周 毅，羅 鄖，賈三滿，田 芳

（1．北京大學(xué)地球與空間科學(xué)學(xué)院，北京 100871；2．北京市水文地質(zhì)工程地質(zhì)大隊(duì)，北京 100195；3．中國地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測院，北京 100081）

1982年，中國學(xué)者鄧聚龍教授創(chuàng)立了灰色系統(tǒng)理論，這是一門新興的橫斷學(xué)科，是研究少數(shù)據(jù)、貧信息不確定性問題的新方法[1]。經(jīng)過劉思峰、林益等學(xué)者的努力使灰色系統(tǒng)理論不斷完善和發(fā)展，同時(shí)基于該理論形成了GM(1,1)模型，GM(0，N)模型、verhulst模型等灰色預(yù)測模型并被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域。

地面沉降是一個(gè)復(fù)雜地、系統(tǒng)地過程。誘發(fā)地面沉降的因素有很多，有土體天然固結(jié)、有地下水過度開采、有工程建設(shè)荷載等等。總之，這是一個(gè)包含土層—地質(zhì)作用—人類活動(dòng)的復(fù)雜系統(tǒng)[2]。那么復(fù)雜系統(tǒng)就涉及到許多的未知因素，包括相互關(guān)系未知，結(jié)果為未知等，因此利用灰色系統(tǒng)理論將其概化為一個(gè)單純的數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行預(yù)測就很有意義。例如，郭小萌[3]進(jìn)行了基于矩陣的GM(1,1)模型對(duì)北京市平原區(qū)進(jìn)行了地面沉降預(yù)測，取得了較好的效果。宮相霖[2]利用灰色系統(tǒng)建立了地面沉降與地下水位變化的映射GM(1,2)模型對(duì)上海的地面沉降發(fā)展態(tài)勢進(jìn)行了預(yù)測。

本文以北京地面沉降監(jiān)測站分層監(jiān)測的數(shù)據(jù)為支撐。在地面沉降快速發(fā)展階段中，各種因素對(duì)地面沉降的影響無法定量表述的情況下，利用GM(1,1)模型與線性回歸模型相組合對(duì)地面沉降進(jìn)行模擬和預(yù)測，既能體現(xiàn)階段地面沉降的快速發(fā)展趨勢，又彌補(bǔ)了單一GM(1,1)模型無法能描述變量間的線性關(guān)系的缺點(diǎn)。

1 灰色線性回歸組合模型

灰色線性回歸組合模型可以看作是普通均值GM(1,1)模型與線性相組合。針對(duì)原始數(shù)據(jù)按以下步驟建立模型：

（1）設(shè)原始數(shù)據(jù)序列 X(0)有n個(gè)監(jiān)測值分別為：

（2）對(duì) X(0)的一階累加（1-AGO）序列 X(1)為：其中

由此可得 X(1)的預(yù)測值為：

其中，C1=0時(shí)，上式為一元線性回歸模型；當(dāng)C2=0時(shí)，上式為GM(1,1)模型；當(dāng)C1≠0，C2≠0上式既包含指數(shù)增長趨勢，又包含線性項(xiàng)的灰色線性回歸模型。對(duì)上式進(jìn)行一次累減還原即可得到原序列的預(yù)測值(0)X 。（6）預(yù)測精度檢驗(yàn)

2 研究實(shí)例

2.1 研究區(qū)概況

北京地面沉降最早于上世紀(jì)30年代中期發(fā)生在西單—東單一帶，先后經(jīng)歷形成階段（1955～1973）、發(fā)展階段（1974～1983）、擴(kuò)展階段（1984～1998）和快速發(fā)展階段（1999年至今）。隨著北京不斷增加的水資源供給需求，地下水過量超采形勢依舊，地面沉降仍呈現(xiàn)快速發(fā)展趨勢。截止2012年北京地面沉降區(qū)分布呈南北兩個(gè)大區(qū)：北區(qū)主要包括昌平沙河－八仙莊沉降區(qū)、朝陽來廣營沉降區(qū)和東八里莊－大郊亭沉降區(qū)。區(qū)內(nèi)最大累計(jì)沉降量為1414mm，位于昌平沙河－八仙莊沉降區(qū)內(nèi)的八仙莊地區(qū)；南部沉降區(qū)主要為大興榆垡－禮賢沉降區(qū)，該沉降區(qū)與河北相鄰地區(qū)連接。區(qū)內(nèi)最大累計(jì)沉降量位于禮賢沉降區(qū)達(dá)1137mm[4]。

