for a Class of Third－Orderp－Laplacian Equation with a Deviating Argument［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2012，50（1）：27－34.）

［9］ Gines R E，Mawhin J L.Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations［M］.Heidelberg：Springer－Verlag，1977.

Periodic Solutions for Three－Orderp－Laplacian Neutral Functional Differential Equation

WANG Hailian1，2，WANG Lianglong1
（1.SchoolofMathematicalSciences，AnhuiUniversity，Hefei230601，China；2.DepartmentofMathematics，ChaohuUniversity，Chaohu238000，AnhuiProvince，China）

periodic solution；Mawhin’s coincidence degree；three－order；p－Laplacian equation

O175.14

A

1671－5489（2014）03－0421－08

10.13413／j.cnki.jdxblxb.2014.03.04

2013－06－18.

王海蓮（1981—），女，漢族，碩士研究生，從事微分方程的研究，E－mail：wanghailian77＠163.com.通信作者：王良龍（1964—），男，漢族，博士，教授，從事微分方程的研究，E－mail：wangll＠ahu.edu.cn.

高等學(xué)校博士點基金（批準(zhǔn)號：20113401110001）、安徽省自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號：1308085 MA01）和安徽大學(xué)研究生學(xué)術(shù)創(chuàng)新研究項目（批準(zhǔn)號：10117700020）.

趙立芹）