為實(shí)時(shí)監(jiān)測地面沉降發(fā)展趨勢，研究地面沉降成因機(jī)理，最終實(shí)現(xiàn)預(yù)警預(yù)報(bào)系統(tǒng)。北京市先后于2004年和2008年建設(shè)完成了順義天竺等7個(gè)地面沉降監(jiān)測站。監(jiān)測站內(nèi)采用基巖標(biāo)—分層標(biāo)靜力水準(zhǔn)測量系統(tǒng)對(duì)各監(jiān)測站所處的地層進(jìn)行分層監(jiān)測。本文選用北京東部典型沉降區(qū)內(nèi)某地面沉降監(jiān)測站內(nèi)分層監(jiān)測數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)的來源。具體分層監(jiān)測情況見表1。

表1 地面沉降分層監(jiān)測概況

2.2 建立組合模型A-F

選取該站2004～2012年監(jiān)測的部分標(biāo)孔累計(jì)沉降量監(jiān)測數(shù)據(jù)作為的原始數(shù)據(jù)序列(表2)，以分層監(jiān)測標(biāo)孔為單元建立一階累加（1-AGO）地面沉降模型組。例如：1層監(jiān)測標(biāo)的1-AGO灰色線性回歸組合模型記為模型A，2層監(jiān)測標(biāo)的記為模型B，以此類推。具體建模步驟如下：

(1)建立模型A

表2 地面沉降分層監(jiān)測數(shù)據(jù)（2004～2012年）

2.3 預(yù)測結(jié)果對(duì)比分析

對(duì)原始數(shù)據(jù)序列作1—AGO可得一階累加數(shù)據(jù)：

基于灰色線性回歸模型的短期預(yù)測精度較高的特點(diǎn)，利用模型組A－F模擬2004～2012年的沉降值，并預(yù)測2013年的沉降值。因此，將={15.233 54.101 117.609 199.745 303.013 442.284 626.128 867.438 1173.788}令帶入模型組A，可得一階累加沉降值=（18，56.3，113.5，193.7，302.2，445.3，631，868.8，1170.5，1550.6，2027）。對(duì)進(jìn)行一次累減還原，，=(298.6088,-44.5580,-303.7192)

故1-AGO生成序列的灰色線性回歸組合模型A為：，則參數(shù)v的估計(jì)值=0.20414948，

(2)按模型A的建立方式依次建立模型B－F，具體見表3。可得1號(hào)標(biāo)孔2004～2013年的累計(jì)沉降量分別為18mm，38.3mm，57.2mm，80.2mm，108.5mm，143.1mm，185.7mm，237.8mm，301.7mm，380.1mm。同理，可得2～6號(hào)標(biāo)孔的2004～2013年的累計(jì)沉降量（表5）。計(jì)算模型組殘差和相對(duì)誤差，發(fā)現(xiàn)2004年部分監(jiān)測層位沉降量相對(duì)誤差超出了模型一般精度要求，分析原因可能為監(jiān)測初始年，各分層標(biāo)孔還未穩(wěn)定，因此該數(shù)據(jù)在數(shù)學(xué)模型擬合時(shí)

表3 1-AGO的灰色線性組合模型

其誤差較大。但2005～2013年各標(biāo)孔預(yù)測模型相對(duì)誤差均符合模型要求，且絕大多數(shù)相對(duì)誤差小于0.1，模型精度達(dá)到較高要求。經(jīng)過后殘差檢驗(yàn)（表4），各標(biāo)孔后殘差比均小于0.35，小誤差概率為1，模型符合建模要求，且精度良好。

表4 模型精度評(píng)定表

利用該模型組模擬2004～2012年的各監(jiān)測層位累計(jì)沉降量，發(fā)現(xiàn)其相對(duì)誤差隨著監(jiān)測層位的不斷加深，平均相對(duì)誤差值不斷增加。預(yù)測2013年的沉降量發(fā)現(xiàn)，地表沉降量（1號(hào)標(biāo)孔）預(yù)測結(jié)果與實(shí)測誤差為6.375mm，占實(shí)測結(jié)果的1.7%，同時(shí)，其它監(jiān)測層位最大累計(jì)沉降量相對(duì)誤差不超過實(shí)測值的6.5%。利用實(shí)測結(jié)果值與預(yù)測結(jié)果值建立相關(guān)性分析，得出其相關(guān)系數(shù) ，說明實(shí)測結(jié)果與預(yù)測結(jié)果有著顯著的相關(guān)性。

為進(jìn)一步對(duì)比模型精度，將灰色線性回歸組合模型與普通均值GM(1,1)模型進(jìn)行對(duì)比，通過兩種模型分別進(jìn)行沉降模擬，發(fā)現(xiàn)2004-2012年基于兩種模型的各分層模擬年沉降值平均誤差均在3～4mm左右，模型的精度均很高（圖1）。但通過擬合的數(shù)學(xué)模型來預(yù)測2013年沉降量時(shí)，灰色線性回歸組合模型平均誤差為10mm，普通均值GM(1,1)模型平均誤差達(dá)32mm。繪制2013年累計(jì)沉降量預(yù)測與實(shí)測對(duì)比曲線圖2，可以看出灰色線性回歸組合模型預(yù)測未來沉降量時(shí)其精度要遠(yuǎn)高于GM(1,1)模型（圖2）。

表5 1～6號(hào)標(biāo)孔分層累計(jì)沉降量預(yù)測結(jié)果表（2004～2013年）

3 結(jié)論

地面沉降的誘發(fā)因素很多，各種不確定因素均對(duì)地面沉降的預(yù)測產(chǎn)生影響。在缺乏對(duì)地區(qū)地面沉降與其影響因素定量研究的基礎(chǔ)上，采用灰色線性回歸組合模型對(duì)地面沉降進(jìn)行預(yù)測是切實(shí)可行的。本文利用灰色線性回歸組合模型對(duì)北京東部某典型地面沉降區(qū)內(nèi)地層進(jìn)行分層沉降模擬，發(fā)現(xiàn)利用組合模型進(jìn)行預(yù)測其精度要高于普通均值GM(1,1)模型。同時(shí)，由于該方法建立在少樣本，貧數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，因此只需要利用單一的累計(jì)沉降量數(shù)據(jù)，通過發(fā)掘其序列監(jiān)測值內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，建立數(shù)學(xué)模型，即可模擬預(yù)測未來的沉降量。在精度上，地表沉降量（1號(hào)標(biāo)孔）短期預(yù)測結(jié)果與實(shí)測誤差為6.375mm，占實(shí)測結(jié)果的1.7%，精度達(dá)到很高的水平，因此，只要不斷引入監(jiān)測數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行適度校正，即可利用該模型預(yù)測未來短期內(nèi)的沉降量

圖1 兩組模型分層預(yù)測結(jié)果與實(shí)測結(jié)果對(duì)比

圖2 兩組模型預(yù)測2013年沉降量結(jié)果與實(shí)測結(jié)果對(duì)比

[1]劉思峰,謝乃明等.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2013.

[2]宮相霖,董榮鑫.灰色系統(tǒng)在地面沉降分析中的應(yīng)用[J].上海地質(zhì),2003,3：16～21.

[3]郭小萌,宮輝力,朱 鋒等.基于矩陣的GM(1,1)模型預(yù)測地。面沉降[J].水文地質(zhì)工程地質(zhì),2013,40(6)：101～105.

[4]羅 勇,周 毅,田 芳等.北京地面沉降監(jiān)測年度報(bào)告(2012年)[R].北京市水文地質(zhì)工程地質(zhì)大隊(duì),2013.

[5]陳 博,王建國.灰色線性回歸組合模型算法研究[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2012,15(1)：82～85.

[6]馬保卿,張 蔭.灰色線性回歸組合模型在地面沉降預(yù)測中的應(yīng)用[J].鐵道勘察,2008,5：20～22.

[7]劉國仕,何亮云,薛建華等.灰色線性回歸組合模型在沉降監(jiān)測中的應(yīng)用[J].長沙理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版,2012,12：32～36.